Представление алгебры Ли - Lie algebra representation

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный грамм2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

в математический поле теория представлений, а Представление алгебры Ли или же представление алгебры Ли это способ написать Алгебра Ли как набор матрицы (или же эндоморфизмы из векторное пространство ) таким образом, что скобка Ли задается коммутатор. На языке физики ищется векторное пространство ${ displaystyle V}$ вместе с набором операторов на ${ displaystyle V}$ удовлетворяющий некоторому фиксированному набору коммутационных соотношений, таких как отношения, удовлетворяющие операторы углового момента.

Это понятие тесно связано с понятием представление группы Ли. Грубо говоря, представления алгебр Ли - это дифференцированная форма представлений групп Ли, а представления алгебр Ли. универсальный чехол группы Ли являются интегрированной формой представлений ее алгебры Ли.

При изучении представлений алгебры Ли частный звенеть, называется универсальная обертывающая алгебра, связанная с алгеброй Ли, играет важную роль. Универсальность этого кольца говорит о том, что категория представлений алгебры Ли - это то же самое, что и категория модули над его обертывающей алгеброй.

Формальное определение

Позволять ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ - алгебра Ли и пусть ${ displaystyle V}$ быть векторным пространством. Мы позволяем ${ Displaystyle { mathfrak {gl}} (V)}$ обозначим пространство эндоморфизмов ${ displaystyle V}$, то есть пространство всех линейных отображений ${ displaystyle V}$ себе. Мы делаем ${ Displaystyle { mathfrak {gl}} (V)}$ в алгебру Ли со скобкой, заданной коммутатором: ${ Displaystyle [ rho, sigma] = rho circ sigma - sigma circ rho}$ для всех р, а в ${ Displaystyle { mathfrak {gl}} (V)}$. Затем представление из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ на ${ displaystyle V}$ это Гомоморфизм алгебр Ли

${ Displaystyle rho двоеточие { mathfrak {g}} to { mathfrak {gl}} (V)}$.

В явном виде это означает, что ${ displaystyle rho}$ должна быть линейной картой и удовлетворять

${ Displaystyle rho ([X, Y]) = rho (X) rho (Y) - rho (Y) rho (X)}$

для всех X, Y в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Векторное пространство Vвместе с представлением ρ, называется ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-модуль. (Многие авторы злоупотребляют терминологией и ссылаются на V себя как представление).

Представление ${ displaystyle rho}$ как говорят верный если это инъективно.

Эквивалентно можно определить ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-модуль как векторное пространство V вместе с билинейная карта ${ Displaystyle { mathfrak {g}} раз от V до V}$ такой, что

${ Displaystyle [X, Y] cdot v = X cdot (Y cdot v) -Y cdot (X cdot v)}$

для всех X, Y в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ и v в V. Это связано с предыдущим определением, установив Икс ⋅ v = ρ(Икс)(v).

Примеры

Присоединенные представления

Самый простой пример представления алгебры Ли - присоединенное представление алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ на себя:

${ displaystyle { textrm {ad}}: { mathfrak {g}} to { mathfrak {gl}} ({ mathfrak {g}}), quad X mapsto operatorname {ad} _ {X }, quad operatorname {ad} _ {X} (Y) = [X, Y].}$

Действительно, в силу Личность Якоби, ${ displaystyle operatorname {ad}}$ является гомоморфизмом алгебр Ли.

Представления инфинитезимальных групп Ли

Представление алгебры Ли также возникает в природе. Если ${ displaystyle phi}$: грамм → ЧАС это гомоморфизм из (реальных или сложных) Группы Ли, и ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ и ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ являются Алгебры Ли из грамм и ЧАС соответственно, то дифференциал ${ displaystyle d_ {e} phi: { mathfrak {g}} to { mathfrak {h}}}$ на касательные пространства в тождествах является гомоморфизмом алгебр Ли. В частности, для конечномерного векторного пространства V, а представление групп Ли

${ displaystyle phi: G to operatorname {GL} (V) ,}$

определяет гомоморфизм алгебр Ли

${ displaystyle d phi: { mathfrak {g}} to { mathfrak {gl}} (V)}$

из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ в алгебру Ли общая линейная группа GL (V), т.е. алгебра эндоморфизмов V.

Например, пусть ${ displaystyle c_ {g} (x) = gxg ^ {- 1}}$. Тогда дифференциал ${ displaystyle c_ {g}: от G до G}$ в тождестве является элементом ${ displaystyle operatorname {GL} ({ mathfrak {g}})}$. Обозначая это ${ displaystyle operatorname {Ad} (g)}$ получается представление ${ displaystyle operatorname {Ad}}$ из грамм в векторном пространстве ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Это присоединенное представительство из грамм. Применяя предыдущее, получаем представление алгебры Ли ${ displaystyle d operatorname {Ad}}$. Можно показать, что ${ displaystyle d_ {e} operatorname {Ad} = operatorname {ad}}$присоединенное представление ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

Частичное обращение к этому утверждению гласит, что каждое представление конечномерной (действительной или комплексной) алгебры Ли поднимается до единственного представления ассоциированной односвязный Группа Ли, так что представления односвязных групп Ли находятся во взаимно однозначном соответствии с представлениями их алгебр Ли.^[1]

В квантовой физике

В квантовой теории рассматриваются «наблюдаемые», которые являются самосопряженными операторами на Гильбертово пространство. Тогда коммутационные соотношения между этими операторами являются важным инструментом. В операторы углового момента, например, удовлетворяют коммутационным соотношениям

${ Displaystyle [L_ {x}, L_ {y}] = я hbar L_ {z}, ; ; [L_ {y}, L_ {z}] = i hbar L_ {x}, ; ; [L_ {z}, L_ {x}] = i hbar L_ {y},}$.

Таким образом, оболочка этих трех операторов образует алгебру Ли, которая изоморфна алгебре Ли so (3) группа вращения SO (3).^[2] Тогда если ${ displaystyle V}$ - любое подпространство квантового гильбертова пространства, инвариантное относительно операторов углового момента, ${ displaystyle V}$ будет представлять собой представление алгебры Ли so (3). Понимание теории представлений so (3) очень помогает, например, при анализе гамильтонианов с вращательной симметрией, таких как атом водорода. Многие другие интересные алгебры Ли (и их представления) возникают в других разделах квантовой физики. Действительно, история теории представлений характеризуется богатым взаимодействием между математикой и физикой.

Базовые концепты

Инвариантные подпространства и неприводимость

Учитывая представление ${ displaystyle rho: { mathfrak {g}} rightarrow operatorname {End} (V)}$ алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, мы говорим, что подпространство ${ displaystyle W}$ из ${ displaystyle V}$ является инвариантный если ${ Displaystyle rho (X) ш в W}$ для всех ${ displaystyle w in W}$ и ${ displaystyle X in { mathfrak {g}}}$. Ненулевое представление называется несводимый если единственные инвариантные подпространства ${ displaystyle V}$ сам и нулевое пространство ${ displaystyle {0 }}$. Период, термин простой модуль также используется для неприводимого представления.

Гомоморфизмы

Позволять ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ быть Алгебра Ли. Позволять V, W быть ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-модули. Тогда линейное отображение ${ displaystyle f: V to W}$ это гомоморфизм из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-модули, если это ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-эквивариантный; т.е. ${ Displaystyle е (Икс cdot v) = Х cdot f (v)}$ для любого ${ Displaystyle X in { mathfrak {g}}, , v in V}$. Если ж биективен, ${ Displaystyle V, W}$ как говорят эквивалент. Такие карты также называются переплетающиеся карты или же морфизмы.

Точно так же многие другие конструкции из теории модулей в абстрактной алгебре переносятся на эту установку: подмодуль, фактор, подфактор, прямая сумма, ряд Жордана-Гельдера и т. Д.

Лемма Шура

Простой, но полезный инструмент для изучения неприводимых представлений - лемма Шура. Он состоит из двух частей:^[3]

• Если V, W неприводимы ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-модули и ${ displaystyle f: V to W}$ является гомоморфизмом, то ${ displaystyle f}$ равен нулю или изоморфизму.
• Если V неприводимый ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-модуль над алгебраически замкнутым полем и ${ displaystyle f: V to V}$ является гомоморфизмом, то ${ displaystyle f}$ является скалярным кратным тождества.

Полная сводимость

Позволять V - представление алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. потом V как говорят полностью сводимый (или полупростой), если она изоморфна прямой сумме неприводимых представлений (ср. полупростой модуль ). Если V конечномерно, то V вполне приводимо тогда и только тогда, когда каждое инвариантное подпространство V имеет инвариантное дополнение. (То есть, если W является инвариантным подпространством, то существует другое инвариантное подпространство п такой, что V прямая сумма W и п.)

Если ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ является конечномерным полупростая алгебра Ли над полем характеристики нуль и V конечномерно, то V полупростой; это Теорема Вейля о полной сводимости.^[4] Таким образом, для полупростых алгебр Ли классификация неприводимых (то есть простых) представлений немедленно приводит к классификации всех представлений. Для других алгебр Ли, которые не обладают этим специальным свойством, классификация неприводимых представлений может не сильно помочь в классификации общих представлений.

Алгебра Ли называется редуктивный если присоединенное представление полупростое. Конечно, всякая (конечномерная) полупростая алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ редуктивно, так как каждый представление ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ полностью сводится, как мы только что отметили. С другой стороны, определение редуктивной алгебры Ли означает, что она разлагается как прямая сумма идеалов (т. Е. Инвариантных подпространств для присоединенного представления), которые не имеют нетривиальных подидеалов. Некоторые из этих идеалов будут одномерными, а остальные - простыми алгебрами Ли. Таким образом, редуктивная алгебра Ли - это прямая сумма коммутативной алгебры и полупростой алгебры.

Инварианты

Элемент v из V как говорят ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-инвариантно, если ${ Displaystyle х cdot v = 0}$ для всех ${ displaystyle x in { mathfrak {g}}}$. Множество всех инвариантных элементов обозначается через ${ Displaystyle V ^ { mathfrak {g}}}$.

Основные конструкции

Тензорные произведения представлений

Если у нас есть два представления алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, с V₁ и V₂ как лежащие в основе векторные пространства, то тензорное произведение представлений будет иметь V₁ ⊗ V₂ как основное векторное пространство, с действием ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ однозначно определяется предположением, что

${ Displaystyle X cdot (v_ {1} otimes v_ {2}) = (X cdot v_ {1}) otimes v_ {2} + v_ {1} otimes (X cdot v_ {2}) .}$

для всех ${ displaystyle v_ {1} in V_ {1}}$ и ${ displaystyle v_ {2} in V_ {2}}$.

На языке гомоморфизмов это означает, что мы определяем ${ displaystyle rho _ {1} otimes rho _ {2}: { mathfrak {g}} rightarrow { mathfrak {gl}} (V_ {1} otimes V_ {2})}$ по формуле

${ Displaystyle ( rho _ {1} otimes rho _ {2}) (X) = rho _ {1} (X) otimes mathrm {I} + mathrm {I} otimes rho _ {2} (X)}$.^[5]

В физической литературе тензорное произведение с единичным оператором часто опускается в обозначениях, а формула записывается как

${ Displaystyle ( rho _ {1} otimes rho _ {2}) (X) = rho _ {1} (X) + rho _ {2} (X)}$,

где понимается, что ${ Displaystyle rho _ {1} (х)}$ действует на первый множитель в тензорном произведении и ${ Displaystyle rho _ {2} (х)}$ действует на второй множитель в тензорном произведении. В контексте представлений алгебры Ли su (2) тензорное произведение представлений называется «сложением углового момента». В контексте, ${ displaystyle rho _ {1} (X)}$ может быть, например, орбитальный угловой момент, а ${ displaystyle rho _ {2} (X)}$ - спиновый угловой момент.

Двойные представления

Позволять ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ - алгебра Ли и ${ displaystyle rho: { mathfrak {g}} rightarrow { mathfrak {gl}} (V)}$ быть представлением ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Позволять ${ Displaystyle V ^ {*}}$ - двойственное пространство, т. е. пространство линейных функционалов на ${ displaystyle V}$. Тогда мы можем определить представление ${ displaystyle rho ^ {*}: { mathfrak {g}} rightarrow { mathfrak {gl}} (V ^ {*})}$ по формуле

${ Displaystyle rho ^ {*} (X) = - ( rho (X)) ^ { OperatorName {tr}},}$

где для любого оператора ${ displaystyle A: V rightarrow V}$, оператор транспонирования ${ displaystyle A ^ { operatorname {tr}}: V ^ {*} rightarrow V ^ {*}}$ определяется как «композиция с ${ displaystyle A}$"оператор:

${ Displaystyle (A ^ { Operatorname {tr}} phi) (v) = phi (Av)}$

Знак минус в определении ${ displaystyle rho ^ {*}}$ необходимо для того, чтобы ${ displaystyle rho ^ {*}}$ на самом деле представляет собой представление ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, в свете идентичности ${ displaystyle (AB) ^ { operatorname {tr}} = B ^ { operatorname {tr}} A ^ { operatorname {tr}}.}$

Если мы работаем в основе, то транспонирование в приведенном выше определении можно интерпретировать как обычное транспонирование матрицы.

Представление на линейных картах

Позволять ${ Displaystyle V, W}$ быть ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-модули, ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ алгебра Ли. потом ${ displaystyle operatorname {Hom} (V, W)}$ становится ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-модуль, установив ${ Displaystyle (Икс cdot f) (v) = Xf (v) -f (Xv)}$. Особенно, ${ displaystyle operatorname {Hom} _ { mathfrak {g}} (V, W) = operatorname {Hom} (V, W) ^ { mathfrak {g}}}$; то есть ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-модульные гомоморфизмы из ${ displaystyle V}$ к ${ displaystyle W}$ просто элементы ${ displaystyle operatorname {Hom} (V, W)}$ которые инвариантны относительно только что определенного действия ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ на ${ displaystyle operatorname {Hom} (V, W)}$. Если мы возьмем ${ displaystyle W}$ в качестве базового поля, мы восстанавливаем действие ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ на ${ Displaystyle V ^ {*}}$ приведено в предыдущем подразделе.

Теория представлений полупростых алгебр Ли

Видеть Теория представлений полупростых алгебр Ли.

Обертывающие алгебры

Каждой алгебре Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ над полем k, можно связать определенное звенеть называется универсальной обертывающей алгеброй ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ и обозначен ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$. Универсальное свойство универсальной обертывающей алгебры гарантирует, что каждое представление ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ рождает представление о ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$. И наоборот, Теорема PBW говорит нам, что ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ сидит внутри ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$, так что каждое представление ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ может быть ограничено ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между представлениями ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ и те из ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$.

Универсальная обертывающая алгебра играет важную роль в описанной выше теории представлений полупростых алгебр Ли. В частности, конечномерные неприводимые представления строятся как частные от Модули Verma, и модули Верма строятся как факторы универсальной обертывающей алгебры.^[6]

Построение ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ как следует.^[7] Позволять Т быть тензорная алгебра векторного пространства ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Таким образом, по определению ${ displaystyle T = oplus _ {n = 0} ^ { infty} otimes _ {1} ^ {n} { mathfrak {g}}}$ и умножение на нем дается ${ displaystyle otimes}$. Позволять ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ быть кольцо частного из Т идеалом, порожденным элементами вида

${ displaystyle [X, Y] - (X otimes Y-Y otimes X)}$.

Есть естественная линейная карта из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ в ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ полученный ограничением фактор-карты ${ Displaystyle Т к U ({ mathfrak {g}})}$ до степени одной штуки. В Теорема PBW означает, что каноническое отображение на самом деле инъективно. Таким образом, любая алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ можно вложить в ассоциативную алгебру ${ Displaystyle А = U ({ mathfrak {g}})}$таким образом, чтобы скоба на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ дан кем-то ${ displaystyle [X, Y] = XY-YX}$ в ${ displaystyle A}$.

Если ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ является абелевский, тогда ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ симметрическая алгебра векторного пространства ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

С ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ является модулем над собой через присоединенное представление, обертывающая алгебра ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ становится ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-модуль расширением присоединенного представления. Но можно также использовать левую и правую регулярное представительство превратить обертывающую алгебру в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-модуль; а именно, с обозначением ${ Displaystyle l_ {X} (Y) = XY, X in { mathfrak {g}}, Y in U ({ mathfrak {g}})}$отображение ${ Displaystyle X mapsto l_ {X}}$ определяет представление ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ на ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$. Правое регулярное представление определяется аналогично.

Индуцированное представление

Позволять ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ - конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики и ${ Displaystyle { mathfrak {h}} subset { mathfrak {g}}}$ подалгебра. ${ Displaystyle U ({ mathfrak {h}})}$ действует на ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ справа и, следовательно, для любого ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$-модуль W, можно образовать левую ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$-модуль ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}}) otimes _ {U ({ mathfrak {h}})} W}$. Это ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-модуль обозначается ${ displaystyle operatorname {Ind} _ { mathfrak {h}} ^ { mathfrak {g}} W}$ и назвал ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-модуль, индуцированный W. Он удовлетворяет (и фактически характеризуется) универсальным свойством: для любого ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-модуль E

${ displaystyle operatorname {Hom} _ { mathfrak {g}} ( operatorname {Ind} _ { mathfrak {h}} ^ { mathfrak {g}} W, E) simeq operatorname {Hom} _ { mathfrak {h}} (W, operatorname {Res} _ { mathfrak {h}} ^ { mathfrak {g}} E)}$.

Более того, ${ displaystyle operatorname {Ind} _ { mathfrak {h}} ^ { mathfrak {g}}}$ является точным функтором из категории ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$-модули в категорию ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-модули. Они используют тот факт, что ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ свободный правый модуль над ${ Displaystyle U ({ mathfrak {h}})}$. В частности, если ${ displaystyle operatorname {Ind} _ { mathfrak {h}} ^ { mathfrak {g}} W}$ просто (или абсолютно просто), то W просто (или абсолютно просто). Здесь ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-модуль V абсолютно просто, если ${ displaystyle V otimes _ {k} F}$ просто для любого расширения поля ${ Displaystyle F / k}$.

Индукция транзитивна: ${ displaystyle operatorname {Ind} _ { mathfrak {h}} ^ { mathfrak {g}} simeq operatorname {Ind} _ { mathfrak {h '}} ^ { mathfrak {g}} circ operatorname {Ind} _ { mathfrak {h}} ^ { mathfrak {h '}}}$для любой подалгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {h '}} subset { mathfrak {g}}}$ и любая подалгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {h}} subset { mathfrak {h}} '}$. Индукция коммутирует с ограничением: пусть ${ Displaystyle { mathfrak {h}} subset { mathfrak {g}}}$ быть подалгеброй и ${ displaystyle { mathfrak {n}}}$ идеал ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ что содержится в ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$. Набор ${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ {1} = { mathfrak {g}} / { mathfrak {n}}}$ и ${ displaystyle { mathfrak {h}} _ {1} = { mathfrak {h}} / { mathfrak {n}}}$. потом ${ displaystyle operatorname {Ind} _ { mathfrak {h}} ^ { mathfrak {g}} circ operatorname {Res} _ { mathfrak {h}} simeq operatorname {Res} _ { mathfrak {g}} circ operatorname {Ind} _ { mathfrak {h_ {1}}} ^ { mathfrak {g_ {1}}}}$.

Бесконечномерные представления и «категория O»

Позволять ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ - конечномерная полупростая алгебра Ли над полем нулевой характеристики. (в разрешимом или нильпотентном случае изучается примитивные идеалы обертывающей алгебры; ср. Диксмье за ​​исчерпывающий отчет.)

Категория (возможно, бесконечномерных) модулей над ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ оказывается слишком большим, особенно для того, чтобы методы гомологической алгебры могли быть полезными: было обнаружено, что меньшая подкатегория категория O является лучшим местом для теории представлений в полупростом случае с нулевой характеристикой. Например, категория O оказалась подходящей по размеру для формулирования знаменитой взаимности BGG.^[8]

(g, K) -модуль

Одно из наиболее важных приложений представлений алгебры Ли - это теория представлений вещественной редуктивной группы Ли. Приложение основано на идее, что если ${ displaystyle pi}$ является представлением в гильбертовом пространстве, скажем, связной вещественной полупростой линейной группы Ли грамм, то он имеет два естественных действия: комплексирование ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ и связанные максимальная компактная подгруппа K. В ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-модульная структура ${ displaystyle pi}$ позволяет применять алгебраические особенно гомологические методы и ${ displaystyle K}$-модульная структура позволяет проводить гармонический анализ аналогично тому, как это делается для связных компактных полупростых групп Ли.

Представление на алгебре

Если у нас есть супералгебра Ли L, то представление L на алгебре является (не обязательно ассоциативный ) Z₂ оцененный алгебра А который является представлением L как Z₂ градуированное векторное пространство а кроме того, элементы L выступает в качестве производные /антидеривации на А.

В частности, если ЧАС это чистый элемент из L и Икс и у находятся чистые элементы из А,

ЧАС[ху] = (ЧАС[Икс])у + (−1)^xHИкс(ЧАС[у])

Кроме того, если А является единый, тогда

ЧАС[1] = 0

Теперь для случая представление алгебры Ли, мы просто отбрасываем все градации и (−1) на некоторые коэффициенты мощности.

(Супер) алгебра Ли - это алгебра, и она имеет присоединенное представительство самого себя. Это представление на алгебре: свойство (анти) дифференцирования - это суперЛичность Якоби.

Если векторное пространство одновременно является ассоциативная алгебра и Алгебра Ли и присоединенное представление алгебры Ли на самой себе является представлением на алгебре (т.е. действует дифференцированием в структуре ассоциативной алгебры), то это Алгебра Пуассона. Аналогичное наблюдение для супералгебр Ли дает понятие Супералгебра Пуассона.

Смотрите также

• Представление группы Ли
• Вес (теория представлений)
• Теорема Вейля о полной сводимости
• Корневая система
• Формула характера Вейля
• Теория представлений связной компактной группы Ли
• Лемма Уайтхеда (алгебры Ли)
• Гипотезы Каждана – Люстига
• Лемма Квиллена - аналог леммы Шура

Примечания

Рекомендации

• Бернштейн И.Н., Гельфанд И.М., Гельфанд С.И. Структура представлений, порождаемых векторами старшего веса // Функционал. Анальный. Appl. 5 (1971)
• Диксмье, Дж. (1977), Обертывающие алгебры, Амстердам, Нью-Йорк, Оксфорд: Северная Голландия, ISBN  0-444-11077-1.
• А. Бейлинсон и Дж. Бернштейн, "Локализация g-модулей", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, vol. 292, вып. 1. С. 15–18, 1981.
• Bäuerle, G.G.A; де Керф, Э.А. (1990). А. ван Грезен; Э.М. де Ягер (ред.). Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике. Исследования по математической физике. 1. Северная Голландия. ISBN  0-444-88776-8.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Bäuerle, G.G.A; de Kerf, E.A .; тен Кроуд, A.P.E. (1997). А. ван Грезен; Э.М. де Ягер (ред.). Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике. Исследования по математической физике. 7. Северная Голландия. ISBN  978-0-444-82836-1 - через ScienceDirect.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Фултон, В.; Харрис, Дж. (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-97495-8. МИСТЕР  1153249.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Д. Гайцгори, Теория геометрических представлений, Math 267y, осень 2005 г.
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Спрингер, ISBN  978-1461471158
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3319134666
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли - введение через линейные группы, Оксфордские выпускные программы по математике, Oxford Science Publications, ISBN  0-19-859683-9
• Риоши Хотта, Киёси Такеучи, Тошиюки Танисаки, D-модули, извращенные пучки и теория представлений; перевел Киёси Такеуч
• Хамфрис, Джеймс (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений, Тексты для выпускников по математике, 9, Спрингер, ISBN  9781461263982
• Н. Якобсон, Алгебры Ли, Courier Dover Publications, 1979.
• Гаррет Биркофф; Филип М. Уитмен (1949). «Представление йорданов и алгебр Ли» (PDF). Пер. Амер. Математика. Soc. 65: 116–136. Дои:10.1090 / s0002-9947-1949-0029366-6.
• Кириллов, А. (2008). Введение в группы Ли и алгебры Ли. Кембриджские исследования в области высшей математики. 113. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521889698.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Кнапп, Энтони В. (2001), Теория представлений полупростых групп. Обзор на примерах., Принстонские вехи в математике, Princeton University Press, ISBN  0-691-09089-0 (элементарное лечение SL (2,C))
• Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли за пределами и введение (второе изд.), Birkhauser

дальнейшее чтение

• Бен-Цви, Давид; Надлер, Дэвид (2012). «Локализация Бейлинсона-Бернштейна над центром Хариш-Чандра». arXiv:1209.0188v1 [math.RT ].