Нормальная подгруппа - Normal subgroup

В абстрактная алгебра, а нормальная подгруппа (также известный как инвариантная подгруппа или же самосопряженная подгруппа)^[1] это подгруппа что инвариантно относительно спряжение членами группа частью которого он является. Другими словами, подгруппа $N$ группы $грамм$ нормально в $грамм$ если и только если $gng -1 \in N$ для всех $грамм \in грамм$ и $п \in N$ . Обычное обозначение этого отношения: ${displaystyle N riangleleft G}$ .

Нормальные подгруппы важны, потому что они (и только они) могут использоваться для построения факторгруппы данной группы. Кроме того, нормальные подгруппы группы $грамм$ точно ядра из групповые гомоморфизмы с доменом $грамм$ , что означает, что их можно использовать для внутренней классификации этих гомоморфизмов.

Эварист Галуа был первым, кто осознал важность существования нормальных подгрупп.^[2]

Определения

А подгруппа $N$ группы $грамм$ называется нормальная подгруппа из $грамм$ если он инвариантен относительно спряжение; то есть сопряжение элемента из $N$ элементом $грамм$ всегда в $N$ .^[3] Обычное обозначение этого отношения: ${displaystyle N riangleleft G}$ .

Эквивалентные условия

Для любой подгруппы $N$ из $грамм$ , следующие условия эквивалент к $N$ будучи нормальной подгруппой $грамм$ . Следовательно, любой из них можно принять за определение:

Образ сопряжения $N$ любым элементом $грамм$ это подмножество $N$ .^[4]'
Образ сопряжения $N$ любым элементом $грамм$ равно $N$ .^[4]
Для всех $грамм$ в $грамм$ , левый и правый смежные классы $gN$ и $Нг$ равны.^[4]
Наборы левого и правого смежные классы из $N$ в $грамм$ совпадают.^[4]
Произведение элемента левого смежного класса $N$ относительно $грамм$ и элемент левого смежного класса $N$ относительно $час$ является элементом левого смежного класса $N$ относительно $gh$ : $\forall Икс, у, грамм, час \in грамм$ , если $Икс \in gN$ и $у \in hN$ тогда $ху \in (gh) N$ .
$N$ это союз из классы сопряженности из $грамм$ .^[2]
$N$ сохраняется внутренние автоморфизмы из $грамм$ .^[5]
Существует некоторое групповой гомоморфизм $грамм \to ЧАС$ чей ядро является $N$ .^[2]
Для всех ${displaystyle nin N}$ и ${displaystyle gin G}$ , то коммутатор ${displaystyle [n, g] = n ^ {- 1} g ^ {- 1} ng}$ в $N$ .^{[нужна цитата ]}
Любые два элемента коммутируют относительно нормального отношения членства в подгруппе: $\forall грамм, час \in грамм, gh \in N \Leftrightarrow hg \in N$ .^{[нужна цитата ]}

Примеры

Тривиальная подгруппа ${е}$ состоящий только из элемента идентичности $грамм$ и $грамм$ сами всегда являются нормальными подгруппами $грамм$ . Если это единственные нормальные подгруппы, то $грамм$ как говорят просто.^[6]
Каждая подгруппа $N$ из абелева группа $грамм$ это нормально, потому что ${displaystyle gN = {gn} _ {nin N} = {ng} _ {nin N} = Ng.}$ Группа, которая не является абелевой, но для которой каждая подгруппа нормальна, называется группой. Гамильтонова группа.^[7]
В центр группы - нормальная подгруппа.^[8]
В общем, любой характеристическая подгруппа нормально, так как спряжение всегда автоморфизм.^[9]
В коммутаторная подгруппа ${displaystyle [G, G]}$ нормальная подгруппа ${displaystyle G}$ .^[10]
В группа переводов нормальная подгруппа группы Евклидова группа в любом измерении.^[11] Это означает: применение жесткого преобразования, за которым следует перевод, а затем обратное жесткое преобразование, имеет тот же эффект, что и одиночный перевод (хотя обычно он отличается от того, который мы использовали ранее). Напротив, подгруппа всех вращения о происхождении нет нормальная подгруппа евклидовой группы, если размерность не менее 2: сначала перенос, затем вращение вокруг начала координат, а затем обратный перенос обычно не фиксирует начало координат и, следовательно, не будет иметь такого же эффекта, как одиночный поворот вокруг Происхождение.
в Группа Кубик Рубика, подгруппы, состоящие из операций, влияющих только на ориентацию угловых или краевых частей, являются нормальными.^[12]

Характеристики

Если $ЧАС$ нормальная подгруппа $грамм$ , и $K$ является подгруппой $грамм$ содержащий $ЧАС$ , тогда $ЧАС$ нормальная подгруппа $K$ .^[13]
Нормальная подгруппа нормальной подгруппы группы не обязательно должна быть нормальной в группе. То есть нормальность - это не переходное отношение. Самая маленькая группа, демонстрирующая это явление, - это группа диэдра порядка 8.^[14] Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы нормально.^[15] Группа, в которой нормальность транзитивна, называется Т-группа.^[16]
Две группы $грамм$ и $ЧАС$ являются нормальными подгруппами своих прямой продукт $грамм \times ЧАС$ .
Если группа $грамм$ это полупрямой продукт ${displaystyle G = N раз H,}$ , тогда $N$ нормально в $грамм$ , хотя $ЧАС$ не должно быть нормальным в $грамм$ .
Нормальность сохраняется при сюръективных гомоморфизмах,^[17] т.е. если $грамм \to ЧАС$ является сюръективным гомоморфизмом групп и $N$ нормально в $грамм$ , то изображение $ж (N)$ нормально в $ЧАС$ .
Нормальность сохраняется за счет принятия обратные изображения,^[17] т.е. если $грамм \to ЧАС$ является гомоморфизмом групп и $N$ нормально в $ЧАС$ , то прообраз $ж -1 (N)$ нормально в $грамм$ .
Нормальность сохраняется при приеме прямые продукты,^[18] т.е. если ${displaystyle N_ {1} riangleleft G_ {1}}$ и ${displaystyle N_ {2} riangleleft G_ {2}}$ , тогда ${displaystyle N_ {1} imes N_ {2}; riangleleft; G_ {1} imes G_ {2}}$ .
Каждая подгруппа индекс 2 нормально. В более общем смысле, подгруппа, $ЧАС$ , конечного индекса, $п$ , в $грамм$ содержит подгруппу, $K$ , нормально в $грамм$ и индекса деления $п!$ называется нормальное ядро. В частности, если $п$ наименьшее простое число, делящее порядок $грамм$ , то каждая подгруппа индекса $п$ это нормально.^[19]
Тот факт, что нормальные подгруппы $грамм$ в точности ядра гомоморфизмов групп, определенных на грамм объясняет некоторую важность нормальных подгрупп; они представляют собой способ внутренней классификации всех гомоморфизмов, определенных на группе. Например, нетождественная конечная группа - это просто тогда и только тогда, когда он изоморфен всем своим неединичным гомоморфным образам,^[20] конечная группа идеально тогда и только тогда, когда он не имеет нормальных подгрупп простых индекс, а группа несовершенный если и только если производная подгруппа не дополняется какой-либо собственной нормальной подгруппой.

Решетка нормальных подгрупп

Учитывая две нормальные подгруппы, $N$ и $M$ , из $грамм$ , их пересечение ${displaystyle Ncap M}$ и их продукт ${displaystyle NM = {nmmid nin N; {ext {and}}; min M}}$ также являются нормальными подгруппами $грамм$ .

Нормальные подгруппы группы $грамм$ сформировать решетка под включение подмножества с наименьший элемент, ${е}$ , и величайший элемент, $грамм$ . В встретить двух нормальных подгрупп, $N$ и $M$ , в этой решетке - их пересечение и присоединиться это их продукт.

Решетка полный и модульный.^[18]

Нормальные подгруппы, фактор-группы и гомоморфизмы

Если $N$ является нормальной подгруппой, мы можем определить умножение на смежных классах следующим образом:

{displaystyle (a_ {1} N) (a_ {2} N): = (a_ {1} a_ {2}) N.}

Это отношение определяет отображение

{displaystyle G / N imes G / N o G / N}

. Чтобы показать, что это отображение корректно, нужно доказать, что выбор представительных элементов

{displaystyle a_ {1}, a_ {2}}

не влияет на результат. С этой целью рассмотрим некоторые другие репрезентативные элементы.

{displaystyle a_ {1} 'в a_ {1} N, a_ {2}' в a_ {2} N}

. Тогда есть

{displaystyle n_ {1}, n_ {2} in N}

такой, что

{displaystyle a_ {1} '= a_ {1} n_ {1}, a_ {2}' = a_ {2} n_ {2}}

. Следует, что

{displaystyle a_ {1} 'a_ {2}' N = a_ {1} n_ {1} a_ {2} n_ {2} N = a_ {1} a_ {2} n_ {1} 'n_ {2} N = а_ {1} а_ {2} N,}

где мы также использовали тот факт, что

{displaystyle N}

это нормальный подгруппа, и поэтому существует

{displaystyle n_ {1} 'в N}

такой, что

{displaystyle n_ {1} a_ {2} = a_ {2} n_ {1} '}

. Это доказывает, что это произведение является четко определенным отображением смежных классов.

С помощью этой операции набор смежных классов сам по себе является группой, называемой факторгруппа и обозначен $грамм / N$ . Есть естественный гомоморфизм, $ж : грамм \to G / N$ , данный $ж (а) = аН$ . Этот гомоморфизм отображает ${displaystyle N}$ в элемент идентичности $G / N$ , который является смежным классом $eN = N$ ,^[21] то есть, ${displaystyle ker (f) = N}$ .

В общем случае гомоморфизм групп, $ж : грамм \to ЧАС$ отправляет подгруппы $грамм$ в подгруппы $ЧАС$ . Кроме того, прообраз любой подгруппы $ЧАС$ является подгруппой $грамм$ . Мы называем прообраз тривиальной группы ${е}$ в $ЧАС$ то ядро гомоморфизма и обозначим его через $кер (ж)$ . Как оказалось ядро всегда нормально и образ $грамм$ , $ж (грамм)$ , всегда изоморфный к $грамм / кер (ж)$ (в первая теорема об изоморфизме ).^[22] Фактически это соответствие является биекцией между множеством всех фактор-групп $грамм$ , $грамм / N$ , а множество всех гомоморфных образов $грамм$ (вплоть до изоморфизм).^[23] Также легко видеть, что ядро фактор-отображения, $ж : грамм \to G / N$ , является $N$ , поэтому нормальные подгруппы - это в точности ядра гомоморфизмов с домен $грамм$ .^[24]

Смотрите также

Операции, переводящие подгруппы в подгруппы

Свойства подгруппы, дополняющие (или противоположные) нормальности

Свойства подгруппы сильнее нормальности

Свойства подгруппы слабее нормальности

Связанные понятия в алгебре

Идеал (теория колец)

Примечания

^ Брэдли 2010, п. 12.
^ ^а ^б ^c Кантрелл 2000, п. 160.
^ Даммит и Фут 2004.
^ ^а ^б ^c ^d Хангерфорд 2003, п. 41.
^ Фрали 2003, п. 141.
^ Робинсон 1996, п. 16.
^ Зал 1999, п. 190.
^ Хангерфорд 2003, п. 45.
^ Зал 1999, п. 32.
^ Зал 1999, п. 138.
^ Терстон 1997, п. 218.
^ Bergvall et al. 2010 г., п. 96.
^ Хангерфорд 2003, п. 42.
^ Робинсон 1996, п. 17.
^ Робинсон 1996, п. 28.
^ Робинсон 1996, п. 402.
^ ^а ^б Зал 1999, п. 29.
^ ^а ^б Хангерфорд 2003, п. 46.
^ Робинсон 1996, п. 36.
^ Дымоси и Неханив 2004, п. 7.
^ Хангерфорд 2003 С. 42–43.
^ Хангерфорд 2003, п. 44.
^ Робинсон 1996, п. 20.
^ Зал 1999, п. 27.

дальнейшее чтение

И. Н. Герштейн, Темы по алгебре. Второе издание. Издательство Xerox College Publishing, Лексингтон, Массачусетс - Торонто, Онтарио, 1975. xi + 388 с.

внешняя ссылка

[FOOTNOTEBradley201012-1] Брэдли 2010, п. 12.

[FOOTNOTECantrell2000160-2] а ^б ^c Кантрелл 2000, п. 160.

[FOOTNOTEDummitFoote2004-3] Даммит и Фут 2004.

[FOOTNOTEHungerford200341-4] а ^б ^c ^d Хангерфорд 2003, п. 41.

[FOOTNOTEFraleigh2003141-5] Фрали 2003, п. 141.

[FOOTNOTERobinson199616-6] Робинсон 1996, п. 16.

[FOOTNOTEHall1999190-7] Зал 1999, п. 190.

[FOOTNOTEHungerford200345-8] Хангерфорд 2003, п. 45.

[FOOTNOTEHall199932-9] Зал 1999, п. 32.

[FOOTNOTEHall1999138-10] Зал 1999, п. 138.

[FOOTNOTEThurston1997218-11] Терстон 1997, п. 218.

[FOOTNOTEBergvallHynningHedbergMickelin201096-12] Bergvall et al. 2010 г., п. 96.

[FOOTNOTEHungerford200342-13] Хангерфорд 2003, п. 42.

[FOOTNOTERobinson199617-14] Робинсон 1996, п. 17.

[FOOTNOTERobinson199628-15] Робинсон 1996, п. 28.

[FOOTNOTERobinson1996402-16] Робинсон 1996, п. 402.

[FOOTNOTEHall199929-17] а ^б Зал 1999, п. 29.

[FOOTNOTEHungerford200346-18] а ^б Хангерфорд 2003, п. 46.

[FOOTNOTERobinson199636-19] Робинсон 1996, п. 36.

[FOOTNOTEDõmõsiNehaniv20047-20] Дымоси и Неханив 2004, п. 7.

[FOOTNOTEHungerford200342–43-21] Хангерфорд 2003 С. 42–43.

[FOOTNOTEHungerford200344-22] Хангерфорд 2003, п. 44.

[FOOTNOTERobinson199620-23] Робинсон 1996, п. 20.

[FOOTNOTEHall199927-24] Зал 1999, п. 27.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]