Форма Черна – Саймонса - Chern–Simons form
В математика, то Формы Черна – Саймонса некоторые второстепенные характеристические классы.[1] Теория названа в честь Шиинг-Шен Черн и Джеймс Харрис Саймонс, соавторы статьи 1974 года, озаглавленной «Характеристические формы и геометрические инварианты», из которой возникла теория.[2]
Определение
Учитывая многообразие и Алгебра Ли ценится 1-форма, над ним мы можем определить семейство п-формы:[3]
В одном измерении Черн – Саймонс 1-форма дан кем-то
![{ displaystyle operatorname {Tr} [ mathbf {A}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092c8e445b62d5b43e5f856352a1b4d4d00d6550)
В трех измерениях 3-форма Черна – Саймонса дан кем-то
![{ displaystyle operatorname {Tr} left [ mathbf {F} wedge mathbf {A} - { frac {1} {3}} mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} right] = operatorname {Tr} left [d mathbf {A} wedge mathbf {A} + { frac {2} {3}} mathbf {A} wedge mathbf {A } wedge mathbf {A} right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cea87fcbf697dafba00a19e0d9eeddbc49940cf)
В пяти измерениях 5-форма Черна – Саймонса дан кем-то
![{ displaystyle { begin {align} & operatorname {Tr} left [ mathbf {F} wedge mathbf {F} wedge mathbf {A} - { frac {1} {2}} mathbf {F} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} + { frac {1} {10}} mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} right] [6pt] = {} & operatorname {Tr} left [d mathbf {A} wedge d mathbf { A} wedge mathbf {A} + { frac {3} {2}} d mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} + { гидроразрыв {3} {5}} mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} right] end {выровнен}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8710899b798ec98637895e5c5a11df81674e471)
где кривизна F определяется как
Общая форма Черна – Саймонса определяется таким образом, что
где клин используется для определения Fk. Правая часть этого уравнения пропорциональна величине k-й Черн персонаж связи .
В целом метод Черна – Саймонса п-форма определено для любого нечетного п.[4]
Приложение к физике
В 1978 г. Альберт Шварц сформулирован Теория Черна – Саймонса, рано топологическая квантовая теория поля, используя форму Черна-Саймонса.[5]
в калибровочная теория, то интеграл формы Черна-Саймонса является глобальным геометрическим инвариантом и обычно калибровочный инвариант сложение целого числа по модулю.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Фрид, Дэниел (15 января 2009 г.). «Замечания о формах Черна – Саймонса» (PDF). Получено 1 апреля, 2020.
- ^ Черн, Шиинг-Шэнь; Tian, G .; Ли, Питер (1996). Математик и его математические работы: избранные статьи С.С.Черна. World Scientific. ISBN 978-981-02-2385-4.
- ^ "Форма Черна-Саймонса в nLab". ncatlab.org. Получено 1 мая, 2020.
- ^ Мур, Грег (7 июня 2019 г.). "Введение в теории Черна-Саймонса" (PDF). Техасский университет. Получено 7 июня, 2019.
- ^ Шварц, А. С. (1978). «Статистическая сумма вырожденного квадратичного функционала и инварианты Рей-Зингера». Письма по математической физике. 2 (3): 247–252. Дои:10.1007 / BF00406412. S2CID 123231019.
дальнейшее чтение
- Черн, С.-С.; Саймонс, Дж. (1974). «Характерные формы и геометрические инварианты». Анналы математики. Вторая серия. 99 (1): 48–69. Дои:10.2307/1971013. JSTOR 1971013.
- Бертльманн, Райнхольд А. (2001). «Форма Черна – Саймонса, гомотопический оператор и аномалия». Аномалии квантовой теории поля (Пересмотренная ред.). Clarendon Press. С. 321–341. ISBN 0-19-850762-3.
