Конформная группа - Conformal group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро образ прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) г2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В математика, то конформная группа пространства - это группа преобразований из пространства в себя, сохраняющих углы. Более формально это группа преобразований, сохраняющих конформная геометрия пространства.

Особенно важны несколько конкретных конформных групп:

• Конформный ортогональная группа. Если V - векторное пространство с квадратичная форма Q, то конформно ортогональная группа CO (V, Q) группа линейных преобразований Т из V для которого существует скаляр λ такое, что для всех Икс в V

  ${ Displaystyle Q (Tx) = lambda ^ {2} Q (x)}$

Для определенная квадратичная форма, конформно ортогональная группа равна ортогональная группа раз группа расширение.

• Конформная группа сфера генерируется инверсии по кругу. Эта группа также известна как Группа Мебиуса.
• В Евклидово пространство E^п, п > 2, конформная группа порождается инверсиями в гиперсферы.
• В псевдоевклидово пространство E^п,q, конформная группа есть Конф (п, q) ≃ O (п + 1, q + 1) / Z₂.^[1]

Все конформные группы Группы Ли.

Угловой анализ

В евклидовой геометрии можно ожидать стандартного кругового угол быть характерным, но в псевдоевклидово пространство есть также гиперболический угол. При изучении специальная теория относительности различные системы отсчета для переменной скорости относительно системы покоя связаны соотношением быстрота, гиперболический угол. Один из способов описать Повышение лоренца как гиперболическое вращение что сохраняет дифференциальный угол между быстротами. Таким образом они конформные преобразования относительно гиперболического угла.

Метод создания соответствующей конформной группы состоит в том, чтобы имитировать шаги Группа Мебиуса как конформная группа обычных комплексная плоскость. Псевдоевклидова геометрия поддерживается альтернативными комплексными плоскостями, где точки разделенные комплексные числа или двойные числа. Так же, как группа Мёбиуса требует Сфера Римана, а компактное пространство, для полного описания, поэтому альтернативные сложные плоскости требуют компактификации для полного описания конформного отображения. Тем не менее, конформная группа в каждом случае имеет вид дробно-линейные преобразования в соответствующем самолете.^[2]

Конформная группа пространства-времени

В 1908 г. Гарри Бейтман и Эбенезер Каннингем, двое молодых исследователей из Ливерпульский университет, поднял идею конформная группа пространства-времени^[3][4][5] Они утверждали, что кинематика группы неизбежно конформны, поскольку они сохраняют квадратичную форму пространства-времени и сродни ортогональные преобразования, хотя в отношении изотропная квадратичная форма. Свобода электромагнитное поле не ограничиваются кинематическими движениями, а скорее требуются только локально пропорционально преобразование, сохраняющее квадратичную форму. В статье Гарри Бейтмана 1910 г. Матрица якобиана преобразования, сохраняющего световой конус и показал, что у него есть конформное свойство (пропорциональное сохранению формы).^[6] Бейтман и Каннингем показали, что эта конформная группа является «самой большой группой преобразований, уходящих Уравнения Максвелла структурно инвариантный ".^[7] Конформная группа пространства-времени была обозначена С (1,3)^[8]

Исаак Яглом внес свой вклад в математику конформных преобразований пространства-времени в сплит-комплекс и двойные числа.^[9] Поскольку разделенные комплексные числа и двойные числа образуют кольца не поля, дробно-линейные преобразования требуют проективная прямая над кольцом быть биективными отображениями.

Это было традиционным со времен работы Людвик Зильберштейн в 1914 году использовать кольцо бикватернионы для представления группы Лоренца. Для конформной группы пространства-времени достаточно рассмотреть дробно-линейные преобразования на проективной прямой над этим кольцом. Элементы конформной группы пространства-времени были названы преобразования сферических волн пользователя Bateman. Подробности изучения квадратичной формы пространства-времени были включены в Геометрия сферы Ли.

Комментируя непрекращающийся интерес к физической науке, А. О. Барут писал в 1985 году: «Одна из основных причин интереса к конформной группе состоит в том, что это, возможно, самая важная из более крупных групп, содержащих Группа Пуанкаре."^[10]

Смотрите также

• Конформная карта
• Конформная симметрия

использованная литература

дальнейшее чтение

• Кобаяши, С. (1972). Группы преобразований в дифференциальной геометрии. Классика по математике. Springer. ISBN  3-540-58659-8. OCLC  31374337.
• Шарп, Р. В. (1997), Дифференциальная геометрия: Картановское обобщение Эрлангенской программы Клейна, Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, ISBN  0-387-94732-9.
• Питер Шерк (1960) "Некоторые концепции конформной геометрии", Американский математический ежемесячный журнал 67(1): 1−30 Дои: 10.2307/2308920