Линейная алгебраическая группа - Linear algebraic group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро образ прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) г2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В математика, а линейная алгебраическая группа это подгруппа из группа из обратимый ${ Displaystyle п раз п}$ матрицы (под матричное умножение ), который определяется многочлен уравнения. Примером может служить ортогональная группа, определяемый соотношением ${ displaystyle M ^ {T} M = 1}$ где ${ Displaystyle M ^ {T}}$ это транспонировать из ${ displaystyle M}$.

Много Группы Ли можно рассматривать как линейные алгебраические группы над поле из настоящий или сложный числа. (Например, каждые компактная группа Ли можно рассматривать как линейную алгебраическую группу над р (обязательно р-анизотропные и восстановительные), как и многие некомпактные группы, такие как простая группа Ли SL (п,р).) Простые группы Ли были классифицированы Вильгельм Киллинг и Эли Картан в 1880-х и 1890-х гг. В то время не использовалось особо то обстоятельство, что структура группы может быть определена полиномами, т. Е. Что это алгебраические группы. К основоположникам теории алгебраических групп относятся: Маурер, Chevalley, и Колчин  (1948 ). В 1950-х годах Арман Борель построил большую часть теории алгебраических групп, как она существует сегодня.

Одним из первых применений теории было определение Группы Шевалле.

Примеры

Для положительное число ${ displaystyle n}$, то общая линейная группа ${ Displaystyle GL (п)}$ над полем ${ displaystyle k}$, состоящий из всех обратимых ${ Displaystyle п раз п}$ матриц, является линейной алгебраической группой над ${ displaystyle k}$. Он содержит подгруппы

${ Displaystyle U подмножество B подмножество GL (п)}$

состоящий из матриц вида

${ displaystyle left ({ begin {array} {cccc} 1 & * & dots & * 0 & 1 & ddots & vdots vdots & ddots & ddots & * 0 & dots & 0 & 1 end {array}} right)}$ и ${ displaystyle left ({ begin {array} {cccc} * & * & dots & * 0 & * & ddots & vdots vdots & ddots & ddots & * 0 & dots & 0 & * end {array}} right)}$.

Группа ${ displaystyle U}$ является примером всесильный линейная алгебраическая группа, группа ${ displaystyle B}$ является примером разрешимый алгебраическая группа, называемая Подгруппа Бореля из ${ Displaystyle GL (п)}$. Это следствие Теорема Ли-Колчина что любая связная разрешимая подгруппа группы ${ Displaystyle mathrm {GL} (п)}$ спрягается в ${ displaystyle B}$. Любая унипотентная подгруппа может быть сопряжена в ${ displaystyle U}$.

Другая алгебраическая подгруппа группы ${ Displaystyle mathrm {GL} (п)}$ это специальная линейная группа ${ Displaystyle mathrm {SL} (п)}$ матриц с определителем 1.

Группа ${ displaystyle GL (1)}$ называется мультипликативная группа, обычно обозначаемый ${ Displaystyle mathbf {G} _ { mathrm {m}}}$. Группа ${ displaystyle k}$-точки ${ Displaystyle mathbf {G} _ { mathrm {m}} (к)}$ мультипликативная группа ${ displaystyle k ^ {*}}$ ненулевых элементов поля ${ displaystyle k}$. В аддитивная группа ${ displaystyle mathbf {G} _ { mathrm {a}}}$, чья ${ displaystyle k}$-точки изоморфны аддитивной группе ${ displaystyle k}$, также может быть выражена как матричная группа, например как подгруппа ${ displaystyle U}$ в ${ Displaystyle mathrm {GL} (2)}$ :

${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & * 0 & 1 end {pmatrix}}.}$

Эти два основных примера коммутативных линейных алгебраических групп, мультипликативная и аддитивная группы, ведут себя по-разному с точки зрения их линейные представления (как алгебраические группы). Каждое представление мультипликативной группы ${ Displaystyle mathbf {G} _ { mathrm {m}}}$ это прямая сумма из неприводимые представления. (Все его неприводимые представления имеют размерность 1 в виде ${ Displaystyle х mapsto х ^ {п}}$ для целого числа ${ displaystyle n}$.) Напротив, единственное неприводимое представление аддитивной группы ${ displaystyle mathbf {G} _ { mathrm {a}}}$ - тривиальное представление. Итак, каждое представление ${ displaystyle mathbf {G} _ { mathrm {a}}}$ (например, двумерное представление выше) является повторным расширение тривиальных представлений, а не прямой суммы (если представление не является тривиальным). Структурная теория линейных алгебраических групп анализирует любую линейную алгебраическую группу в терминах этих двух основных групп и их обобщений, торов и унипотентных групп, как обсуждается ниже.

Определения

Для алгебраически замкнутое поле k, большая часть структуры алгебраическое многообразие Икс над k закодирован в его наборе Икс(k) из k-рациональные точки, что позволяет элементарно определить линейную алгебраическую группу. Сначала определите функцию из абстрактной группы GL(п,k) к k быть регулярный если его можно записать в виде полинома от элементов п×п матрица А и в 1 / дет (А), где det - детерминант. Потом линейная алгебраическая группа г над алгебраически замкнутым полем k это подгруппа г(k) абстрактной группы GL(п,k) для некоторого натурального числа п такой, что г(k) определяется обращением в нуль некоторого набора регулярных функций.

Для произвольного поля k, алгебраические многообразия над k определяются как частный случай схемы над k. На этом языке линейная алгебраическая группа г над полем k это гладкий; плавный схема замкнутых подгрупп GL(п) над k для некоторого натурального числа п. Особенно, г определяется обращением в нуль некоторого множества регулярные функции на GL(п) над k, и эти функции должны обладать тем свойством, что для каждой коммутативной k-алгебра р, г(р) является подгруппой абстрактной группы GL(п,р). (Таким образом, алгебраическая группа г над k это не просто абстрактная группа г(k), а скорее всего семейства групп г(р) для коммутативных k-алгебры р; это философия описания схемы ее функтор точек.)

В любом из языков есть понятие гомоморфизм линейных алгебраических групп. Например, когда k алгебраически замкнуто, гомоморфизм из г ⊂ GL(м) к ЧАС ⊂ GL(п) является гомоморфизмом абстрактных групп г(k) → ЧАС(k), который определяется регулярными функциями на г. Это делает линейные алгебраические группы над k в категория. В частности, это определяет, что означает, что две линейные алгебраические группы изоморфный.

На языке схем линейная алгебраическая группа г над полем k в частности групповая схема над k, что означает, что схема закончилась k вместе с k-точка 1 ∈ г(k) и морфизмы

${ Displaystyle м двоеточие G раз _ {k} G to G, ; я двоеточие G to G}$

над k которые удовлетворяют обычным аксиомам для умножения и обратных отображений в группе (ассоциативность, тождество, обратное). Линейная алгебраическая группа также гладкая и имеет конечный тип над k, и это аффинный (в виде схемы). Наоборот, любая аффинная групповая схема г конечного типа над полем k имеет верное представление в GL(п) над k для некоторых п.^[1] Примером может служить вложение аддитивной группы г_а в GL(2), как упоминалось выше. В результате линейные алгебраические группы можно рассматривать либо как группы матриц, либо, более абстрактно, как гладкие аффинные групповые схемы над полем. (Некоторые авторы используют термин «линейная алгебраическая группа» для обозначения любой аффинной групповой схемы конечного типа над полем.)

Для полного понимания линейных алгебраических групп необходимо рассмотреть более общие (негладкие) групповые схемы. Например, пусть k - алгебраически замкнутое поле характеристика п > 0. Тогда гомоморфизм ж: г_м → г_м определяется Икс ↦ Икс^п индуцирует изоморфизм абстрактных групп k* → k*, но ж не является изоморфизмом алгебраических групп (поскольку Икс^1/п не является обычной функцией). На языке групповых схем есть более ясная причина, почему ж не является изоморфизмом: ж сюръективно, но имеет нетривиальный ядро, а именно групповая схема μ_п из пкорни единства. Эта проблема не возникает в нулевой характеристике. Действительно, любая групповая схема конечного типа над полем k нулевой характеристики сглаживается k.^[2] Групповая схема конечного типа над любым полем k сглаживается k если и только если это геометрически уменьшенный, что означает, что изменение базы ${ displaystyle G _ { overline {k}}}$ является уменьшенный, где ${ displaystyle { overline {k}}}$ является алгебраическое замыкание из k.^[3]

Поскольку аффинная схема Икс определяется его кольцо О(Икс) регулярных функций аффинная групповая схема г над полем k определяется кольцом О(г) с его структурой Алгебра Хопфа (исходя из умножения и обратных отображений на г). Это дает эквивалентность категорий (переворачивая стрелки) между схемами аффинных групп над k и коммутативные алгебры Хопфа над k. Например, алгебра Хопфа, соответствующая мультипликативной группе г_м = GL(1) - это Многочлен Лорана кольцо k[Икс, Икс⁻¹] с коумножением по формуле

${ displaystyle x mapsto x otimes x.}$

Основные понятия

Для линейной алгебраической группы г над полем k, то компонент идентичности г^о (в связный компонент содержащая точку 1) является нормальная подгруппа конечных показатель. Итак, есть расширение группы

${ Displaystyle 1 к G ^ { circ} к G к F к 1,}$

где F конечная алгебраическая группа. (Для k алгебраически замкнутый, F можно отождествить с абстрактной конечной группой.) По этой причине изучение алгебраических групп в основном сосредоточено на связных группах.

Различные понятия из абстрактная теория групп продолжается до линейных алгебраических групп. Несложно определить, что значит быть линейной алгебраической группой. коммутативный, нильпотентный, или разрешимый, по аналогии с определениями в абстрактной теории групп. Например, линейная алгебраическая группа - это разрешимый если у него есть серия композиций линейных алгебраических подгрупп таких, что фактор-группы коммутативны. Так же нормализатор, то центр, а централизатор замкнутой подгруппы ЧАС линейной алгебраической группы г естественно рассматривать как схемы замкнутых подгрупп г. Если они сглаживаются k, то они являются линейными алгебраическими группами, как определено выше.

Возникает вопрос, насколько свойства связной линейной алгебраической группы г над полем k определяются абстрактной группой г(k). Полезный результат в этом направлении состоит в том, что если поле k является идеально (например, нулевой характеристики), или если г является редуктивным (как определено ниже), то г является унирациональный над k. Следовательно, если дополнительно k бесконечна, группа г(k) является Зариски плотный в г.^[4] Например, согласно упомянутым предположениям, г коммутативна, нильпотентна или разрешима тогда и только тогда, когда г(k) обладает соответствующим свойством.

В этих результатах нельзя опустить предположение о связности. Например, пусть г - группа μ₃ ⊂ GL(1) кубических корней из единицы над рациональное число Q. потом г является линейной алгебраической группой над Q для которого г(Q) = 1 не плотно по Зарисскому в г, потому что ${ Displaystyle G ({ overline { mathbf {Q}}})}$ группа порядка 3.

Над алгебраически замкнутым полем есть более сильный результат об алгебраических группах как алгебраических многообразиях: всякая связная линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем является рациональное разнообразие.^[5]

Алгебра Ли алгебраической группы

В Алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ алгебраической группы г можно определить несколькими эквивалентными способами: как касательное пространство Т₁(г) в единице 1 ∈ г(k), или как пространство левоинвариантных производные. Если k алгебраически замкнуто, вывод D: О(г) → О(г) над k координатного кольца г является левоинвариантный если

${ displaystyle D lambda _ {x} = lambda _ {x} D}$

для каждого Икс в г(k), где λ_Икс: О(г) → О(г) индуцируется левым умножением на Икс. Для произвольного поля k, левая инвариантность вывода определяется как аналогичное равенство двух линейных отображений О(г) → О(г) ⊗О(г).^[6] Скобка Ли двух дифференцирований определяется формулой [D₁, D₂] =D₁D₂ − D₂D₁.

Отрывок из г к ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ таким образом, процесс дифференциация. Для элемента Икс ∈ г(k) производная в точке 1 ∈ г(k) из спряжение карта г → г, г ↦ xgx⁻¹, является автоморфизм из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, давая присоединенное представительство:

${ displaystyle operatorname {Ad} двоеточие G to operatorname {Aut} ({ mathfrak {g}}).}$

Над полем нулевой характеристики связная подгруппа ЧАС линейной алгебраической группы г однозначно определяется своей алгеброй Ли ${ Displaystyle { mathfrak {h}} subset { mathfrak {g}}}$.^[7] Но не всякая подалгебра Ли в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ соответствует алгебраической подгруппе в г, как видно на примере тора г = (г_м)² над C. В положительной характеристике может быть много различных связных подгрупп группы г с той же алгеброй Ли (снова тор г = (г_м)² приведены примеры). По этим причинам, хотя алгебра Ли алгебраической группы важна, структурная теория алгебраических групп требует более глобальных инструментов.

Полупростые и унипотентные элементы

Для алгебраически замкнутого поля k, матрица г в GL(п,k) называется полупростой если это диагонализуемый, и всесильный если матрица г - 1 это нильпотентный. Эквивалентно, г односторонне, если все собственные значения из г равны 1. Иорданская каноническая форма для матриц означает, что каждый элемент г из GL(п,k) можно записать однозначно как произведение г = г_ссг_ты такой, что г_сс полупростой, г_ты односторонен, и г_сс и г_ты ездить друг с другом.

Для любого поля k, элемент г из GL(п,k) называется полупростым, если он становится диагонализуемым над алгебраическим замыканием k. Если поле k идеально, то полупростая и унипотентная части г также лежат в GL(п,k). Наконец, для любой линейной алгебраической группы г ⊂ GL(п) над полем k, определим k-точка г быть полупростым или унипотентным, если оно полупросто или унипотентно в GL(п,k). (Эти свойства фактически не зависят от выбора точного представления г.) Если поле k идеально, то полупростая и унипотентная части k-точка г автоматически в г. Это Разложение Жордана): каждый элемент г из г(k) можно записать однозначно как произведение г = г_ссг_ты в г(k) такие, что г_сс полупростой, г_ты односторонен, и г_сс и г_ты ездить друг с другом.^[8] Это уменьшает проблему описания классы сопряженности в г(k) на полупростой и унипотентный случаи.

Тори

А тор над алгебраически замкнутым полем k означает группу, изоморфную (г_м)^п, то товар из п копии мультипликативной группы над k, для некоторого натурального числа п. Для линейной алгебраической группы г, а максимальный тор в г означает тор в г это не содержится ни в каком более большом торе. Например, группа диагональных матриц в GL(п) над k - максимальный тор в GL(п), изоморфный (г_м)^п. Основной результат теории состоит в том, что любые два максимальных тора в группе г над алгебраически замкнутым полем k находятся сопрягать каким-то элементом г(k).^[9] В ранг из г означает размерность любого максимального тора.

Для произвольного поля k, а тор Т над k означает линейную алгебраическую группу над k изменение базы ${ displaystyle T _ { overline {k}}}$ к алгебраическому замыканию k изоморфен (г_м)^п над ${ displaystyle { overline {k}}}$, для некоторого натурального числа п. А расщепленный тор над k означает группу, изоморфную (г_м)^п над k для некоторых п. Пример нерасщепимого тора над действительными числами р является

${ displaystyle T = {(x, y) in A _ { mathbf {R}} ^ {2}: x ^ {2} + y ^ {2} = 1 },}$

с групповой структурой, задаваемой формулой умножения комплексных чисел Икс+иу. Вот Т - тор размерности 1 над р. Он не разбит, потому что его группа реальных точек Т(р) это круговая группа, которая даже как абстрактная группа не изоморфна г_м(р) = р*.

Каждая точка тора над полем k полупростой. Наоборот, если г связная линейная алгебраическая группа такая, что каждый элемент ${ Displaystyle G ({ overline {k}})}$ полупросто, то г это тор.^[10]

Для линейной алгебраической группы г по общему полю k, нельзя ожидать, что все максимальные торы в г над k быть сопряженным элементами г(k). Например, как мультипликативная группа г_м и круговая группа Т выше встречаются как максимальные торы в SL(2) более р. Однако всегда верно, что любые два максимальные расщепленные торы в г над k (имеется в виду разделение торов на г которые не содержатся в большем Трещина тор) сопряжены некоторым элементом г(k).^[11] В результате имеет смысл определить k-ранг или разделенный ранг группы г над k как размерность любого максимального расщепленного тора в г над k.

Для любого максимального тора Т в линейной алгебраической группе г над полем k, Гротендик показал, что ${ displaystyle T _ { overline {k}}}$ - максимальный тор в ${ displaystyle G _ { overline {k}}}$.^[12] Отсюда следует, что любые два максимальных тора в г над полем k имеют одинаковую размерность, хотя они не обязательно должны быть изоморфными.

Унипотентные группы

Позволять U_п - группа верхнетреугольных матриц в GL(п) с диагональными элементами, равными 1, над полем k. Групповая схема над полем k (например, линейная алгебраическая группа) называется всесильный если она изоморфна замкнутой подгрупповой схеме группы U_п для некоторых п. Несложно проверить, что группа U_п нильпотентен. В результате каждая унипотентная групповая схема нильпотентна.

Линейная алгебраическая группа г над полем k унипотентен тогда и только тогда, когда каждый элемент ${ Displaystyle G ({ overline {k}})}$ односторонен.^[13]

Группа B_п верхнетреугольных матриц в GL(п) это полупрямой продукт

${ displaystyle B_ {n} = T_ {n} ltimes U_ {n},}$

где Т_п диагональный тор (г_м)^п. В более общем смысле любая связная разрешимая линейная алгебраическая группа является полупрямым произведением тора с унипотентной группой, Т ⋉ U.^[14]

Гладкая связная унипотентная группа над совершенным полем k (например, алгебраически замкнутое поле) имеет композиционный ряд со всеми фактор-группами, изоморфными аддитивной группе г_а.^[15]

Борелевские подгруппы

В Борелевские подгруппы важны для структурной теории линейных алгебраических групп. Для линейной алгебраической группы г над алгебраически замкнутым полем k, борелевская подгруппа группы г означает максимальную гладкую связную разрешимую подгруппу. Например, одна борелевская подгруппа группы GL(п) - подгруппа B из верхнетреугольные матрицы (все записи ниже диагонали равны нулю).

Основной результат теории состоит в том, что любые две борелевские подгруппы связной группы г над алгебраически замкнутым полем k сопряжены некоторым элементом из г(k).^[16] (Стандартное доказательство использует Теорема Бореля о неподвижной точке: для связной разрешимой группы г действуя на правильное разнообразие Икс над алгебраически замкнутым полем k, Существует k-точка в Икс который фиксируется действием г.) Сопряженность борелевских подгрупп в GL(п) составляет Теорема Ли – Колчина: каждая гладкая связная разрешимая подгруппа группы GL(п) сопряжена подгруппе верхнетреугольной подгруппы в GL(п).

Для произвольного поля k, борелевская подгруппа B из г определяется как подгруппа над k такое, что над алгебраическим замыканием ${ displaystyle { overline {k}}}$ из k, ${ displaystyle B _ { overline {k}}}$является борелевской подгруппой в ${ displaystyle G _ { overline {k}}}$. Таким образом г может иметь или не иметь борелевскую подгруппу над k.

Для замкнутой схемы подгруппы ЧАС из г, то факторное пространство г/ЧАС гладкий квазипроективный схема над k.^[17] Гладкая подгруппа п связанной группы г называется параболический если г/п является проективный над k (или, что эквивалентно, собственно над k). Важное свойство борелевских подгрупп B в том, что г/B - проективное многообразие, называемое разновидность флага из г. То есть борелевские подгруппы являются параболическими подгруппами. Точнее, для k алгебраически замкнутые, борелевские подгруппы - это в точности минимальные параболические подгруппы г; наоборот, любая подгруппа, содержащая борелевскую подгруппу, параболична.^[18] Таким образом, можно перечислить все параболические подгруппы г (до спряжения г(k)) перечислением всех линейных алгебраических подгрупп группы г содержащие фиксированную борелевскую подгруппу. Например, подгруппы п ⊂ GL(3) более k содержащие борелевскую подгруппу B верхнетреугольных матриц равны B сама, вся группа GL(3), а промежуточные подгруппы

${ displaystyle left {{ begin {bmatrix} * & * & * 0 & * & * 0 & * & * end {bmatrix}} right }}$ и ${ displaystyle left {{ begin {bmatrix} * & * & * * & * & * 0 & 0 & * end {bmatrix}} right }.}$

Соответствующие проективные однородные многообразия GL(3)/п являются (соответственно): многообразие флагов всех цепочек линейных подпространств

${ displaystyle 0 subset V_ {1} subset V_ {2} subset A_ {k} ^ {3}}$

с участием V_я измерения я; точка; то проективное пространство п² линий (1-мерные линейные подпространства ) в А³; и двойственное проективное пространство п² самолетов в А³.

Полупростые и редуктивные группы

Связная линейная алгебраическая группа г над алгебраически замкнутым полем называется полупростой если любая гладкая связная разрешимая нормальная подгруппа группы г тривиально. В более общем смысле связная линейная алгебраическая группа г над алгебраически замкнутым полем называется редуктивный если любая гладкая связная унипотентная нормальная подгруппа группы г тривиально.^[19] (Некоторые авторы не требуют, чтобы редуктивные группы были связаны.) Полупростая группа является редуктивной. Группа г над произвольным полем k называется полупростым или редуктивным, если ${ displaystyle G _ { overline {k}}}$ полупростой или редуктивный. Например, группа SL(п) из п × п матрицы с определителем 1 над любым полем k полупрост, а нетривиальный тор редуктивен, но не полупрост. Точно так же GL(п) редуктивна, но не полупроста (поскольку ее центр г_м - нетривиальная гладкая связная разрешимая нормальная подгруппа).

Каждая связная компактная группа Ли имеет комплексирование, которая является комплексной редуктивной алгебраической группой. Фактически, эта конструкция дает взаимно однозначное соответствие между компактными связными группами Ли и комплексными редуктивными группами с точностью до изоморфизма.^[20]

Линейная алгебраическая группа г над полем k называется просто (или k-просто), если она полупроста, нетривиальна, и всякая гладкая связная нормальная подгруппа группы г над k тривиально или равно г.^[21] (Некоторые авторы называют это свойство «почти простым».) Это немного отличается от терминологии для абстрактных групп тем, что простая алгебраическая группа может иметь нетривиальный центр (хотя центр должен быть конечным). Например, для любого целого числа п минимум 2 и любое поле k, группа SL(п) над k проста, а ее центром является групповая схема μ_п из пкорни единства.

Каждая связная линейная алгебраическая группа г над идеальным полем k является (уникальным образом) расширением редуктивной группы р гладкой связной унипотентной группой U, называется унипотентный радикал из г:

${ Displaystyle 1 к U к G к R к 1.}$

Если k имеет нулевую характеристику, то более точный Разложение Леви: каждая связная линейная алгебраическая группа г над k является полупрямым продуктом ${ displaystyle R ltimes U}$ редуктивной группы унипотентной группой.^[22]

Классификация редуктивных групп

Редуктивные группы включают в себя наиболее важные на практике линейные алгебраические группы, такие как классические группы: GL(п), SL(п), ортогональные группы ТАК(п) и симплектические группы Sp(2п). С другой стороны, определение редуктивных групп довольно «негативное», и неясно, можно ли ожидать много о них сказать. Примечательно, что Клод Шевалле дал полную классификацию редуктивных групп над алгебраически замкнутым полем: они определяются корневые данные.^[23] В частности, простые группы над алгебраически замкнутым полем k классифицируются (с точностью до факторов по конечным схемам центральных подгрупп) по их Диаграммы Дынкина. Поразительно, что эта классификация не зависит от характеристики k. Например, исключительные группы Ли г₂, F₄, E₆, E₇, и E₈ могут быть определены в любой характеристике (и даже как групповые схемы над Z). В классификация конечных простых групп говорит, что наиболее конечные простые группы возникают как группа k-точки простой алгебраической группы над конечным полем k, или как второстепенные варианты этой конструкции.

Каждая редуктивная группа над полем является фактор-схемой по схеме конечных центральных подгрупп произведения тора и некоторых простых групп. Например,

${ displaystyle GL (n) cong (G_ {m} times SL (n)) / mu _ {n}.}$

Для произвольного поля k, редуктивная группа г называется Трещина если он содержит расщепляемый максимальный тор над k (то есть расщепляемый тор в г которое остается максимальным над алгебраическим замыканием k). Например, GL(п) - расщепляемая редуктивная группа над любым полем k. Шевалле показал, что классификация Трещина редуктивные группы одинаковы для любого поля. Напротив, классификация произвольных редуктивных групп может быть сложной в зависимости от базового поля. Например, каждое невырожденное квадратичная форма q над полем k определяет редуктивную группу ТАК(q), и каждый центральная простая алгебра А над k определяет редуктивную группу SL₁(А). В результате проблема классификации редуктивных групп над k существенно включает в себя проблему классификации всех квадратичных форм над k или все центральные простые алгебры над k. Эти проблемы легко решить k алгебраически замкнутые, и они понятны для некоторых других областей, таких как числовые поля, но для произвольных полей остается много открытых вопросов.

Приложения

Теория представлений

Одна из причин важности редуктивных групп исходит из теории представлений. Всякое неприводимое представление унипотентной группы тривиально. В более общем смысле, для любой линейной алгебраической группы г написано как расширение

${ Displaystyle 1 к U к G к R к 1}$

с участием U всесильный и р редуктивным, каждое неприводимое представление г факторы через р.^[24] Это акцентирует внимание на теории представлений редуктивных групп. (Для ясности, рассматриваемые здесь представления являются представлениями г как алгебраическая группа. Таким образом, для группы г над полем k, представления находятся на k-векторных пространств, а действие г задается регулярными функциями. Классификация - важная, но другая проблема. непрерывные представления группы г(р) для реальной редуктивной группы гили аналогичные проблемы с другими полями.)

Шевалле показал, что неприводимые представления расщепляемой редуктивной группы над полем k конечномерны, и они индексируются доминирующие веса.^[25] Это то же самое, что происходит в теории представлений компактных связных групп Ли или конечномерной теории представлений комплексных полупростые алгебры Ли. Для k нулевой характеристики все эти теории по существу эквивалентны. В частности, каждое представление редуктивной группы г над полем нулевой характеристики представляет собой прямую сумму неприводимых представлений, и если г разделен, символы неприводимых представлений задаются Формула характера Вейля. В Теорема Бореля – Вейля. дает геометрическую конструкцию неприводимых представлений редуктивной группы г в нулевой характеристике, как пространства сечений линейные пакеты над многообразием флагов г/B.

Теория представлений редуктивных групп (кроме торов) над полем положительной характеристики п менее понятен. В этой ситуации представление не обязательно должно быть прямой суммой неприводимых представлений. И хотя неприводимые представления индексируются доминирующими весами, размеры и характеры неприводимых представлений известны только в некоторых случаях. Андерсен, Янцен и Зергель (1994 ) определили этих персонажей (доказывая Люстиг гипотезы), когда характеристика п достаточно большой по сравнению с Число Кокстера группы. Для малых простых чисел п, нет даже точной гипотезы.

Групповые действия и геометрическая теория инвариантов

An действие линейной алгебраической группы г по разновидности (или схеме) Икс над полем k это морфизм

${ displaystyle G times _ {k} от X до X}$

который удовлетворяет аксиомам групповое действие. Как и в других типах теории групп, важно изучать действия групп, поскольку группы возникают естественным образом как симметрии геометрических объектов.

Часть теории групповых действий геометрическая теория инвариантов, цель которого - построить фактормногообразие Икс/г, описывающий набор орбиты линейной алгебраической группы г на Икс как алгебраическое многообразие. Возникают различные сложности. Например, если Икс является аффинным многообразием, то можно попытаться построить Икс/г так как Спецификация из кольцо инвариантов О(Икс)^г. Однако, Масаёши Нагата показал, что кольцо инвариантов не обязательно конечно порождено как k-алгебра (и поэтому Spec кольца - это схема, а не разновидность), отрицательный ответ на 14-я проблема Гильберта. В положительном направлении кольцо инвариантов конечно порождено, если г редуктивно, по Теорема Хабуша, доказанный в нулевой характеристике Гильберта и Нагата.

Геометрическая теория инвариантов включает дополнительные тонкости, когда редуктивная группа г действует на проективном многообразии Икс. В частности, теория определяет открытые подмножества «стабильных» и «полустабильных» точек в Икс, причем факторморфизм определен только на множестве полустабильных точек.

Связанные понятия

Линейные алгебраические группы допускают варианты по нескольким направлениям. Отказ от существования обратной карты ${ Displaystyle я двоеточие G в G}$, получаем понятие линейной алгебраической моноид.^[26]

Группы Ли

Для линейной алгебраической группы г над реальными числами р, группа реальных точек г(р) это Группа Ли, по сути, потому что действительные многочлены, которые описывают умножение на г, находятся гладкие функции. Аналогично, для линейной алгебраической группы г над C, г(C) это комплексная группа Ли. Большая часть теории алгебраических групп была разработана по аналогии с группами Ли.

Есть несколько причин, по которым группа Ли может не иметь структуру линейной алгебраической группы над р.

• Группа Ли с бесконечной группой компонент G / G^о не может быть реализована как линейная алгебраическая группа.
• Алгебраическая группа г над р может быть связной как алгебраическая группа, а группа Ли г(р) не связан, как и для односвязный группы. Например, алгебраическая группа SL(2) односвязна над любым полем, тогда как группа Ли SL(2,р) имеет фундаментальная группа изоморфен целым числам Z. Двойная крышка ЧАС из SL(2,р), известный как метаплектическая группа, является группой Ли, которую нельзя рассматривать как линейную алгебраическую группу над р. Сильнее, ЧАС не имеет точного конечномерного представления.
• Анатолий Мальцев показал, что любую односвязную нильпотентную группу Ли можно рассматривать как унипотентную алгебраическую группу г над р уникальным способом.^[27] (Как разновидность, г изоморфен аффинное пространство некоторого измерения над р.) Напротив, существуют односвязные разрешимые группы Ли, которые нельзя рассматривать как вещественные алгебраические группы. Например, универсальный чехол ЧАС полупрямого продукта S¹ ⋉ р² имеет центр, изоморфный Z, которая не является линейной алгебраической группой, и поэтому ЧАС нельзя рассматривать как линейную алгебраическую группу над р.

Абелевы разновидности

Алгебраические группы которые не являются аффинными, ведут себя совершенно иначе. В частности, гладкая связная групповая схема, являющаяся проективным многообразием над полем, называется абелева разновидность. В отличие от линейных алгебраических групп каждое абелево многообразие коммутативно. Тем не менее, у абелевых разновидностей есть богатая теория. Даже случай эллиптические кривые (абелевы многообразия размерности 1) является центральным теория чисел, с приложениями, включая доказательство Последняя теорема Ферма.

Категории таннакиана

Конечномерные представления алгебраической группы гвместе с тензорное произведение представлений, образуют таннакианская категория Представитель_г. Фактически, таннакиевы категории с «послойным функтором» над полем эквивалентны аффинным групповым схемам. (Каждая аффинная групповая схема над полем k является проалгебраический в том смысле, что это обратный предел аффинных групповых схем конечного типа над k.^[28]) Например, Группа Мамфорда – Тейта и мотивационная группа Галуа построены с использованием этого формализма. Некоторые свойства (про) алгебраической группы г можно прочитать из его категории представлений. Например, над полем нулевой характеристики Rep_г это полупростая категория тогда и только тогда, когда компонент идентичности г проредуктивно.^[29]

Смотрите также

• В группы лиева типа - конечные простые группы, построенные из простых алгебраических групп над конечными полями.
• Теорема Лэнга
• Обобщенное разнообразие флагов, Разложение Брюа, Пара BN, Группа Вейля, Подгруппа Картана, группа присоединенного типа, параболическая индукция
• Реальная форма (теория Ли), Диаграмма сатаке
• Адельная алгебраическая группа, Гипотеза Вейля о числах Тамагавы
• Классификация Ленглендса, Программа Langlands, геометрическая программа Ленглендса
• Торсор, неабелевы когомологии, особая группа, когомологический инвариант, существенное измерение, Гипотеза Кнезера – Титса, Гипотеза Серра II
• Псевдоредуктивная группа
• Дифференциальная теория Галуа
• Распределение на линейной алгебраической группе

Заметки

использованная литература

• Андерсен, Х.; Янцен, Дж. К.; Soergel, W. (1994), Представления квантовых групп в пкорень единства и полупростых групп в характеристике п: Независимость п, Astérisque, 220, Société Mathématique de France, ISSN  0303-1179, Г-Н  1272539
• Борель, Арман (1991) [1969], Линейные алгебраические группы (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  0-387-97370-2, Г-Н  1102012
• Бреккер, Теодор; Том Дик, Таммо (1985), Представления компактных групп Ли, Springer Nature, ISBN  0-387-13678-9, Г-Н  0781344
• Конрад, Брайан (2014), «Редуктивные групповые схемы» (PDF), Autour des schémas en groupes, 1, Париж: Société Mathématique de France, стр. 93–444, ISBN  978-2-85629-794-0, Г-Н  3309122
• Делинь, Пьер; Милн, Дж. С. (1982), «Таннаковские категории», Циклы Ходжа, мотивы и разновидности симуры, Конспект лекций по математике, 900, Springer Nature, стр. 101–228, ISBN  3-540-11174-3, Г-Н  0654325
• Де Медтс, Том (2019), Линейные алгебраические группы (примечания к курсу) (PDF), Гентский университет
• Хамфрис, Джеймс Э. (1975), Линейные алгебраические группы, Спрингер, ISBN  0-387-90108-6, Г-Н  0396773
• Колчин, Э. (1948), "Алгебраические матричные группы и теория Пикара – Вессио однородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений", Анналы математики, Вторая серия, 49 (1): 1–42, Дои:10.2307/1969111, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969111, Г-Н  0024884
• Милн, Дж. С. (2017), Алгебраические группы: теория групповых схем конечного типа над полем, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1107167483, Г-Н  3729270
• Спрингер, Тонни А. (1998) [1981], Линейные алгебраические группы (2-е изд.), Нью-Йорк: Birkhäuser, ISBN  0-8176-4021-5, Г-Н  1642713

внешние ссылки

• «Линейная алгебраическая группа», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]