Индекс подгруппы - Index of a subgroup

В математика, конкретно теория групп, то индекс из подгруппа ЧАС в группе грамм количество оставшихся смежные классы из ЧАС в грамм, или, что то же самое, количество правых смежных классов ЧАС в грамм.Индекс обозначен ${ displaystyle | G: H |}$ или же ${ displaystyle [G: H]}$ или же ${ displaystyle (G: H)}$.Потому что грамм является несвязным объединением левых классов смежности, и поскольку каждый левый класс смежности имеет одинаковый размер в качестве ЧАС, индекс связан с заказы двух групп по формуле

${ Displaystyle | G | = | G: H || H |}$

(интерпретируйте величины как Количественные числительные если некоторые из них бесконечны) .Таким образом, индекс ${ displaystyle | G: H |}$ измеряет "относительные размеры" грамм и ЧАС.

Например, пусть ${ Displaystyle G = mathbb {Z}}$ группа целых чисел под добавление, и разреши ${ Displaystyle Н = 2 mathbb {Z}}$ - подгруппа, состоящая из даже целые числа. потом ${ Displaystyle 2 mathbb {Z}}$ имеет два смежных класса в ${ Displaystyle mathbb {Z}}$, а именно набор четных целых чисел и набор нечетных целых чисел, поэтому индекс ${ displaystyle | mathbb {Z}: 2 mathbb {Z} |}$ равно 2. В общем, ${ Displaystyle | mathbb {Z}: п mathbb {Z} | = п}$ для любого положительного целого числа п.

Когда грамм является конечный, формулу можно записать как ${ Displaystyle | G: H | = | G | / | H |}$, а это подразумеваетТеорема Лагранжа который ${ displaystyle | H |}$ разделяет ${ displaystyle | G |}$.

Когда грамм бесконечно, ${ displaystyle | G: H |}$ ненулевой количественное числительное которое может быть конечным или бесконечным. Например, ${ Displaystyle | mathbb {Z}: 2 mathbb {Z} | = 2}$, но ${ Displaystyle | mathbb {R}: mathbb {Z} |}$ бесконечно.

Если N это нормальная подгруппа из грамм, тогда ${ displaystyle | G: N |}$ равен порядку факторгруппа ${ Displaystyle G / N}$, поскольку базовый набор ${ Displaystyle G / N}$ набор смежных классов N в грамм.

Характеристики

• Если ЧАС является подгруппой грамм и K является подгруппой ЧАС, тогда

${ Displaystyle | G: K | = | G: H | , | H: K |.}$

• Если ЧАС и K являются подгруппами грамм, тогда

${ Displaystyle | G: H крышка K | leq | G: H | , | G: K |,}$

с равенством, если ${ displaystyle HK = G}$. (Если ${ displaystyle | G: H cap K |}$ конечно, то равенство выполняется тогда и только тогда, когда ${ displaystyle HK = G}$.)

• Эквивалентно, если ЧАС и K являются подгруппами грамм, тогда

${ Displaystyle | H: H cap K | leq | G: K |,}$

с равенством, если ${ displaystyle HK = G}$. (Если ${ displaystyle | H: H cap K |}$ конечно, то равенство выполняется тогда и только тогда, когда ${ displaystyle HK = G}$.)

• Если грамм и ЧАС группы и ${ Displaystyle varphi двоеточие G to H}$ это гомоморфизм, то индекс ядро из ${ displaystyle varphi}$ в грамм соответствует порядку изображения:

${ displaystyle | G: operatorname {ker} ; varphi | = | operatorname {im} ; varphi |.}$

• Позволять грамм быть группой игра актеров на набор Икс, и разреши Икс ∈ Икс. Тогда мощность из орбита из Икс под грамм равен индексу стабилизатор из Икс:

${ Displaystyle | Gx | = | G: G_ {x} |. !}$

Это известно как теорема о стабилизаторе орбиты.

• Как частный случай теоремы о стабилизаторе орбиты, количество конъюгирует ${ displaystyle gxg ^ {- 1}}$ элемента ${ displaystyle x in G}$ равен индексу централизатор из Икс в грамм.
• Аналогично количество конъюгатов ${ displaystyle gHg ^ {- 1}}$ подгруппы ЧАС в грамм равен индексу нормализатор из ЧАС в грамм.
• Если ЧАС является подгруппой грамм, индекс нормальное ядро из ЧАС удовлетворяет следующему неравенству:

${ displaystyle | G: operatorname {Core} (H) | leq | G: H |!}$

куда ! обозначает факториал функция; это обсуждается далее ниже.

• Как следствие, если индекс ЧАС в грамм равно 2, или для конечной группы младшее простое число п что делит порядок ГРАММ, тогда ЧАС нормально, так как индекс его ядра также должен быть п, и поэтому ЧАС равняется его ядру, т. е. нормально.
• Обратите внимание, что подгруппа с наименьшим индексом простого числа может не существовать, например, в любом простая группа непервичного порядка или, в более общем смысле, любого идеальная группа.

Примеры

• В переменная группа ${ displaystyle A_ {n}}$ имеет индекс 2 в симметричная группа ${ displaystyle S_ {n},}$ а значит нормально.
• В специальная ортогональная группа ${ Displaystyle OperatorName {SO} (п)}$ имеет индекс 2 в ортогональная группа ${ displaystyle operatorname {O} (n)}$, а значит, нормально.
• В свободная абелева группа ${ Displaystyle mathbb {Z} oplus mathbb {Z}}$ имеет три подгруппы индекса 2, а именно

${ displaystyle {(x, y) mid x { text {четно}} }, quad {(x, y) mid y { text {четно}} }, quad { text {and}} quad {(x, y) mid x + y { text {четно}} }}$.

• В более общем смысле, если п является основной тогда ${ Displaystyle mathbb {Z} ^ {п}}$ имеет ${ Displaystyle (п ^ {п} -1) / (п-1)}$ подгруппы индекса п, соответствующий ${ displaystyle (p ^ {n} -1)}$ нетривиальный гомоморфизмы ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {n} to mathbb {Z} / p mathbb {Z}}$.^{[нужна цитата ]}
• Точно так же свободная группа ${ displaystyle F_ {n}}$ имеет ${ displaystyle (p ^ {n} -1)}$ подгруппы индекса п.
• В бесконечная диэдральная группа имеет циклическая подгруппа индекса 2, что обязательно нормально.

Бесконечный индекс

Если ЧАС имеет бесконечное количество смежных классов в грамм, то индекс ЧАС в грамм называется бесконечным. В этом случае индекс ${ displaystyle | G: H |}$ на самом деле количественное числительное. Например, индекс ЧАС в грамм может быть счетный или же бесчисленный, в зависимости от того, ЧАС имеет счетное количество смежных классов в грамм. Обратите внимание, что индекс ЧАС самое большее порядка ГРАММ, которое реализуется для тривиальной подгруппы, или фактически любой подгруппы ЧАС бесконечной мощности меньше, чем у ГРАММ.

Конечный индекс

Бесконечная группа грамм может иметь подгруппы ЧАС конечного индекса (например, четные числа внутри группы целых чисел). Такая подгруппа всегда содержит нормальная подгруппа N (из грамм), также конечного индекса. Фактически, если ЧАС имеет индекс п, то индекс N можно рассматривать как некоторый фактор п!; в самом деле, N можно принять за ядро ​​естественного гомоморфизма из грамм группе перестановок левых (или правых) классов смежности ЧАС.

Особый случай, п = 2, дает общий результат, что подгруппа индекса 2 является нормальной подгруппой, поскольку нормальная подгруппа (N выше) должен иметь индекс 2 и, следовательно, быть идентичным исходной подгруппе. В более общем смысле, подгруппа индекса п куда п - наименьший простой делитель порядка грамм (если грамм конечно) обязательно нормален, так как индекс N разделяет п! и поэтому должен п, не имея других основных факторов.

Альтернативное доказательство того, что подгруппа младшего простого числа индекса п является нормальным, а другие свойства подгрупп простого индекса приведены в (Лам 2004 ).

Примеры

Приведенные выше соображения верны и для конечных групп. Например, группа О хирального октаэдрическая симметрия имеет 24 элемента. Оно имеет двугранный D₄ подгруппы (на самом деле их три) порядка 8 и, следовательно, индекса 3 в О, который мы будем называть ЧАС. В этой диэдральной группе имеется 4-членный D₂ подгруппа, которую мы можем назвать А. Умножая справа любой элемент правого смежного класса ЧАС элементом А дает член того же класса ЧАС (Hca = Hc). А нормально в О. Есть шесть смежных классов А, соответствующие шести элементам симметричная группа S₃. Все элементы из любого конкретного класса А выполнить такую ​​же перестановку смежных классов ЧАС.

С другой стороны, группа T_час из пиритоэдрическая симметрия также имеет 24 члена и подгруппу индекса 3 (на этот раз это D_2ч призматическая симметрия группа, см. группы точек в трех измерениях ), но в этом случае вся подгруппа является нормальной подгруппой. Все члены определенного смежного класса выполняют одну и ту же перестановку этих смежных классов, но в этом случае они представляют только 3-элементный переменная группа в 6-членной S₃ симметрическая группа.

Нормальные подгруппы индекса простой степени

Нормальные подгруппы основная сила index - это ядра сюръективных отображений в п-группы и имеют интересную структуру, как описано на Теорема о фокальной подгруппе: подгруппы и разработан в теорема о фокальной подгруппе.

Есть три важных нормальных подгруппы с простым индексом мощности, каждая из которых является наименьшей нормальной подгруппой в определенном классе:

• E^п(грамм) является пересечением всех индексов п нормальные подгруппы; грамм/E^п(грамм) является элементарная абелева группа, и является наибольшим элементарным абелевым п-группа, на которую грамм сюрпризы.
• А^п(грамм) является пересечением всех нормальных подгрупп K такой, что грамм/K абелева п-группа (т.е. K это индекс ${ displaystyle p ^ {k}}$ нормальная подгруппа, содержащая производную группу ${ displaystyle [G, G]}$): грамм/А^п(грамм) - наибольший абелев п-группа (не обязательно элементарная), на которую грамм сюрпризы.
• О^п(грамм) является пересечением всех нормальных подгрупп K из грамм такой, что грамм/K является (возможно, неабелевым) п-группа (т.е. K это индекс ${ displaystyle p ^ {k}}$ нормальная подгруппа): грамм/О^п(грамм) самый большой п-группа (не обязательно абелева), на которую грамм сюрпризы. О^п(грамм) также известен как п-остаточная подгруппа.

Поскольку это более слабые условия на группы K, получить сдерживания

${ displaystyle mathbf {E} ^ {p} (G) supseteq mathbf {A} ^ {p} (G) supseteq mathbf {O} ^ {p} (G).}$

Эти группы имеют важные связи с Силовские подгруппы и гомоморфизм переноса, как там обсуждается.

Геометрическая структура

Элементарное наблюдение состоит в том, что нельзя иметь ровно 2 подгруппы индекса 2, поскольку дополнять от их симметричная разница дает треть. Это простое следствие приведенного выше обсуждения (а именно проективизация структуры векторного пространства элементарной абелевой группы

${ Displaystyle G / mathbf {E} ^ {p} (G) cong ( mathbf {Z} / p) ^ {k}}$,

и далее, грамм не действует на эту геометрию и не отражает никакой неабелевой структуры (в обоих случаях, потому что фактор абелева).

Однако это элементарный результат, который конкретно можно увидеть следующим образом: множество нормальных подгрупп данного индекса п сформировать проективное пространство, а именно проективное пространство

${ displaystyle mathbf {P} ( operatorname {Hom} (G, mathbf {Z} / p)).}$

Более подробно, пространство гомоморфизмов из грамм в (циклическую) группу порядка п, ${ displaystyle operatorname {Hom} (G, mathbf {Z} / p),}$ векторное пространство над конечное поле ${ Displaystyle mathbf {F} _ {p} = mathbf {Z} / p.}$ Нетривиальное такое отображение имеет в качестве ядра нормальную подгруппу индекса п, и умножая карту на элемент ${ Displaystyle ( mathbf {Z} / p) ^ { times}}$ (мод с ненулевым числом п) не меняет ядро; таким образом, можно получить карту из

${ displaystyle mathbf {P} ( operatorname {Hom} (G, mathbf {Z} / p)): = ( operatorname {Hom} (G, mathbf {Z} / p)) setminus { 0 }) / ( mathbf {Z} / p) ^ { times}}$

к нормальному индексу п подгруппы. Наоборот, нормальная подгруппа индекса п определяет нетривиальное отображение в ${ displaystyle mathbf {Z} / p}$ до выбора «какой смежный класс сопоставляется с ${ displaystyle 1 in mathbf {Z} / p,}$ что показывает, что это отображение является биекцией.

Как следствие, количество нормальных подгрупп индекса п является

${ displaystyle (p ^ {k + 1} -1) / (p-1) = 1 + p + cdots + p ^ {k}}$

для некоторых k; ${ displaystyle k = -1}$ не соответствует нормальным подгруппам индекса п. Далее, учитывая две различные нормальные подгруппы индекса п, получить проективная линия состоящий из ${ displaystyle p + 1}$ такие подгруппы.

За ${ displaystyle p = 2,}$ в симметричная разница из двух различных подгрупп индекса 2 (которые обязательно являются нормальными) дает третью точку на проективной прямой, содержащей эти подгруппы, и группа должна содержать ${ Displaystyle 0,1,3,7,15, ldots}$ подгруппы индекса 2 - например, он не может содержать ровно 2 или 4 подгруппы индекса 2.

Смотрите также

• Практически
• Коразмерность

Рекомендации

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Индекс подгруппы»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Январь 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

внешняя ссылка

• Нормальность подгрупп простого индекса в PlanetMath.
• "Подгруппа наименьшего простого индекса нормальна " в Groupprops, вики по свойствам группы