Дискретная группа - Discrete group

Алгебраическая структура → Теория групп
Теория групп
Циклическая группа.svg
Целые числа с их обычной топологией представляют собой дискретную подгруппу действительных чисел.

В математика, а дискретная подгруппа из топологическая группа грамм это подгруппа ЧАС так что есть открытая крышка из грамм в котором каждое открытое подмножество содержит ровно один элемент ЧАС ; другими словами, топология подпространства из ЧАС в грамм это дискретная топология. Например, целые числа, Z, образуют дискретную подгруппу реалы, р (со стандартом метрическая топология ), но рациональное число, Q, не. А дискретная группа это топологическая группа грамм оснащен дискретная топология.

Любой группе может быть задана дискретная топология. Поскольку каждая карта из дискретного пространства является непрерывный, топологические гомоморфизмы между дискретными группами - это в точности гомоморфизмы групп между основными группами. Следовательно, существует изоморфизм между категория групп и категория дискретных групп. Таким образом, дискретные группы можно отождествить с лежащими в их основе (нетопологическими) группами.

Бывают случаи, когда топологическая группа или же Группа Ли полезно наделить дискретной топологией, «против природы». Это происходит, например, в теории Компактификация Бора, И в групповые когомологии теория групп Ли.

Дискретный группа изометрии является группой изометрий, такой что для каждой точки метрического пространства множество изображений точки под изометриями является дискретный набор. Дискретный группа симметрии группа симметрии, являющаяся дискретной группой изометрий.

Характеристики

Поскольку топологические группы однородный, достаточно взглянуть на одну точку, чтобы определить, дискретна ли топологическая группа. В частности, топологическая группа дискретна тогда и только тогда, когда одиночка содержащая личность является открытый набор.

Дискретная группа - это то же самое, что и нульмерная Группа Ли (бесчисленный дискретные группы не счетный поэтому авторы, которые требуют, чтобы группы Ли удовлетворяли этой аксиоме, не считают эти группы группами Ли). В компонент идентичности дискретной группы - это просто тривиальная подгруппа в то время как группа компонентов изоморфна самой группе.

Поскольку единственный Топология Хаусдорфа на конечном множестве является дискретным, конечная топологическая группа Хаусдорфа обязательно должна быть дискретной. Отсюда следует, что каждая конечная подгруппа хаусдорфовой группы дискретна.

Дискретная подгруппа ЧАС из грамм является компактный если есть компактное подмножество K из грамм такой, что HK = грамм.

Дискретный нормальные подгруппы играют важную роль в теории группы покрытия и локально изоморфные группы. Дискретная нормальная подгруппа группы связаны группа грамм обязательно лежит в центр из грамм и поэтому абелевский.

Другие свойства:

  • каждая дискретная группа полностью отключен
  • каждая подгруппа дискретной группы дискретна.
  • каждый частное дискретной группы дискретна.
  • произведение конечного числа дискретных групп дискретно.
  • дискретная группа компактный тогда и только тогда, когда это конечно.
  • каждая дискретная группа локально компактный.
  • каждая дискретная подгруппа хаусдорфовой группы замкнута.
  • каждая дискретная подгруппа компактной хаусдорфовой группы конечна.

Примеры

  • Фриз-группы и группы обоев являются дискретными подгруппами группы группа изометрии евклидовой плоскости. Группы обоев компактны, а группы Frieze - нет.
  • А кристаллографическая группа обычно означает кокомпактную дискретную подгруппу изометрий некоторого евклидова пространства. Однако иногда кристаллографическая группа может быть кокомпактной дискретной подгруппой нильпотента или разрешимая группа Ли.
  • Каждый группа треугольников Т - дискретная подгруппа группы изометрий сферы (когда Т конечна), евклидова плоскость (когда Т имеет Z + Z подгруппа конечных индекс ), или гиперболическая плоскость.
  • Фуксовы группы являются, по определению, дискретными подгруппами группы изометрий гиперболической плоскости.
    • Фуксова группа, сохраняющая ориентацию и действующая на модели верхней полуплоскости гиперболической плоскости, является дискретной подгруппой группы Ли PSL (2,р) группа изометрий, сохраняющих ориентацию верхняя полуплоскость модель гиперболической плоскости.
    • Иногда фуксову группу рассматривают как частный случай Клейнианская группа, путем изометрического вложения гиперболической плоскости в трехмерное гиперболическое пространство и распространения действия группы на плоскости на все пространство.
    • В модульная группа PSL (2,Z) рассматривается как дискретная подгруппа в PSL (2,р). Модулярная группа представляет собой решетку в PSL (2,р), но он не компактный.
  • Клейнианские группы являются по определению дискретными подгруппами группы изометрий гиперболическое 3-пространство. К ним относятся квазифуксовы группы.
    • Клейнова группа, сохраняющая ориентацию и действующая на модели верхнего полупространства гиперболического 3-пространства, является дискретной подгруппой группы Ли PSL (2,C) группа изометрий, сохраняющих ориентацию верхнее полупространство модель гиперболического 3-мерного пространства.
  • А решетка в Группа Ли дискретная подгруппа такая, что Мера Хаара факторпространства конечно.

Смотрите также

Рекомендации

  • «Дискретная группа преобразований», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
  • «Дискретная подгруппа», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]