Экспоненциальное отображение (теория Ли) - Exponential map (Lie theory) - Wikipedia

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный грамм2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

В теории Группы Ли, то экспоненциальная карта это карта из Алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ группы Ли ${ displaystyle G}$ в группу, которая позволяет восстановить структуру локальной группы из алгебры Ли. Существование экспоненциального отображения - одна из основных причин того, что алгебры Ли являются полезным инструментом для изучения групп Ли.

Обычный экспоненциальная функция математического анализа является частным случаем экспоненциального отображения, когда ${ displaystyle G}$ мультипликативная группа положительные действительные числа (чья алгебра Ли является аддитивной группой всех действительных чисел). Экспоненциальное отображение группы Ли удовлетворяет многим свойствам, аналогичным свойствам обычной экспоненциальной функции, однако оно также отличается во многих важных отношениях.

Определения

Позволять ${ displaystyle G}$ быть Группа Ли и ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ быть его Алгебра Ли (считается касательное пространство к элемент идентичности из ${ displaystyle G}$). В экспоненциальная карта это карта

${ displaystyle exp двоеточие { mathfrak {g}} to G}$

который можно определить по-разному. Типичное современное определение таково:

Определение: Экспонента от ${ displaystyle X in { mathfrak {g}}}$ дан кем-то ${ Displaystyle ехр (Х) = гамма (1)}$ куда

${ Displaystyle gamma двоеточие mathbb {R} to G}$

уникальный однопараметрическая подгруппа из ${ displaystyle G}$ чей касательный вектор при тождестве равно ${ displaystyle X}$.

Это легко следует из Правило цепи который ${ Displaystyle ехр (tX) = гамма (т)}$. Карта ${ displaystyle gamma}$ может быть построен как интегральная кривая либо право-, либо левоинвариантной векторное поле связана с ${ displaystyle X}$. То, что интегральная кривая существует для всех действительных параметров, следует из сдвига решения влево или вправо вблизи нуля.

У нас есть более конкретное определение в случае матричная группа Ли. Экспоненциальное отображение совпадает с матричная экспонента и дается обычным разложением в ряд:

${ displaystyle exp (X) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {X ^ {k}} {k!}} = I + X + { frac {1} {2} } X ^ {2} + { frac {1} {6}} X ^ {3} + cdots}$,

куда ${ displaystyle I}$ это единичная матрица. Таким образом, в случае матричных групп Ли экспоненциальное отображение является ограничением матричной экспоненты на алгебру Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ из ${ displaystyle G}$.

Сравнение с римановым экспоненциальным отображением

Если грамм компактен, он имеет риманову метрику, инвариантную относительно левой и правые сдвиги, и теоретико-Ли экспоненциальное отображение для грамм совпадает с экспоненциальное отображение этой римановой метрики.

Для генерала грамм, не будет риманова метрического инварианта как относительно левого, так и правого сдвигов. Хотя всегда существует риманова метрика, инвариантная, скажем, относительно левых сдвигов, экспоненциальное отображение в смысле римановой геометрии для левоинвариантной метрики будет нет в общем согласен с экспоненциальным отображением в смысле группы Ли. То есть, если грамм является группой Ли с левоинвариантной, но не правоинвариантной метрикой, геодезические через единицу не будут однопараметрическими подгруппами грамм^{[нужна цитата ]}.

Другие определения

Другие эквивалентные определения экспоненты группы Ли следующие:

• Это экспоненциальное отображение канонического левоинвариантного аффинная связь на грамм, так что параллельный транспорт дается левым переводом. То есть, ${ Displaystyle ехр (Х) = гамма (1)}$ куда ${ displaystyle gamma}$ уникальный геодезический с начальной точкой на единичном элементе и начальной скоростью Икс (рассматривается как касательный вектор).
• Это экспоненциальное отображение канонической правоинвариантной аффинной связности на грамм. Обычно это отличается от канонической левоинвариантной связи, но обе связи имеют одинаковые геодезические (орбиты однопараметрических подгрупп, действующих посредством левого или правого умножения), поэтому задайте одно и то же экспоненциальное отображение.
• В Соответствие группы Ли и алгебры Ли также дает определение: для Икс в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, ${ Displaystyle т mapsto ехр (tX)}$ - единственный гомоморфизм групп Ли, соответствующий гомоморфизму алгебр Ли ${ displaystyle t mapsto tX.}$ (Примечание: ${ displaystyle operatorname {Lie} ( mathbb {R}) = mathbb {R}}$.)

Примеры

• В единичный круг с центром в 0 в комплексная плоскость группа Ли (называемая круговая группа ), касательное пространство которого в точке 1 можно отождествить с воображаемой прямой на комплексной плоскости, ${ displaystyle {it: t in mathbb {R} }.}$ Экспоненциальное отображение для этой группы Ли задается формулой

${ displaystyle it mapsto exp (it) = e ^ {it} = cos (t) + i sin (t), ,}$

то есть та же формула, что и обычный комплексная экспонента.

• в кватернионы ${ displaystyle mathbb {H}}$, набор кватернионы единичной длины образуют группу Ли (изоморфную специальной унитарной группе SU(2)), касательное пространство которого в точке 1 можно отождествить с пространством чисто мнимых кватернионов, ${ displaystyle {it + ju + kv: t, u, v in mathbb {R} }.}$ Экспоненциальное отображение для этой группы Ли задается формулой

${ displaystyle mathbf {w}: = (it + ju + kv) mapsto exp (it + ju + kv) = cos (| mathbf {w} |) 1+ sin (| mathbf {w } |) { frac { mathbf {w}} {| mathbf {w} |}}. ,}$

Эта карта занимает двумерную сферу радиуса р внутри чисто воображаемого кватернионы к ${ displaystyle {s in S ^ {3} subset mathbf {H}: operatorname {Re} (s) = cos (R) }}$, 2-сфера радиуса ${ Displaystyle грех (R)}$ (ср. Экспонента вектора Паули ). Сравните это с первым примером выше.

• Позволять V - конечномерное вещественное векторное пространство и рассматривать его как группу Ли при операции сложения векторов. потом ${ displaystyle operatorname {Lie} (V) = V}$ через идентификацию V с касательным пространством в 0 и экспоненциальным отображением

${ displaystyle operatorname {exp}: operatorname {Lie} (V) = V to V}$

тождественная карта, то есть ${ Displaystyle ехр (v) = v}$.

• в расщепленное комплексное число самолет ${ Displaystyle Z = Икс + Y Jmath, quad jmath ^ {2} = + 1,}$ воображаемая линия ${ Displaystyle lbrace jmath t: t in mathbb {R} rbrace}$ образует алгебру Ли гипербола единиц группа ${ Displaystyle lbrace сп т + jmath зп т: т ин mathbb {R} rbrace}$ так как экспоненциальное отображение дается

${ displaystyle jmath t mapsto exp ( jmath t) = cosh t + jmath sinh t.}$

Характеристики

Элементарные свойства экспоненты

Для всех ${ displaystyle X in { mathfrak {g}}}$, карта ${ Displaystyle гамма (т) = ехр (tX)}$ уникальный однопараметрическая подгруппа из ${ displaystyle G}$ чей касательный вектор на личности ${ displaystyle X}$. Следует, что:

• ${ Displaystyle ехр ((т + s) Икс) = ехр (tX) ехр (sX) ,}$
• ${ Displaystyle ехр (-X) = ехр (X) ^ {- 1}. ,}$

В более общем смысле:

• ${ Displaystyle ехр (X + Y) = ехр (X) ехр (Y), quad { text {if}} [X, Y] = 0}$.

Важно подчеркнуть, что предыдущее тождество в целом не выполняется; предположение, что ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ добираться на работу важно.

Образ экспоненциального отображения всегда лежит в компонент идентичности из ${ displaystyle G}$.

Экспонента рядом с единицей

Экспоненциальная карта ${ displaystyle exp двоеточие { mathfrak {g}} to G}$ это гладкая карта. Его дифференциал в нуле, ${ displaystyle exp _ {*} двоеточие { mathfrak {g}} to { mathfrak {g}}}$, - тождественное отображение (с обычными отождествлениями).

Из теоремы об обратной функции следует, что экспоненциальное отображение, следовательно, ограничивается диффеоморфизм из некоторой окрестности 0 в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ в районе 1 в ${ displaystyle G}$.^[1]

Тогда нетрудно показать, что если грамм связан, каждый элемент грамм из грамм это товар экспонент элементов ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$:^[2]${ displaystyle g = exp (X_ {1}) exp (X_ {2}) cdots exp (X_ {n}), quad X_ {j} in { mathfrak {g}}}$.

Глобально экспоненциальное отображение не обязательно сюръективно. Кроме того, экспоненциальное отображение не может быть локальным диффеоморфизмом во всех точках. Например, экспоненциальная карта из ${ displaystyle { mathfrak {so}}}$(3) к ТАК (3) не является локальным диффеоморфизмом; смотрите также вырезать место об этой неудаче. Видеть производная экспоненциального отображения для дополнительной информации.

Сюръективность экспоненты

Известно, что в этих важных особых случаях экспоненциальное отображение всегда сюръективно:

• грамм связный и компактный,^[3]
• грамм связно и нильпотентно (например, грамм связные и абелевы), и
• ${ Displaystyle G = GL_ {п} ( mathbb {C})}$.^[4]

Для групп, не удовлетворяющих ни одному из вышеперечисленных условий, экспоненциальное отображение может быть или не быть сюръективным.

Образ экспоненциального отображения связной, но некомпактной группы SL₂(р) не вся группа. Его образ состоит из C-диагонализируемых матриц с положительными собственными значениями или с модулем 1, а также недиагонализуемых матриц с повторяющимся собственным значением 1 и матрицей ${ displaystyle -I}$. (Таким образом, изображение исключает матрицы с действительными отрицательными собственными значениями, кроме ${ displaystyle -I}$.)^[5]

Экспоненциальное отображение и гомоморфизмы

Позволять ${ displaystyle phi двоеточие G to H}$ - гомоморфизм групп Ли и пусть ${ displaystyle phi _ {*}}$ быть его производная при личности. Тогда следующая диаграмма ездит на работу:^[6]

В частности, применительно к сопряженное действие группы Ли ${ displaystyle G}$, поскольку ${ displaystyle operatorname {Ad} _ {*} = operatorname {ad}}$, у нас есть полезная личность:^[7]${ Displaystyle mathrm {Ad} _ { exp X} (Y) = exp ( mathrm {ad} _ {X}) (Y) = Y + [X, Y] + { frac {1} {2 !}} [X, [X, Y]] + { frac {1} {3!}} [X, [X, [X, Y]]] + cdots}$.

Логарифмические координаты

Учитывая группу Ли ${ displaystyle G}$ с алгеброй Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, каждый выбор основы ${ Displaystyle X_ {1}, точки, X_ {n}}$ из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ определяет систему координат около элемента идентичности е за грамм, следующее. Посредством теорема об обратной функции, экспоненциальное отображение ${ displaystyle operatorname {exp}: N { overset { sim} { to}} U}$ является диффеоморфизмом из некоторой окрестности ${ Displaystyle N подмножество { mathfrak {g}} simeq mathbb {R} ^ {n}}$ от происхождения до района ${ displaystyle U}$ из ${ displaystyle e in G}$. Его обратное:

${ displaystyle log: U { overset { sim} { to}} N subset mathbb {R} ^ {n}}$

тогда система координат на U. Он называется различными именами, такими как логарифмические координаты, экспоненциальные координаты или нормальные координаты. Видеть Теорема о замкнутой подгруппе # Обзор для примера того, как они используются в приложениях.

Замечание: Открытая крышка ${ displaystyle {Ug | g in G }}$ дает структуру вещественно-аналитическое многообразие к грамм так что групповая операция ${ Displaystyle (г, ч) mapsto gh ^ {- 1}}$ реально-аналитический.^[8]

Смотрите также

• Список экспоненциальных тем
• Производная экспоненциального отображения
• Матрица экспоненциальная

Цитаты

Процитированные работы