Формула характера Вейля - Weyl character formula

В математика, то Формула характера Вейля в теория представлений описывает символы неприводимых представлений компактные группы Ли с точки зрения их самые высокие веса.^[1] Это было доказано Герман Вейль (1925, 1926a, 1926b ). Существует близкая формула для определения характера неприводимого представления полупростой алгебры Ли.^[2] В подходе Вейля к теория представлений связных компактных групп Ли, доказательство формулы характера является ключевым шагом в доказательстве того, что каждый доминирующий интегральный элемент на самом деле возникает как старший вес некоторого неприводимого представления.^[3] Важными следствиями формулы характера являются Формула размерности Вейля и Формула кратности Костанта.

По определению, персонаж ${displaystyle chi}$ представительства ${displaystyle pi}$ из грамм это след из ${displaystyle pi (g)}$ , как функция элемента группы ${displaystyle gin G}$ . Все неприводимые представления в этом случае конечномерны (это часть Теорема Питера – Вейля ); поэтому понятие следа является обычным в линейной алгебре. Знание персонажа ${displaystyle chi}$ из ${displaystyle pi}$ дает много информации о ${displaystyle pi}$ сам.

Формула Вейля - это закрытая формула для персонажа ${displaystyle chi}$ , с точки зрения других объектов, построенных из грамм и это Алгебра Ли.

Утверждение формулы характера Вейля

Формула характера может быть выражена в терминах представлений комплексных полупростых алгебр Ли или в терминах (существенно эквивалентной) теории представлений компактных групп Ли.

Комплексные полупростые алгебры Ли

Позволять ${displaystyle pi}$ неприводимое конечномерное представление комплексного полупростая алгебра Ли ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ . Предполагать ${displaystyle {mathfrak {h}}}$ это Подалгебра Картана из ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ . Характер ${displaystyle pi}$ тогда функция ${displaystyle operatorname {ch} _ {pi}: {mathfrak {h}} ightarrow mathbb {C}}$ определяется

{displaystyle operatorname {ch} _ {pi} (H) = operatorname {trace} (e ^ {pi (H)}).}

Ценность персонажа при ${displaystyle H = 0}$ это размер ${displaystyle pi}$ . По элементарным соображениям персонаж может быть вычислен как

{displaystyle operatorname {ch} _ {pi} (H) = sum _ {mu} m_ {mu} e ^ {mu (H)}}

,

где сумма колеблется по всем веса ${displaystyle mu}$ из ${displaystyle pi}$ и где ${displaystyle m_ {mu}}$ это кратность ${displaystyle mu}$ . (Предыдущее выражение иногда используется как определение символа.)

Формула символа гласит^[4] который ${displaystyle operatorname {ch} _ {pi} (H)}$ также может быть вычислено как

{displaystyle operatorname {ch} _ {pi} (H) = {frac {sum _ {win W} varepsilon (w) e ^ {w (lambda + ho) (H)}} {prod _ {альфа в дельте ^ { +}} (e ^ {альфа (H) / 2} -e ^ {- альфа (H) / 2})}}}

куда

${displaystyle W}$ это Группа Вейля;
${displaystyle Delta ^ {+}}$ это набор положительные корни из корневая система ${displaystyle Delta}$ ;
${displaystyle ho}$ представляет собой полусумму положительных корней, часто называемую Вектор Вейля;
${displaystyle lambda}$ это самый высокий вес неприводимого представления ${displaystyle V}$ ;
${displaystyle varepsilon (ш)}$ является детерминантом действия ${displaystyle w}$ на Подалгебра Картана ${displaystyle {mathfrak {h}} подмножество {mathfrak {g}}}$ . Это равно ${displaystyle (-1) ^ {ell (w)}}$ , куда ${displaystyle ell (w)}$ это длина элемента группы Вейля, определяемое как минимальное количество отражений относительно простых корней таких, что ${displaystyle w}$ равняется произведению этих отражений.

Обсуждение

Используя формулу знаменателя Вейля (описанную ниже), формулу символа можно переписать как

{displaystyle operatorname {ch} _ {pi} (H) = {frac {sum _ {win W} varepsilon (w) e ^ {w (lambda + ho) (H)}} {sum _ {win W} varepsilon ( ш) е ^ {ш (хо) (Н)}}}}

,

или, что то же самое,

{displaystyle operatorname {ch} _ {pi} (H) {sum _ {win W} varepsilon (w) e ^ {w (ho) (H)}} = sum _ {win W} varepsilon (w) e ^ { w (лямбда + ho) (H)}.}

Этот символ сам по себе представляет собой большую сумму экспонент. В этом последнем выражении мы затем умножаем символ на переменную сумму экспонент, что, по-видимому, приведет к еще большей сумме экспонент. Удивительная часть формулы символов заключается в том, что при вычислении этого произведения на самом деле остается лишь небольшое количество членов. Гораздо больше терминов встречается хотя бы один раз в произведении символа и знаменателя Вейля, но большинство этих терминов сокращаются до нуля.^[5] Выживают только термины, встречающиеся только один раз, а именно ${displaystyle e ^ {(лямбда + ho) (H)}}$ (который получается путем взятия наибольшего веса из ${displaystyle operatorname {ch} _ {pi}}$ и наибольший вес из знаменателя Вейля) и вещи в орбите группы Вейля ${displaystyle e ^ {(лямбда + ho) (H)}}$ .

Компактные группы Ли

Позволять ${displaystyle K}$ - компактная связная группа Ли и пусть ${displaystyle T}$ - максимальный тор в ${displaystyle K}$ . Позволять ${displaystyle Pi}$ быть неприводимым представлением ${displaystyle K}$ . Затем мы определяем характер ${displaystyle Pi}$ быть функцией

{displaystyle mathrm {X} (x) = operatorname {trace} (Pi (x)), quad xin K.}

Легко увидеть, что персонаж является функцией класса на ${displaystyle K}$ и Теорема Питера – Вейля утверждает, что характеры образуют ортонормированный базис для пространства интегрируемых с квадратом функций классов на ${displaystyle K}$ .^[6]

С ${displaystyle mathrm {X}}$ является функцией класса, она определяется ее ограничением на ${displaystyle T}$ . Теперь для ${displaystyle H}$ в алгебре Ли ${displaystyle {mathfrak {t}}}$ из ${displaystyle T}$ , у нас есть

{displaystyle имя оператора {след} (Pi (e ^ {H})) = имя оператора {след} (e ^ {pi (H)})}

,

куда ${displaystyle pi}$ является ассоциированным представлением алгебры Ли ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ из ${displaystyle K}$ . Таким образом, функция ${displaystyle Hmapsto operatorname {trace} (Pi (e ^ {H}))}$ просто символ ассоциированного представления ${displaystyle pi}$ из ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ , как описано в предыдущем подразделе. Ограничение характера ${displaystyle Pi}$ к ${displaystyle T}$ тогда задается той же формулой, что и в случае алгебры Ли:

{displaystyle mathrm {X} (e ^ {H}) = {frac {sum _ {win W} varepsilon (w) e ^ {w (lambda + ho) (H)}} {sum _ {win W} varepsilon ( w) e ^ {w (ho) (H)}}}.}

Вейля доказательство формулы характера в условиях компактной группы полностью отличается от алгебраического доказательства формулы характера в случае полупростых алгебр Ли.^[7] В настройке компактной группы обычно используются «реальные корни» и «реальные веса», которые различаются в разы ${displaystyle i}$ от корней и весов, используемых здесь. Таким образом, формула в условиях компактной группы имеет множители: ${displaystyle i}$ в экспоненте повсюду.

Случай SU (2)

В случае группы SU (2) рассмотрим неприводимое представление измерения ${displaystyle m + 1}$ . Если мы возьмем ${displaystyle T}$ чтобы быть диагональной подгруппой SU (2), формула характера в этом случае имеет вид^[8]

{displaystyle mathrm {X} left ({egin {pmatrix} e ^ {i heta} & 0 0 & e ^ {- i heta} end {pmatrix}} ight) = {frac {e ^ {i (m + 1) heta} -e ^ {- i (m + 1) heta}} {e ^ {i heta} -e ^ {- i heta}}} = {frac {sin ((m + 1) heta)} {sin heta}} .}

(И числитель, и знаменатель в формуле символа имеют два члена.) Поучительно проверить эту формулу непосредственно в этом случае, чтобы мы могли наблюдать феномен отмены, неявный в формуле символа Вейля.

Поскольку представления известны очень явно, характер представления можно записать как

{displaystyle mathrm {X} left ({egin {pmatrix} e ^ {i heta} & 0 0 & e ^ {- i heta} end {pmatrix}} ight) = e ^ {im heta} + e ^ {i (m- 2) heta} + cdots + e ^ {- im heta}.}

Между тем знаменатель Вейля - это просто функция ${displaystyle e ^ {i heta} -e ^ {- i heta}}$ . Умножение символа на знаменатель Вейля дает

{displaystyle mathrm {X} left ({egin {pmatrix} e ^ {i heta} & 0 0 & e ^ {- i heta} end {pmatrix}} ight) (e ^ {i heta} -e ^ {- i heta} ) = left (e ^ {i (m + 1) heta} + e ^ {i (m-1) heta} + cdots + e ^ {- i (m-1) heta} ight) -left (e ^ { i (m-1) heta} + cdots + e ^ {- i (m-1) heta} + e ^ {- i (m + 1) heta} ight).}

Теперь мы можем легко проверить, что большинство членов сокращаются между двумя членами в правой части выше, оставляя нам только

{displaystyle mathrm {X} left ({egin {pmatrix} e ^ {i heta} & 0 0 & e ^ {- i heta} end {pmatrix}} ight) (e ^ {i heta} -e ^ {- i heta} ) = e ^ {i (m + 1) heta} -e ^ {- i (m + 1) heta}}

так что

{displaystyle mathrm {X} left ({egin {pmatrix} e ^ {i heta} & 0 0 & e ^ {- i heta} end {pmatrix}} ight) = {frac {e ^ {i (m + 1) heta} -e ^ {- i (m + 1) heta}} {e ^ {i heta} -e ^ {- i heta}}} = {frac {sin ((m + 1) heta)} {sin heta}} .}

Персонаж в данном случае представляет собой геометрический ряд с ${displaystyle R = e ^ {2i heta}}$ и этот предыдущий аргумент представляет собой небольшой вариант стандартного вывода формулы для суммы конечного геометрического ряда.

Формула знаменателя Вейля

В частном случае тривиального одномерного представления символ равен 1, поэтому формула характера Вейля становится Формула знаменателя Вейля:^[9]

{displaystyle {sum _ {win W} varepsilon (w) e ^ {w (ho) (H)} = prod _ {alpha in Delta ^ {+}} (e ^ {alpha (H) / 2} -e ^ {-альфа (H) / 2})}.}

Для специальных унитарных групп это эквивалентно выражению

{displaystyle sum _ {sigma in S_ {n}} operatorname {sgn} (sigma), X_ {1} ^ {sigma (1) -1} cdots X_ {n} ^ {sigma (n) -1} = продукт _ {1leq i

для Определитель Вандермонда.^[10]

Формула размерности Вейля

Оценивая персонажа на ${displaystyle H = 0}$ , Формула характера Вейля дает Формула размерности Вейля

{displaystyle dim (V_ {lambda}) = {prod _ {alpha in Delta ^ {+}} (lambda + ho, alpha) over prod _ {alpha in Delta ^ {+}} (ho, alpha)}}

для размерности конечномерного представления ${displaystyle V_ {lambda}}$ с наибольшим весом ${displaystyle lambda}$ . (Как обычно, ρ представляет собой половину суммы положительных корней, а произведения пробегают положительные корни α.) Специализация не является полностью тривиальной, поскольку числитель и знаменатель формулы характера Вейля обращаются в нуль до высокого порядка в единичном элементе, поэтому необходимо взять предел следа элемента, стремящегося к идентичности, используя версию Правило L'Hospital.^[11] В описанном выше случае SU (2), например, мы можем восстановить размерность ${displaystyle m + 1}$ представления, используя правило Л'Оспиталя, чтобы оценить предел как ${displaystyle heta}$ стремится к нулю ${displaystyle sin ((m + 1) heta) / sin heta}$ .

В качестве примера можно рассмотреть комплексную полупростую алгебру Ли sl (3,C), или, что то же самое, компактная группа SU (3). В этом случае представления помечены парой ${displaystyle (м_ {1}, м_ {2})}$ неотрицательных целых чисел. В этом случае имеется три положительных корня, и нетрудно убедиться, что формула размерности принимает явный вид^[12]

{displaystyle dim (V_ {m_ {1}, m_ {2}}) = {frac {1} {2}} (m_ {1} +1) (m_ {2} +1) (m_ {1} + m_ {2} +2)}

Дело ${displaystyle m_ {1} = 1`` m_ {2} = 0}$ является стандартным представлением, и действительно, формула измерения дает в этом случае значение 3.

Формула кратности Костанта

Формула символа Вейля дает характер каждого представления как частное, где числитель и знаменатель являются конечной линейной комбинацией экспонент. Хотя эта формула в принципе определяет характер, не особенно очевидно, как можно явно вычислить это частное как конечную сумму экспонент. Уже в случае SU (2), описанном выше, не сразу очевидно, как перейти от формулы характера Вейля, которая дает символ как ${displaystyle sin ((m + 1) heta) / sin heta}$ вернуться к формуле для символа как суммы экспонент:

{displaystyle e ^ {im heta} + e ^ {i (m-2) heta} + cdots + e ^ {- im heta}.}

В этом случае, пожалуй, не так уж сложно распознать выражение ${displaystyle sin ((m + 1) heta) / sin heta}$ как сумму конечного геометрического ряда, но в целом нам нужна более систематическая процедура.

В общем, процесс деления может быть выполнен путем вычисления формальной обратной величины знаменателя Вейля и последующего умножения числителя в формуле символа Вейля на эту формальную обратную величину.^[13] Результат дает характер как конечную сумму экспонент. Коэффициенты этого разложения являются размерностями весовых пространств, то есть кратностями весов. Таким образом, мы получаем из формулы характера Вейля формулу для кратностей весов, известную как Формула кратности Костанта. Альтернативная формула, которая в некоторых случаях более проста с вычислительной точки зрения, приведена в следующем разделе.

Формула Фрейденталя

Ганс Фройденталь Формула представляет собой рекурсивную формулу для кратностей весов, которая дает тот же ответ, что и формула кратности Костанта, но ее иногда проще использовать для вычислений, поскольку может быть гораздо меньше членов для суммирования. Формула основана на использовании Элемент Казимира и его вывод не зависит от формулы символа. Говорится^[14]

{displaystyle (| Lambda + ho | ^ {2} - | lambda + ho | ^ {2}) m_ {Lambda} (lambda) = 2sum _ {alpha in Delta ^ {+}} sum _ {jgeq 1} (лямбда + jalpha, alpha) m_ {Lambda} (лямбда + jalpha)}

куда

Λ - старший вес,
λ - какой-то другой вес,
м_Λ(λ) - кратность веса λ в неприводимом представлении V_Λ
ρ - вектор Вейля
Первая сумма берется по всем положительным корням α.

Формула характера Вейля – Каца

Формула характера Вейля верна также для интегрируемых представлений со старшим весом Алгебры Каца – Муди, когда он известен как Формула характера Вейля – Каца. Аналогично существует тождество знаменателя для Алгебры Каца – Муди, что в случае аффинных алгебр Ли эквивалентно Личности Макдональда. В простейшем случае аффинной алгебры Ли типа А₁ это Тройное произведение Якоби личность

{displaystyle prod _ {m = 1} ^ {infty} left (1-x ^ {2m} ight) left (1-x ^ {2m-1} yight) left (1-x ^ {2m-1} y ^ {-1} ight) = sum _ {n = -infty} ^ {infty} (- 1) ^ {n} x ^ {n ^ {2}} y ^ {n}.}

Формула характера также может быть расширена до интегрируемых представлений старшего веса обобщенные алгебры Каца – Муди, когда символ задается

{displaystyle {sum _ {win W} (- 1) ^ {ell (w)} w (e ^ {lambda + ho} S) над e ^ {ho} prod _ {альфа в дельте ^ {+}} (1 -e ^ {- альфа})}.}

Здесь S поправочный член, заданный в терминах мнимых простых корней формулой

{displaystyle S = sum _ {I} (- 1) ^ {| I |} e ^ {Sigma I},}

где сумма пробегает все конечные подмножества я мнимых простых корней, попарно ортогональных и ортогональных старшему весу λ, и | I | - мощность I и Σя это сумма элементов я.

Формула знаменателя для монстр алгебра Ли формула продукта

{displaystyle j (p) -j (q) = left ({1 over p} - {1 over q} ight) prod _ {n, m = 1} ^ {infty} (1-p ^ {n} q ^). {m}) ^ {c_ {nm}}}

для эллиптическая модульная функция j.

Петерсон дал рекурсивную формулу для кратностей mult (β) корней β симметризуемой (обобщенной) алгебры Каца – Муди, которая эквивалентна формуле знаменателя Вейля – Каца, но более проста для вычислений:

{displaystyle (eta, eta -2ho) c_ {eta} = sum _ {gamma + delta = eta} (gamma, delta) c_ {gamma} c_ {delta},}

где сумма ведется по положительным корням γ, δ и

{displaystyle c_ {eta} = sum _ {ngeq 1} {operatorname {mult} (eta / n) over n}.}

Формула характера Хариш-Чандры

Хариш-Чандра показал, что формула Вейля для характера допускает обобщение на представления действительного восстановительная группа. Предполагать ${displaystyle pi}$ неприводимое, допустимое представительство действительной редуктивной группы G с бесконечно малый символ ${displaystyle lambda}$ . Позволять ${displaystyle Theta _ {pi}}$ быть Harish-Chandra персонаж из ${displaystyle pi}$ ; это дается путем интеграции против аналитическая функция на обычном наборе. Если H является Подгруппа Картана группы G и H '- множество регулярных элементов в H, то

{displaystyle Theta _ {pi} | _ {H '} = {sum _ {win W / W_ {lambda}} a_ {w} e ^ {wlambda} над e ^ {ho} prod _ {alpha in Delta ^ {+ }} (1-e ^ {- alpha})}.}

Здесь

W - комплексная группа Вейля ${displaystyle H_ {mathbb {C}}}$ относительно ${displaystyle G_ {mathbb {C}}}$
${displaystyle W_ {lambda}}$ стабилизатор ${displaystyle lambda}$ в W

а остальные обозначения такие же, как указано выше.

Коэффициенты ${displaystyle a_ {w}}$ все еще недостаточно изучены. Результаты по этим коэффициентам можно найти в статьях Трава, Адамс, Шмид, Шмид-Вилонен и другие.