G2 (математика) - G2 (mathematics)

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный грамм2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

В математика, грамм₂ это имя трех простых Группы Ли (сложная форма, компактная реальная форма и раздельная реальная форма), их Алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {2},}$ а также некоторые алгебраические группы. Они самые маленькие из пяти исключительных простые группы Ли. грамм₂ имеет ранг 2 и размерность 14. Имеет два фундаментальные представления, размерностью 7 и 14.

Компактная форма G₂ можно описать как группа автоморфизмов из октонионная алгебра или, что то же самое, как подгруппа SO (7), которая сохраняет любой выбранный конкретный вектор в его 8-мерном настоящий спинор представление (а представление вращения ).

История

Алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {2}}$, будучи наименьшей исключительной простой алгеброй Ли, была первой из них, обнаруженной при попытке классификации простых алгебр Ли. 23 мая 1887 г. Вильгельм Киллинг написал письмо Фридрих Энгель говоря, что он нашел 14-мерную простую алгебру Ли, которую мы теперь называем ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {2}}$.^[1]

В 1893 г. Эли Картан опубликовал заметку, описывающую открытый сет в ${ displaystyle mathbb {C} ^ {5}}$ оснащен 2-х мерным распределение - то есть гладко меняющееся поле двумерных подпространств касательного пространства, для которого алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {2}}$ появляется как бесконечно малые симметрии.^[2] В том же году в том же журнале Энгель заметил то же самое. Позже было обнаружено, что двумерное распределение тесно связано с качением шара по другому шару. Пространство конфигураций катящегося шара является 5-мерным с двухмерным распределением, которое описывает движения шара, при котором он катится без проскальзывания или скручивания.^[3][4]

В 1900 году Энгель обнаружил, что антисимметричная трилинейная форма (или 3-форма) общего вида на 7-мерном комплексном векторном пространстве сохраняется группой, изоморфной комплексной форме G₂.^[5]

В 1908 году Картан упомянул, что группа автоморфизмов октонионов является 14-мерной простой группой Ли.^[6] В 1914 году он заявил, что это компактная вещественная форма G₂.^[7]

В старых книгах и статьях G₂ иногда обозначается E₂.

Реальные формы

С этой корневой системой связаны 3 простые вещественные алгебры Ли:

• Основная вещественная алгебра Ли комплексной алгебры Ли G₂ имеет размерность 28. Он имеет комплексное сопряжение как внешний автоморфизм и односвязен. Максимальная компактная подгруппа ассоциированной с ней группы - это компактная форма группы G₂.
• Алгебра Ли компактной формы 14-мерна. Ассоциированная группа Ли не имеет внешних автоморфизмов, центра, односвязна и компактна.
• Алгебра Ли некомпактной (расщепленной) формы имеет размерность 14. Ассоциированная простая группа Ли имеет фундаментальную группу порядка 2 и ее группа внешних автоморфизмов - тривиальная группа. Его максимальная компактная подгруппа равна SU (2) × SU (2) / (- 1, −1). Он имеет односвязное неалгебраическое двойное покрытие.

Алгебра

Диаграмма Дынкина и матрица Картана

В Диаграмма Дынкина за грамм₂ дан кем-то .

Его Матрица Картана является:

${ displaystyle left [{ begin {array} {rr} 2 & -3 - 1 & 2 end {array}} right]}$

Корни G₂

12 вектор корневая система из G2 в 2-х измерениях.

А2 Самолет Кокстера проекция 12 вершин кубооктаэдр содержат такое же расположение 2D-векторов.

График G2 как подгруппы F4 и E8 в проекции на плоскость Кокстера

Хотя они охватывать 2-мерное пространство, как оно нарисовано, гораздо более симметрично рассматривать как векторов в двумерном подпространстве трехмерного пространства.

Один комплект простые корни, за является:

(0,1,−1), (1,−2,1)

Группа Вейля / Кокстера

Его Weyl /Coxeter группа ${ Displaystyle G = W (G_ {2})}$ это группа диэдра, ${ displaystyle D_ {6}}$ из порядок 12. Имеет минимальную степень верности. ${ Displaystyle му (G) = 5}$.

Специальная голономия

грамм₂ одна из возможных специальных групп, которые могут появиться как голономия группа Риманова метрика. В коллекторы из G₂ голономию также называют грамм₂-многообразия.

Полиномиальный инвариант

грамм₂ - группа автоморфизмов следующих двух многочленов от 7 некоммутативных переменных.

${ displaystyle C_ {1} = t ^ {2} + u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}$

${ Displaystyle C_ {2} = tuv + wtx + ywu + zyt + vzw + xvy + uxz}$ (± перестановки)

которое происходит от алгебры октонионов. Переменные должны быть некоммутативными, иначе второй многочлен будет тождественно равен нулю.

Генераторы

Добавление представления 14 генераторов с коэффициентами А, ..., N дает матрицу:

${ displaystyle A lambda _ {1} + cdots + N lambda _ {14} = { begin {bmatrix} 0 & C & -B & E & -D & -G & F-M - C & 0 & A & F & -G + N & D-K & -EL B & -A & 0 & -N & M & L & -K - E & -F & N & 0 & -A + H & -B + I & C-J D & G-N & -M & A-H & 0 & J & I G & K-D & -L & B-I & -J & 0 & -H - F + M & E + L & K & -C + J & -I & H & 0 end {bmatrix}}}$

Это в точности алгебра Ли группы

${ displaystyle G_ {2} = {g in SO (7): g ^ {*} varphi = varphi, varphi = omega ^ {123} + omega ^ {145} + omega ^ { 167} + omega ^ {246} - omega ^ {257} - omega ^ {347} - omega ^ {356} }}$

Представления

Характеры конечномерных представлений вещественных и комплексных алгебр Ли и групп Ли задаются Формула характера Вейля. Размерности наименьших неприводимых представлений равны (последовательность A104599 в OEIS ):

1, 7, 14, 27, 64, 77 (дважды), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (дважды), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (дважды), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090….

14-мерное представление - это присоединенное представительство, а 7-мерное - действие группы G₂ на мнимых октонионах.

Имеются два неизоморфных неприводимых представления размерностей 77, 2079, 4928, 28652 и т. Д. фундаментальные представления имеют размеры 14 и 7 (соответствующие двум узлам в Диаграмма Дынкина в таком порядке, чтобы тройная стрелка указывала от первой ко второй).

Воган (1994) описал (бесконечномерные) унитарные неприводимые представления расщепленной вещественной формы G₂.

Конечные группы

Группа G₂(q) - точки алгебраической группы G₂ над конечное поле F_q. Эти конечные группы были впервые введены Леонард Юджин Диксон в Диксон (1901) для нечетных q и Диксон (1905) даже для q. Порядок G₂(q) является q⁶(q⁶ − 1)(q² − 1). Когда q ≠ 2, группа просто, и когда q = 2, он имеет простую подгруппу индекс 2 изоморфен ²А₂(3²), - группа автоморфизмов максимального порядка октонионов. Группа Янко J₁ была впервые построена как подгруппа в G₂(11). Ри (1960) представил скрученный Ри группы ²грамм₂(q) порядка q³(q³ + 1)(q − 1) за q = 3^2п+1, нечетная степень 3.

Смотрите также

• Матрица Картана
• Диаграмма Дынкина
• Исключительная йорданова алгебра
• Фундаментальное представление
• грамм₂-структура
• Группа Ли
• Семимерное перекрестное произведение
• Простая группа Ли

Рекомендации

• Адамс, Дж. Франк (1996), Лекции об исключительных группах Ли, Чикагские лекции по математике, Издательство Чикагского университета, ISBN  978-0-226-00526-3, МИСТЕР  1428422
• Баэз, Джон (2002), «Октонионы», Бык. Амер. Математика. Soc., 39 (2): 145–205, arXiv:математика / 0105155, Дои:10.1090 / S0273-0979-01-00934-X.

См. Раздел 4.1: G₂; онлайн-версия HTML доступна по адресу http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node14.html.

• Брайант, Роберт (1987), «Метрики с исключительной голономией», Анналы математики, 2, 126 (3): 525–576, Дои:10.2307/1971360, JSTOR  1971360
• Диксон, Леонард Юджин (1901), "Теория линейных групп в произвольном поле", Труды Американского математического общества, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, 2 (4): 363–394, Дои:10.1090 / S0002-9947-1901-1500573-3, ISSN  0002-9947, JSTOR  1986251, Перепечатанный в томе II его собрания статей Леонард Э. Диксон сообщил о группах типа G₂ в полях нечетной характеристики.
• Диксон, Л.Э. (1905), «Новая система простых групп», Математика. Анна., 60: 137–150, Дои:10.1007 / BF01447497 Леонард Э. Диксон сообщил о группах типа G₂ в полях четной характеристики.
• Ри, Римхак (1960), "Семейство простых групп, связанных с простой алгеброй Ли типа (G₂)", Бюллетень Американского математического общества, 66 (6): 508–510, Дои:10.1090 / S0002-9904-1960-10523-X, ISSN  0002-9904, МИСТЕР  0125155
• Воган, Дэвид А. младший (1994), "Унитарный двойственный G₂", Inventiones Mathematicae, 116 (1): 677–791, Bibcode:1994ИнМат.116..677В, Дои:10.1007 / BF01231578, ISSN  0020-9910, МИСТЕР  1253210