К-теория (физика) - K-theory (physics)

В теория струн, K-теория классификации относится к предполагаемому применению K-теория (в абстрактная алгебра и алгебраическая топология ) до суперструн, чтобы классифицировать разрешенные Рамон-Рамонское месторождение сильные стороны, а также обвинения в стабильном D-браны.

В физика конденсированного состояния K-теория также нашла важные приложения, особенно в топологической классификации топологические изоляторы, сверхпроводники и стабильные поверхности Ферми (Китаев (2009), Хорава (2005) ).

История

Эта гипотеза применительно к зарядам D-браны была впервые предложена Минасиан и Мур (1997). Это было популяризировано Виттен (1998) кто продемонстрировал это в тип IIB теория струн естественно возникает из Ашоке Сен реализация произвольных конфигураций D-бран в виде стеков D9 и анти-D9-браны после тахионная конденсация.

Такие стопки бран несовместны в не кручении. Неве-Шварц (NS) 3-форма фон, который, как было подчеркнуто Капустин (2000), затрудняет распространение классификации K-теории на такие случаи. Баукнегт и Варгезе (2000) предложил решение этой проблемы: D-браны обычно классифицируются по скрученная K-теория, что ранее было определено Розенберг (1989).

Приложения

Классификация D-бран с помощью K-теории нашла множество приложений. Например, Ханани и Кол (2000) использовал его, чтобы доказать, что существует восемь видов ориентировать одноплоскостной. Уранга (2001) применил классификацию K-теории для вывода новых условий согласованности компактификации потока. K-теория также использовалась, чтобы предположить формулу для топологий Т-дуал многообразия Боукнегт, Евслин и Варгезе (2004). Недавно была высказана гипотеза, что K-теория классифицирует спиноры в компактификации на обобщенные комплексные многообразия.

Открытые проблемы

Несмотря на эти успехи, Потоки RR не совсем классифицируются K-теорией. Диаконеску, Мур и Виттен (2003) утверждал, что классификация K-теории несовместима с S-дуальность в IIB теория струн.

Кроме того, если попытаться классифицировать потоки в компактном десятимерном пространстве-времени, то возникнет сложность из-за самодуальности потоков RR. Двойственность использует Ходжа звезда, который зависит от метрики и поэтому имеет непрерывные значения и, в частности, является иррациональным в общем смысле. Таким образом, не все потоки RR, которые интерпретируются как Черн персонажи в K-теории может быть рациональным. Однако характеры Черна всегда рациональны, поэтому необходимо заменить классификацию K-теории. Нужно выбрать половину потоков для квантования или поляризация в геометрическое квантование - язык, вдохновленный Дьяконеску, Муром и Виттеном, а затем и Варгезе и Сати (2004). В качестве альтернативы можно использовать K-теорию 9-мерного время нарезать, как это было сделано Малдасена, Мур и Зайберг (2001).

K-теория классификации потоков RR

В классическом пределе теория струн типа II, который является типом II супергравитация, то Напряженности поля Рамона – Рамона находятся дифференциальные формы. В квантовой теории корректность статистической суммы D-бран означает, что напряженности поля RR подчиняются Условия квантования Дирака когда пространство-время является компактный, или когда пространственный срез является компактным и учитываются только (магнитные) компоненты напряженности поля, которые лежат вдоль пространственных направлений. Это побудило физиков двадцатого века классифицировать напряженность поля RR с использованием когомология с интегральными коэффициентами.

Однако некоторые авторы утверждали, что когомологии пространства-времени с интегральными коэффициентами слишком велики. Например, при наличии H-потока Неве-Шварца или неспиновых циклов некоторые потоки RR диктуют присутствие D-бран. В первом случае это является следствием супергравитационного уравнения движения, которое утверждает, что продукт потока RR с NS 3-формой является плотностью заряда D-браны. Таким образом, набор топологически различных напряженностей поля RR, которые могут существовать в безрановых конфигурациях, является лишь подмножеством когомологий с целыми коэффициентами.

Это подмножество все еще слишком велико, потому что некоторые из этих классов связаны большими калибровочными преобразованиями. В QED есть большие калибровочные преобразования, которые добавляют к петлям Вильсона целые числа, кратные двум пи. Потенциалы p-формы в теориях супергравитации типа II также подвергаются этим большим калибровочным преобразованиям, но из-за наличия Черн-Симонс слагаемые в действиях супергравитации, эти большие калибровочные преобразования преобразуют не только потенциалы p-формы, но также одновременно и напряженности поля (p + 3) -формы. Таким образом, чтобы получить пространство неэквивалентных напряжённостей поля из вышеупомянутого подмножества интегральных когомологий, мы должны выполнить факторизацию по этим большим калибровочным преобразованиям.

В Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха строит скрученную K-теорию, с завихрением, задаваемым напряженностью поля 3-формы NS, как частное от подмножества когомология с интегральными коэффициентами. В классическом пределе, который соответствует работе с рациональными коэффициентами, это в точности частное подмножества, описанного выше в супергравитации. Квантовые поправки происходят из классов кручения и содержат поправки на кручение mod 2 из-за аномалии Фрида-Виттена.

Таким образом, скрученная K-теория классифицирует подмножество напряженности поля RR, которое может существовать в отсутствие D-бран, дифференцированное большими калибровочными преобразованиями. Дэниел Фрид попытался расширить эту классификацию, чтобы включить в нее также потенциалы RR, используя дифференциальную K-теорию.

K-теория классификации D-бран

K-теория классифицирует D-браны в некомпактном пространстве-времени, интуитивно в пространстве-времени, в котором нас не заботит поток, исходящий от браны, которому некуда идти. В то время как K-теория 10d пространства-времени классифицирует D-браны как подмножества этого пространства-времени, если пространство-время является произведением времени и фиксированного 9-многообразия, то K-теория также классифицирует сохраняющиеся заряды D-бран на каждом 9-мерном пространственный срез. В то время как мы должны были забыть о потенциалах RR для получения классификации напряженности поля RR по K-теории, мы должны забыть о напряженности поля RR, чтобы получить классификацию D-бран по K-теории.

Заряд K-теории в сравнении с зарядом BPS

Как было подчеркнуто Петр Горжава, классификация D-бран K-теорией не зависит от классификации BPS государства. K-теория, по-видимому, классифицирует стабильные D-браны, пропущенные суперсимметрия основанные на классификации.

Например, D-браны с торсионными зарядами, то есть с зарядами в циклической группе порядка N ${displaystyle mathbf {Z} _ {N}}$ , привлекают друг друга и поэтому никогда не могут быть BPS. Фактически, N таких бран может распадаться, тогда как никакая суперпозиция бран, удовлетворяющих границе Богомольного, не может распадаться. Однако заряд таких бран сохраняется по модулю N, и это отражено классификацией K-теории, но не классификацией BPS. Такие торсионные браны применялись, например, для моделирования Струны Дугласа-Шенкера в суперсимметричном U (N) калибровочные теории.

K-теория из тахионной конденсации

Ашоке Сен предположил, что в отсутствие топологически нетривиального потока NS 3-формы все конфигурации бран IIB могут быть получены из стопок заполняющих пространство бран D9 и анти D9 через тахионная конденсация. Топология полученных бран кодируется в топологии калибровочного расслоения на стеке бран, заполняющих пространство. Топология калибровочного пучка стека D9 и анти-D9 может быть разложена на калибровочное расслоение на D9 и другое расслоение на анти-D9. Тахионная конденсация преобразует такую пару пучков в другую пару, в которой одно и то же расслоение напрямую суммируется с каждым компонентом пары. Таким образом, инвариантная величина тахионной конденсации, то есть заряд, который сохраняется в процессе тахионной конденсации, является не парой связок, а скорее классом эквивалентности пары связок относительно прямых сумм одного и того же пучка с обеих сторон пары . Это в точности обычная конструкция топологическая K-теория. Таким образом, калибровочные расслоения на стопках D9 и анти-D9 классифицируются топологической K-теорией. Если гипотеза Сена верна, тогда все конфигурации D-бран в типе IIB классифицируются K-теорией. Петр Горава распространил эту гипотезу на тип IIA, используя D8-браны.

Скрученная K-теория из инстантонов MMS

В то время как картина тахионной конденсации классификации K-теории классифицирует D-браны как подмножества 10-мерного пространства-времени без потока NS 3-форм, картина Малдасены, Мура и Зайберга классифицирует стабильные D-браны с конечной массой как подмножества 9-мерный пространственный срез пространства-времени.

Центральное наблюдение состоит в том, что D-браны не классифицируются по интегральной гомологии, потому что Dp-браны, охватывающие определенные циклы, страдают аномалией Фрида-Виттена, которая устраняется вставкой D (p-2) -бран, а иногда и D (p- 4) -браны, заканчивающиеся на пораженной Dp-бране. Эти вставленные браны могут либо продолжаться до бесконечности, и в этом случае составной объект имеет бесконечную массу, либо они могут заканчиваться на анти-Dp-бране, и в этом случае полный заряд Dp-браны равен нулю. В любом случае можно удалить аномальные Dp-браны из спектра, оставив только подмножество исходных целочисленных когомологий.

Вставленные браны нестабильны. Чтобы убедиться в этом, представьте, что они простираются во времени (в прошлое) от аномальной браны. Это соответствует процессу, в котором внедренные браны распадаются через Dp-брану, которая образуется, завершает вышеупомянутый цикл и затем исчезает. MMS^[1] назовем этот процесс инстантоном, хотя на самом деле он не обязательно должен быть инстантонным.

Таким образом, сохраняющиеся заряды представляют собой неаномольное подмножество, разделенное на нестабильные вставки. Это как раз то Спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха построение скрученной K-теории как множества.

Согласование скрученной K-теории и S-дуальности

Диаконеску, Мур и Виттен указали, что классификация извращенной K-теории несовместима с S-дуальность ковариантность теории струн типа IIB. Например, рассмотрим ограничение на Напряженность поля в 3-форме Рамона – Рамона грамм₃ в Спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха (AHSS):

{displaystyle d_ {3} G_ {3} = Sq ^ {3} G_ {3} + Hcup G_ {3} = G_ {3} чашка G_ {3} + Hcup G_ {3} = 0}

где D₃= Кв.³+ H - первый нетривиальный дифференциал в AHSS, Sq³ третий Площадь Стинрода а последнее равенство следует из того, что n-й квадрат Стинрода, действующий на любую n-форму x, равен x ${displaystyle cup}$ Икс.

Приведенное выше уравнение не инвариантно относительно S-двойственности, которая меняет местами G₃ и Х. Вместо этого Диаконеску, Мур и Виттен предложили следующее ковариантное расширение S-двойственности

{displaystyle G_ {3} чашка G_ {3} + Hcup G_ {3} + Hcup H = P}

где P - неизвестный характеристический класс, который зависит только от топологии и, в частности, не от потоков. Диаконеску, Фрид и Мур (2007) нашли ограничение на P, используя E₈ калибровочно-теоретический подход к M-теории впервые был разработан Дьяконеску, Муром и Виттеном.

Таким образом, D-браны в IIB в конце концов классифицируются не скрученной K-теорией, а каким-то неизвестным S-дуально-ковариантным объектом, который неизбежно также классифицирует как фундаментальные струны, так и NS5-браны.

Однако рецепт MMS для вычисления скрученной K-теории легко S-коваритизировать, поскольку аномалии Фрида-Виттена учитывают S-дуальность. Таким образом, S-ковариантная форма конструкции MMS может быть применена для построения S-коваритизированной скрученной K-теории как множества, не зная, что у нас есть какое-либо геометрическое описание того, что это за странный ковариантный объект. Эта программа была реализована в ряде статей, таких как Евслин и Варадараджан (2003) и Евслин (2003а), а также применялась для классификации потоков по Евслин (2003b). Bouwknegt et al. (2006) используйте этот подход, чтобы доказать предполагаемое ограничение Диаконеску, Мура и Виттена на 3-потоки, и они показывают, что существует дополнительный член, равный заряду D3-браны. Евслин (2006) показывает, что Каскад Клебанова-Страслера из Двойственности Зайберга состоит из серии S-дуальных инстантонов MMS, по одному для каждой дуальности Зайберга. Группа, ${displaystyle mathbf {Z} _ {N}}$ классов универсальности ${displaystyle SU (M + N) imes SU (M)}$ суперсимметричный калибровочная теория затем показано, что он согласуется с S-дуальной скрученной K-теорией, а не с исходной скрученной K-теорией.

Некоторые авторы предложили принципиально разные решения этой загадки. Например, Криз и Сати (2005) предлагают, чтобы вместо закрученной K-теории, конфигурации теории струн II были классифицированы по эллиптические когомологии.

Исследователи

Выдающиеся исследователи в этой области включают: Эдвард Виттен, Питер Баукнегт, Анхель Уранга, Эмануэль Диаконеску, Грегори Мур, Антон Капустин, Джонатан Розенберг, Рубен Минасян, Амихай Ханани, Хишам Сати, Натан Зайберг, Хуан Малдасена, Дэниел Фрид, и Игорь Криз.

Смотрите также

Поле Калба – Рамона

Примечания

^ Хуан Малдасена, Грегори Мур и Натан Зайберг. Инстантоны D-бран и заряды K-теории. https://arxiv.org/abs/hep-th/0108100

Ссылки (физика конденсированного состояния)

Китаев Алексей (2009), «Периодическая таблица для топологических изоляторов и сверхпроводников», Материалы конференции AIP, 1134 (1): 22–30, arXiv:0901.2686, Bibcode:2009AIPC.1134 ... 22K, Дои:10.1063/1.3149495.

Хорава, Петр (2005), "Устойчивость поверхностей Ферми и K-теория", Письма с физическими проверками, 95 (16405): 016405, arXiv:hep-th / 0503006, Bibcode:2005PhRvL..95a6405H, Дои:10.1103 / Physrevlett.95.016405, PMID 16090638.
Рой, Рахул; Феннер Харпер (2017), «Периодическая таблица для топологических изоляторов Флоке», Физический обзор B, 96 (15): 155118, arXiv:1603.06944, Bibcode:2017PhRvB..96o5118R, Дои:10.1103 / PhysRevB.96.155118.

дальнейшее чтение

Отличное введение в K-теория классификация D-браны в 10 измерениях через Ашоке Сен Гипотеза - это оригинальная статья «D-браны и K-теория» автора Эдвард Виттен; есть также обширный обзор Олсен и Сабо (1999).

Очень понятное введение в скрученная K-теория Классификация сохраняющихся зарядов D-браны на 9-мерном временном срезе в присутствии потока Невё – Шварца имеет вид Малдасена, Мур и Зайберг (2001).

внешняя ссылка

K-теория на arxiv.org

[1] Хуан Малдасена, Грегори Мур и Натан Зайберг. Инстантоны D-бран и заряды K-теории. https://arxiv.org/abs/hep-th/0108100

[1]

Теория струн
Фон	Струны История теории струн Первая суперструнная революция Вторая суперструнная революция Пейзаж теории струн
Теория	Действие Намбу – Гото Поляков действие Теория бозонных струн Теория суперструн Строка типа I Струна типа II Строка типа IIA Строка типа IIB Гетеротическая строка N = 2 суперструны F-теория Теория струнного поля Матричная теория струн Некритическая теория струн Нелинейная сигма-модель Тахионная конденсация Формализм RNS Формализм GS
Струнная двойственность	Т-дуальность S-дуальность U-дуальность Двойственность Монтонена-Олива
Частицы и поля	Гравитон Дилатон Тахион Рамон-Рамонское месторождение Поле Калба – Рамона Магнитный монополь Двойной гравитон Двойной фотон
Бранес	D-брана NS5-брана М2-брана М5-брана S-брана Черная брана Черные дыры Черная строка Космология браны Схема колчана Переход Ханани – Виттена
Конформная теория поля	Алгебра Вирасоро Зеркальная симметрия Конформная аномалия Конформная алгебра Суперконформная алгебра Вершинная операторная алгебра Алгебра петель Алгебра Каца – Муди Модель Весса – Зумино – Виттена.
Калибровочная теория	Аномалии Instantons Форма Черна – Саймонса Граница Богомольного – Прасада – Соммерфилда Исключительные группы Ли (грамм₂, F₄, E₆, E₇, E₈ ) Классификация ADE Струна Дирака п-формная электродинамика
Геометрия	Теория Калуцы – Клейна Компактификация Почему 10 измерений ? Кэлерово многообразие Риччи-плоский коллектор Многообразие Калаби – Яу Гиперкэлерово многообразие K3 поверхность грамм₂ многообразие Спиновое (7) -многообразие Обобщенное комплексное многообразие Орбифолд Конифолд Ориентифолд Модульное пространство Доменная стена Горжава – Виттена К-теория (физика) Витая K-теория
Суперсимметрия	Супергравитация Суперпространство Супералгебра Ли Супергруппа Ли
Голография	Голографический принцип AdS / CFT корреспонденция
М-теория	Матричная теория Введение в М-теорию
Теоретики струн	Аганагич Аркани-Хамед Атья банки Беренштейн Буссо Тесак Curtright Dijkgraaf Дистлер Дуглас Дафф Феррара Фишлер Фридан Ворота Глиоцци Гопакумар Зеленый Грин Валовой Губсер Гуков Guth Hanson Харви Горжава Гиббонс Качру Каку Kallosh Калуца Капустин Клебанов Книжник Концевич Кляйн Linde Maldacena Мандельштам Марольф Мартинек Минвалла Мур Motl Мухи Майерс Нанопулос Нэстасе Некрасов Невеу Nielsen van Nieuwenhuizen Новиков Оливковое Ooguri Оврут Полчинский Поляков Раджараман Рамон Randall Ранджбар-Дэми Рочек Ром Scherk Шварц Зайберг Сен Шенкер Сигель Сильверштейн Сын Staudacher Steinhardt Strominger Сундрам Сасскинд 'т Хофт Townsend Триведи Турок Вафа Венециано Верлинде Верлинде Wess Виттен Яу Йонея Замолодчиков Замолодчиков Заслоу Зумино Zwiebach