Симплектическая группа - Symplectic group

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный г2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Показатель Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро образ прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) г2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В математика, название симплектическая группа может относиться к двум различным, но тесно связанным собраниям математических группы, обозначенный Sp (2п, F) и Sp (п) для положительного целого числа п и поле F (обычно C или р). Последний называется компактная симплектическая группа. Многие авторы предпочитают несколько разные обозначения, обычно различающиеся по коэффициентам 2. Используемые здесь обозначения соответствуют размеру наиболее распространенных матрицы которые представляют группы. В Картан классификация простые алгебры Ли, алгебра Ли комплексной группы Sp (2п, C) обозначается C_п, и Sp (п) это компактная реальная форма из Sp (2п, C). Обратите внимание, что когда мы говорим о то (компактная) симплектическая группа подразумевается, что мы говорим о наборе (компактных) симплектических групп, индексированных по их размерности п.

Название "симплектическая группа" благодаря Герману Вейлю в качестве замены прежних запутанных имен (линия) сложная группа и Абелева линейная группа, и является греческим аналогом слова «комплекс».

В метаплектическая группа является двойным накрытием симплектической группы над р; имеет аналоги перед другими местные поля, конечные поля, и Адель кольца.

Sp (2п, F)

Симплектическая группа - это классическая группа определяется как набор линейные преобразования из 2п-размерный векторное пространство над полем F которые сохраняют невырожденный кососимметричный билинейная форма. Такое векторное пространство называется симплектическое векторное пространство, и симплектическая группа абстрактного симплектического векторного пространства V обозначается Sp (V). При фиксации основы для Vсимплектическая группа превращается в группу 2п × 2п симплектические матрицы, с записями в F, под действием матричное умножение. Эта группа обозначается либо Sp (2п, F) или Sp (п, F). Если билинейная форма представлена неособый кососимметричная матрица Ω, то

${ displaystyle operatorname {Sp} (2n, F) = {M in M_ {2n times 2n} (F): M ^ { mathrm {T}} Omega M = Omega },}$

где M^Т это транспонировать из M. Часто Ω определяется как

${ displaystyle Omega = { begin {pmatrix} 0 & I_ {n} - I_ {n} & 0 end {pmatrix}},}$

где я_п - единичная матрица. В таком случае, Sp (2п, F) можно выразить как эти блочные матрицы ${ displaystyle ({ begin {smallmatrix} A&B C&D end {smallmatrix}})}$, где ${ Displaystyle А, В, С, D в M_ {п раз п} (F)}$, удовлетворяющие уравнениям:

${ displaystyle { begin {align} -C ^ { mathrm {T}} A + A ^ { mathrm {T}} C & = 0, - C ^ { mathrm {T}} B + A ^ { mathrm {T}} D & = I_ {n}, - D ^ { mathrm {T}} A + B ^ { mathrm {T}} C & = - I_ {n}, - D ^ { mathrm {T}} B + B ^ { mathrm {T}} D & = 0. end {align}}}$

Поскольку все симплектические матрицы имеют детерминант 1, симплектическая группа является подгруппа из специальная линейная группа SL (2п, F). Когда п = 1, симплектическое условие на матрицу выполняется если и только если определитель один, так что Sp (2, F) = SL (2, F). За п > 1, есть дополнительные условия, т.е. Sp (2п, F) тогда является собственной подгруппой в SL (2п, F).

Обычно поле F это область действительные числа р или сложные числа C. В этих случаях Sp (2п, F) реальный / сложный Группа Ли реального / комплексного измерения п(2п + 1). Эти группы связаны но некомпактный.

В центр из Sp (2п, F) состоит из матриц я_2п и −я_2п пока характеристика поля не является 2.^[1] Поскольку центр Sp (2п, F) дискретна и его фактор по центру равен простая группа, Sp (2п, F) считается простая группа Ли.

Действительный ранг соответствующей алгебры Ли, а значит, и группы Ли Sp (2п, F), является п.

В Алгебра Ли из Sp (2п, F) это набор

${ displaystyle { mathfrak {sp}} (2n, F) = {X in M_ {2n times 2n} (F): Omega X + X ^ { mathrm {T}} Omega = 0 },}$

оснащен коммутатор как его скобка Ли.^[2] Для стандартной кососимметричной билинейной формы ${ displaystyle Omega = ({ begin {smallmatrix} 0 & I - I & 0 end {smallmatrix}})}$, эта алгебра Ли представляет собой множество всех блочных матриц ${ displaystyle ({ begin {smallmatrix} A&B C&D end {smallmatrix}})}$ при соблюдении условий

${ displaystyle { begin {align} A & = - D ^ { mathrm {T}}, B & = B ^ { mathrm {T}}, C & = C ^ { mathrm {T}}. конец {выровнено}}}$

Sp (2п, C)

Симплектическая группа над полем комплексных чисел есть некомпактный, односвязный, простая группа Ли.

Sp (2п, р)

Sp (2п, C) это комплексирование настоящей группы Sp (2п, р). Sp (2п, р) настоящий, некомпактный, связаны, простая группа Ли.^[3] Оно имеет фундаментальная группа изоморфный к группе целые числа под дополнением. Поскольку реальная форма из простая группа Ли его алгебра Ли - это расщепляемая алгебра Ли.

Некоторые дополнительные свойства Sp (2п, р):

• В экспоненциальная карта от Алгебра Ли зр(2п, р) к группе Sp (2п, р) не является сюръективный. Однако любой элемент группы может быть получен путем группового умножения двух элементов.^[4] Другими словами,

${ displaystyle forall S in operatorname {Sp} (2n, mathbf {R}) , , exists X, Y in { mathfrak {sp}} (2n, mathbf {R}) , , S = e ^ {X} e ^ {Y}.}$

• Для всех S в Sp (2п, р):

${ displaystyle S = OZO ' quad { text {такой, что}} quad O, O' in operatorname {Sp} (2n, mathbf {R}) cap operatorname {SO} (2n) cong U (n) quad { text {and}} quad Z = { begin {pmatrix} D & 0 0 & D ^ {- 1} end {pmatrix}}.}$

Матрица D является положительно определенный и диагональ. Набор таких Zs образует некомпактную подгруппу в Sp (2п, р) в то время как U (п) образует компактную подгруппу. Это разложение известно как разложение Эйлера или разложения Блоха – Мессии.^[5] В дальнейшем симплектическая матрица properties можно найти на этой странице в Википедии.

• Как Группа Ли, Sp (2п, р) имеет многообразную структуру. В многообразие за Sp (2п, р) является диффеоморфный к Декартово произведение из унитарная группа U (п) с векторное пространство измерения п(п+1).^[6]

Бесконечно малые генераторы

Члены симплектической алгебры Ли зр(2п, F) являются Гамильтоновы матрицы.

Это матрицы, ${ displaystyle Q}$ такой, что

${ displaystyle Q = { begin {pmatrix} A&B C & -A ^ { mathrm {T}} end {pmatrix}}}$

где B и C находятся симметричные матрицы. Увидеть классическая группа для вывода.

Пример симплектических матриц

За Sp (2, р), группа 2 × 2 матрицы с определителем 1, три симплектических (0, 1)-матрицы бывают:^[7]

${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}, quad { begin {pmatrix} 1 & 0 1 & 1 end {pmatrix}} quad { text {and}} quad { begin {pmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {pmatrix}}.}$

Sp (n, R)

Оказывается, что ${ displaystyle operatorname {Sp} (n, mathbf {R})}$ может иметь довольно явное описание с помощью генераторов. Если мы позволим ${ displaystyle operatorname {Sym} (n)}$ обозначим симметричный ${ Displaystyle п раз п}$ матрицы, то ${ displaystyle operatorname {Sp} (n, mathbf {R})}$ генерируется ${ Displaystyle D (п) чашка N (п) чашка { Omega },}$ где

${ displaystyle { begin {align} D (n) & = left { left. { begin {bmatrix} A & 0 0 & (A ^ {T}) ^ {- 1} end {bmatrix}} , right | , A in operatorname {GL} (n, mathbf {R}) right } [6pt] N (n) & = left { left. { begin { bmatrix} I_ {n} & B 0 & I_ {n} end {bmatrix}} , right | , B in operatorname {Sym} (n) right } end {выровнено}}}$

являются подгруппами ${ displaystyle operatorname {Sp} (n, mathbf {R})}$^{[8]стр.173 [9]стр. 2}.

Связь с симплектической геометрией

Симплектическая геометрия это изучение симплектические многообразия. В касательное пространство в любой точке симплектического многообразия является симплектическое векторное пространство.^[10] Как отмечалось ранее, сохраняющие структуру преобразования симплектического векторного пространства образуют группа и эта группа Sp (2п, F), в зависимости от размеров помещения и поле над которым он определяется.

Симплектическое векторное пространство само является симплектическим многообразием. Преобразование под действие симплектической группы является в некотором смысле линеаризованной версией симплектоморфизм которое является более общим сохраняющим структуру преобразованием на симплектическом многообразии.

Sp (п)

В компактная симплектическая группа^[11] Sp (п) это пересечение Sp (2п, C) с ${ displaystyle 2n times 2n}$ унитарная группа:

${ displaystyle operatorname {Sp} (n): = operatorname {Sp} (2n; mathbf {C}) cap operatorname {U} (2n) = operatorname {Sp} (2n; mathbf {C }) cap operatorname {SU} (2n).}$

Иногда его пишут как USp (2п). В качестве альтернативы, Sp (п) можно описать как подгруппу GL (п, ЧАС) (обратимый кватернионный матрицы), сохраняющий стандартную эрмитская форма на ЧАС^п:

${ displaystyle langle x, y rangle = { bar {x}} _ {1} y_ {1} + cdots + { bar {x}} _ {n} y_ {n}.}$

Это, Sp (п) это просто кватернионная унитарная группа, U (п, ЧАС).^[12] Действительно, его иногда называют гиперунитарная группа. Также Sp (1) - это группа кватернионов нормы 1, что эквивалентно SU (2) и топологически 3-сфера S³.

Обратите внимание, что Sp (п) является нет симплектическая группа в смысле предыдущего раздела - она ​​не сохраняет невырожденную кососимметрическую ЧАС-билинейная форма на ЧАС^п: кроме нулевой формы такой формы нет. Скорее, он изоморфен подгруппе Sp (2п, C), и тем самым сохраняет сложную симплектическую форму в векторном пространстве размерности вдвое большей. Как объяснено ниже, алгебра Ли Sp (п) компактный реальная форма комплексной симплектической алгебры Ли зр(2п, C).

Sp (п) является действительной группой Ли с (реальной) размерностью п(2п + 1). это компактный, связаны, и односвязный.^[13]

Алгебра Ли Sp (п) дается кватернионным косоэрмитский матриц, набор п-от-п кватернионные матрицы, удовлетворяющие

${ displaystyle A + A ^ { dagger} = 0}$

где А^† это сопряженный транспонировать из А (здесь берется кватернионное сопряжение). Скобка Ли задается коммутатором.

Важные подгруппы

Некоторые основные подгруппы:

${ Displaystyle OperatorName {Sp} (n) supset OperatorName {Sp} (n-1)}$

${ Displaystyle OperatorName {Sp} (n) supset OperatorName {U} (n)}$

${ Displaystyle OperatorName {Sp} (2) supset OperatorName {O} (4)}$

Наоборот, это сама подгруппа некоторых других групп:

${ Displaystyle OperatorName {SU} (2n) supset OperatorName {Sp} (n)}$

${ displaystyle operatorname {F} _ {4} supset operatorname {Sp} (4)}$

${ displaystyle operatorname {G} _ {2} supset operatorname {Sp} (1)}$

Есть также изоморфизмы из Алгебры Ли зр(2) = так(5) и зр(1) = так(3) = вс(2).

Связь между симплектическими группами

Каждый комплекс, полупростая алгебра Ли имеет разделить реальную форму и компактная реальная форма; первый называется комплексирование из двух последних.

Алгебра Ли Sp (2п, C) является полупростой и обозначается зр(2п, C). это разделить реальную форму является зр(2п, р) и это компактная реальная форма является зр(п). Они соответствуют группам Ли Sp (2п, р) и Sp (п) соответственно.

Алгебры, зр(п, п − п), которые являются алгебрами Ли Sp (п, п − п), являются неопределенная подпись эквивалент компактной формы.

Физическое значение

Классическая механика

Компактная симплектическая группа Sp (п) возникает в классической физике как симметрии канонических координат, сохраняющие скобку Пуассона.

Рассмотрим систему п частицы, развивающиеся под Уравнения Гамильтона чье положение в фазовое пространство в данный момент времени обозначается вектором канонические координаты,

${ displaystyle mathbf {z} = (q ^ {1}, ldots, q ^ {n}, p_ {1}, ldots, p_ {n}) ^ { mathrm {T}}.}$

Элементы группы Sp (2п, р) в определенном смысле канонические преобразования на этом векторе, т.е. сохраняют вид Уравнения Гамильтона.^[14][15] Если

${ Displaystyle mathbf {Z} = mathbf {Z} ( mathbf {z}, t) = (Q ^ {1}, ldots, Q ^ {n}, P_ {1}, ldots, P_ { п}) ^ { mathrm {T}}}$

- новые канонические координаты, то с точкой, обозначающей производную по времени,

${ displaystyle { dot { mathbf {Z}}} = M ({ mathbf {z}}, t) { dot { mathbf {z}}},}$

где

${ Displaystyle М ( mathbf {z}, t) in operatorname {Sp} (2n, mathbf {R})}$

для всех т и все z в фазовом пространстве.^[16]

В частном случае Риманово многообразие, Уравнения Гамильтона описывают геодезические на этом коллекторе. Координаты ${ Displaystyle д ^ {я}}$ жить в касательный пучок к многообразию, а импульсы ${ displaystyle p_ {i}}$ жить в котангенсный пучок. Это причина, по которой они обычно записываются с верхним и нижним индексами; это различать их расположение. Соответствующий гамильтониан состоит исключительно из кинетической энергии: это ${ displaystyle H = { tfrac {1} {2}} g ^ {ij} (q) p_ {i} p_ {j}}$ где ${ displaystyle g ^ {ij}}$ инверсия метрический тензор ${ displaystyle g_ {ij}}$ на римановом многообразии.^[17][15] Кокасательное расслоение любого риманового многообразия является частным случаем симплектическое многообразие.

Квантовая механика

Эта секция нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. (Октябрь 2019) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Рассмотрим систему п частицы, чьи квантовое состояние кодирует свое положение и импульс. Эти координаты являются непрерывными переменными и, следовательно, Гильбертово пространство, в котором живет государство, является бесконечномерным. Это часто затрудняет анализ данной ситуации. Альтернативный подход заключается в рассмотрении эволюции операторов положения и импульса при Уравнение Гейзенберга в фазовое пространство.

Построить вектор канонические координаты,

${ displaystyle mathbf { hat {z}} = ({ hat {q}} ^ {1}, ldots, { hat {q}} ^ {n}, { hat {p}} _ { 1}, ldots, { hat {p}} _ {n}) ^ { mathrm {T}}.}$

В каноническое коммутационное соотношение можно выразить просто как

${ Displaystyle [ mathbf { шляпа {z}}, mathbf { шляпа {z}} ^ { mathrm {T}}] = я hbar Omega}$

где

${ displaystyle Omega = { begin {pmatrix} mathbf {0} & I_ {n} - I_ {n} & mathbf {0} end {pmatrix}}}$

и я_п это п × п единичная матрица.

Многие физические ситуации требуют только квадратичного Гамильтонианы, т.е. Гамильтонианы формы

${ displaystyle { hat {H}} = { frac {1} {2}} mathbf { hat {z}} ^ { mathrm {T}} K mathbf { hat {z}}}$

где K это 2п × 2п настоящий, симметричная матрица. Это оказывается полезным ограничением и позволяет нам переписать Уравнение Гейзенберга так как

${ displaystyle { frac {d mathbf { hat {z}}} {dt}} = Omega K mathbf { hat {z}}}$

Решение этого уравнения должно сохранять каноническое коммутационное соотношение. Можно показать, что эволюция этой системы во времени эквивалентна действие из вещественная симплектическая группа, Sp (2п, р), на фазовом пространстве.

Смотрите также

• Ортогональная группа
• Унитарная группа
• Проективная унитарная группа
• Симплектическое многообразие, Симплектическая матрица, Симплектическое векторное пространство, Симплектическое представление
• Гамильтонова механика
• Метаплектическая группа
• Θ10

Примечания

использованная литература

• Арнольд, В.И. (1989), Математические методы классической механики, Тексты для выпускников по математике, 60 (второе изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-96890-3
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3319134666
• Фултон, В.; Харрис, Дж. (1991), Теория представлений, первый курс, Тексты для выпускников по математике, 129, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97495-8.
• Гольдштейн, Х. (1980) [1950]. «Глава 7». Классическая механика (2-е изд.). Чтение MA: Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-02918-9.
• Ли, Дж. М. (2003), Введение в гладкие многообразия, Тексты для выпускников по математике, 218, Springer-Verlag, ISBN  0-387-95448-1
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли - введение через линейные группы, Оксфордские выпускные программы по математике, Oxford Science Publications, ISBN  0-19-859683-9
• Ферраро, Алессандро; Оливарес, Стефано; Пэрис, Маттео Г. А. (март 2005 г.), "Гауссовы состояния в непрерывной переменной квантовой информации", arXiv:Quant-ph / 0503237.