F4 (математика) - F4 (mathematics)

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный грамм2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

В математика, F₄ это имя Группа Ли а также его Алгебра Ли ж₄. Это один из пяти исключительных простые группы Ли. F₄ имеет ранг 4 и размерность 52. Компактная форма односвязна и ее группа внешних автоморфизмов это тривиальная группа. Его фундаментальное представление 26-мерный.

Компактная вещественная форма F₄ это группа изометрии 16-мерного Риманово многообразие известный как октонионная проективная плоскость OP². Систематически это можно увидеть, используя конструкцию, известную как магический квадрат, из-за Ганс Фройденталь и Жак Титс.

Есть 3 реальные формы: компактный, раздельный и третий. Это группы изометрий трех реальных Альбертовые алгебры.

F₄ Алгебра Ли может быть построена путем добавления 16 генераторов, преобразующихся как спинор к 36-мерной алгебре Ли так(9), по аналогии с построением E₈.

В старых книгах и статьях F₄ иногда обозначается E₄.

Алгебра

Диаграмма Дынкина

В Диаграмма Дынкина для F₄ является: .

Группа Вейля / Кокстера

Его Weyl /Coxeter группа ${ Displaystyle G = W влево ( mathrm {F} _ {4} right)}$ это группа симметрии из 24-элементный: это разрешимая группа порядка 1152. Имеет минимальную точную степень ${ Displaystyle му (G) = 24}$^[1] который реализуется действием на 24-элементный.

Матрица Картана

${ displaystyle left [{ begin {array} {rrrr} 2 & -1 & 0 & 0 - 1 & 2 & -2 & 0 0 & -1 & 2 & -1 0 & 0 & -1 & 2 end {array}} right]}$

F₄ решетка

F₄ решетка четырехмерный объемно-центрированная кубическая решетка (т.е. объединение двух гиперкубические решетки, каждый из которых лежит в центре другого). Они образуют звенеть называется Кватернион Гурвица звенеть. 24 кватерниона Гурвица нормы 1 образуют вершины 24-элементный с центром в начале координат.

Корни F₄

24 вершины 24-элементный (красный) и 24 вершины двойственного ему (желтый) представляют собой 48 корневых векторов F₄ в этом Самолет Кокстера проекция

48 корневые векторы выключенный₄ можно найти как вершины 24-элементный в двух двойственных конфигурациях, представляющих вершины дисфеноидальный 288-элементный если длины граней 24 ячеек равны:

24-ячеечные вершины:

• 24 корня по (± 1, ± 1,0,0), меняя положения координат

Двойные 24-ячеечные вершины:

• 8 корней по (± 1, 0, 0, 0), меняя положения координат
• 16 корней по (± ½, ± ½, ± ½, ± ½).

Простые корни

Один выбор простые корни для F₄, , задается строками следующей матрицы:

${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 1 { frac {1} {2}} & - { frac {1} {2}} & - { frac { 1} {2}} & - { frac {1} {2}} end {bmatrix}}}$

Диаграмма Хассе из F4 корневой посет с краевыми метками, определяющими добавленную простую корневую позицию

F₄ полиномиальный инвариант

Так же, как O (п) - группа автоморфизмов, сохраняющих квадратичные многочлены Икс² + у² + ... инвариант, F₄ - группа автоморфизмов следующего набора из 3 полиномов от 27 переменных. (Первую можно легко заменить на две другие, составляя 26 переменных).

${ displaystyle C_ {1} = x + y + z}$

${ displaystyle C_ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + 2X { overline {X}} + 2Y { overline {Y}} + 2Z { overline {Z }}}$

${ displaystyle C_ {3} = xyz-xX { overline {X}} - yY { overline {Y}} - zZ { overline {Z}} + XYZ + { overline {XYZ}}}$

Где Икс, у, z действительно ценятся и Икс, Y, Z октонион ценится. Другой способ записать эти инварианты - это как (комбинации) Tr (M), Tr (M²) и Tr (M³) из эрмитский октонион матрица:

${ displaystyle M = { begin {bmatrix} x & { overline {Z}} & Y Z & y & { overline {X}} { overline {Y}} & X & z end {bmatrix}}}$

Набор многочленов определяет 24-мерную компактную поверхность.

Представления

Характеры конечномерных представлений вещественных и комплексных алгебр Ли и групп Ли задаются Формула характера Вейля. Размерности наименьших неприводимых представлений равны (последовательность A121738 в OEIS ):

1, 26, 52, 273, 324, 1053 (дважды), 1274, 2652, 4096, 8424, 10829, 12376, 16302, 17901, 19278, 19448, 29172, 34749, 76076, 81081, 100776, 106496, 107406, 119119 , 160056 (дважды), 184756, 205751, 212992, 226746, 340119, 342056, 379848, 412776, 420147, 627912…

52-мерное представление - это присоединенное представительство, а 26-мерная - бесследная часть действия F₄ на исключительном Алгебра Альберта размерности 27.

Имеются два неизоморфных неприводимых представления размерностей 1053, 160056, 4313088 и т. Д. фундаментальные представления имеют размеры 52, 1274, 273, 26 (соответствуют четырем узлам в Диаграмма Дынкина в таком порядке, чтобы двойная стрелка указывала со второй на третью).

Смотрите также

• Алгебра Альберта
• Самолет Кэли
• Диаграмма Дынкина
• Фундаментальное представление
• Простая группа Ли

Рекомендации

• Адамс, Дж. Франк (1996). Лекции об исключительных группах Ли. Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-00526-3. МИСТЕР  1428422.
• Джон Баэз, Октонионы, Раздел 4.2: F₄, Бык. Амер. Математика. Soc. 39 (2002), 145-205. Онлайн-версия HTML по адресу http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node15.html.
• Chevalley C, Schafer RD (февраль 1950 г.). «Исключительные простые алгебры Ли F (4) и E (6)». Proc. Natl. Акад. Sci. СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ. 36 (2): 137–41. Bibcode:1950PNAS ... 36..137C. Дои:10.1073 / pnas.36.2.137. ЧВК  1063148. PMID  16588959.
• Джейкобсон, Натан (1971-06-01). Исключительные алгебры Ли (1-е изд.). CRC Press. ISBN  0-8247-1326-5.