Расщепленная алгебра Ли - Split Lie algebra

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный грамм2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

в математический поле Теория лжи, а расщепленная алгебра Ли пара ${ displaystyle ({ mathfrak {g}}, { mathfrak {h}})}$ куда ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ это Алгебра Ли и ${ Displaystyle { mathfrak {h}} <{ mathfrak {g}}}$ это расщепление Подалгебра Картана, где «расщепление» означает, что для всех ${ displaystyle x in { mathfrak {h}}}$, ${ displaystyle operatorname {ad} _ { mathfrak {g}} x}$ является треугольный. Если алгебра Ли допускает расщепление, она называется расщепляемая алгебра Ли.^[1] Обратите внимание, что для редуктивных алгебр Ли подалгебра Картана должна содержать центр.

Более алгебраически замкнутое поле такой как сложные числа, все полупростые алгебры Ли расщепляемы (действительно, подалгебра Картана действует не только триангулируемыми матрицами, но даже сильнее, она действует диагонализуемыми матрицами), и все расщепления сопряжены; таким образом, расщепленные алгебры Ли представляют наибольший интерес для неалгебраически замкнутых полей.

Расщепляемые алгебры Ли интересны как потому, что они формализуют разделить реальную форму комплексной алгебры Ли, и поскольку расщепляемые полупростые алгебры Ли (в более общем смысле, расщепляемые редуктивные алгебры Ли) над любым полем имеют много общих свойств с полупростыми алгебрами Ли над алгебраически замкнутыми полями - например, имеющие по существу ту же теорию представлений, - расщепляющую подалгебру Картана играет ту же роль, что и подалгебра Картана над алгебраически замкнутыми полями. Это подход, использованный в (Бурбаки 2005 ), например.

Характеристики

• Над алгебраически замкнутым полем все подалгебры Картана сопряжены. Над неалгебраически замкнутыми полями не все подалгебры Картана, вообще говоря, сопряжены; однако в расщепляемой полупростой алгебре Ли все расщепление Алгебры Картана сопряжены.
• Над алгебраически замкнутым полем все полупростые алгебры Ли расщепляемы.
• Над неалгебраически замкнутым полем существуют нерасщепляемые полупростые алгебры Ли.^[2]
• В расщепляемой алгебре Ли существует май существуют нерасщепляющиеся подалгебры Картана.^[3]
• Прямые суммы расщепляемых алгебр Ли и идеалы расщепляемых алгебр Ли расщепляемы.

Расщепить вещественные алгебры Ли

Для реальной алгебры Ли расщепляемость эквивалентна любому из этих условий:^[4]

• Реальный ранг равен комплексному рангу.
• В Диаграмма сатаке не имеет ни черных вершин, ни стрелок.

Каждая комплексная полупростая алгебра Ли имеет единственную (с точностью до изоморфизма) расщепляемую вещественную алгебру Ли, которая также полупроста и проста тогда и только тогда, когда комплексная алгебра Ли такова.^[5]

Для вещественных полупростых алгебр Ли расщепленные алгебры Ли противоположны компактные алгебры Ли - соответствующая группа Ли «насколько возможно» не компактна.

Примеры

Расщепляемые вещественные формы комплексных полупростых алгебр Ли:^[6]

• ${ displaystyle A_ {n}, { mathfrak {sl}} _ {n + 1} ( mathbf {C}): { mathfrak {sl}} _ {n + 1} ( mathbf {R})}$
• ${ displaystyle B_ {n}, { mathfrak {so}} _ {2n + 1} ( mathbf {C}): { mathfrak {so}} _ {n, n + 1} ( mathbf {R} )}$
• ${ displaystyle C_ {n}, { mathfrak {sp}} _ {n} ( mathbf {C}): { mathfrak {sp}} _ {n} ( mathbf {R})}$
• ${ displaystyle D_ {n}, { mathfrak {so}} _ {2n} ( mathbf {C}): { mathfrak {so}} _ {n, n} ( mathbf {R})}$
• Исключительные алгебры Ли: ${ displaystyle E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}, F_ {4}, G_ {2}}$ разделили реальные формы EЯ, EV, EVIII, FЯ, грамм.

Это алгебры Ли расщепляемых вещественных групп комплексных групп Ли.

Обратите внимание, что для ${ displaystyle { mathfrak {sl}}}$ и ${ displaystyle { mathfrak {sp}}}$, действительная форма - это вещественные точки (алгебры Ли) того же алгебраическая группа, а для ${ displaystyle { mathfrak {so}}}$ необходимо использовать расщепленные формы (максимально неопределенного индекса), так как группа SO компактна.

Смотрите также

• Компактная алгебра Ли
• Реальная форма
• Сплит-комплексное число
• Расщепленная ортогональная группа

Рекомендации