Прямое произведение групп - Direct product of groups

В математика особенно в теория групп, то прямой продукт это операция, которая занимает два группы $грамм$ и $ЧАС$ и создает новую группу, обычно обозначаемую $грамм \times ЧАС$ . Эта операция является теоретико-групповым аналогом Декартово произведение из наборы и является одним из нескольких важных понятий прямой продукт по математике.

В контексте абелевы группы, прямой продукт иногда называют прямая сумма, и обозначается ${displaystyle Goplus H}$ . Прямые суммы играют важную роль в классификации абелевых групп: согласно основная теорема конечных абелевых групп, каждая конечная абелева группа может быть выражена как прямая сумма циклические группы.

Определение

Данные группы $грамм$ (с операцией $*$ ) и $ЧАС$ (с операцией $∆$ ), прямой продукт $грамм \times ЧАС$ определяется следующим образом:

Базовым набором является декартово произведение, $грамм \times ЧАС$ . Это заказанные пары $(грамм, час)$ , куда $грамм \in грамм$ и $час \in ЧАС$ .
В бинарная операция на $грамм \times ЧАС$ определяется покомпонентно:
$(грамм 1, час 1) \cdot (грамм 2, час 2) = (грамм 1 * грамм 2, час 1 ∆ час 2)$

Полученный алгебраический объект удовлетворяет аксиомам группы. Конкретно:

Ассоциативность: Бинарная операция на $грамм \times ЧАС$ действительно ассоциативный.
Личность: У прямого продукта есть элемент идентичности, а именно $(1 грамм, 1 ЧАС)$ , куда $1 грамм$ является элементом идентичности $грамм$ и $1 ЧАС$ является элементом идентичности $ЧАС$ .
Перевернутые: В обратный элемента $(грамм, час)$ из $грамм \times ЧАС$ пара $(грамм -1, час -1)$ , куда $грамм -1$ является инверсией $грамм$ в $грамм$ , и $час -1$ является инверсией $час$ в $ЧАС$ .

Примеры

Позволять $р$ быть группой действительные числа под добавление. Тогда прямой продукт $р \times р$ группа всех двухкомпонентных векторов $(Икс, у)$ под управлением векторное сложение:

(Икс 1, у 1) + (Икс 2, у 2) = (Икс 1 + Икс 2, у 1 + у 2)

.

Позволять $р +$ быть группой положительные действительные числа при умножении. Тогда прямой продукт $р + \times р +$ - группа всех векторов в первом квадранте при операции покомпонентного умножения

(Икс 1, у 1) \times (Икс 2, у 2) = (Икс 1 \times Икс 2, у 1 \times у 2)

.

Позволять $грамм$ и $ЧАС$ быть циклические группы с двумя элементами каждый:

${displaystyle G}$
* е а
е е а
а а е
${displaystyle H}$
* е б
е е б
б б е

Тогда прямой продукт $грамм \times ЧАС$ является изоморфный к Кляйн четыре группы:

${displaystyle G imes H}$
*	(е, е)	(а, д)	(д, б)	(а, б)
(е, е)	(е, е)	(а, д)	(д, б)	(а, б)
(а, 1)	(а, 1)	(е, е)	(а, б)	(1, б)
(1, б)	(1, б)	(а, б)	(е, е)	(а, 1)
(а, б)	(а, б)	(д, б)	(а, 1)	(е, е)

Элементарные свойства

Прямое произведение коммутативно и ассоциативно с точностью до изоморфизма. То есть, $грамм \times ЧАС ≅ ЧАС \times грамм$ и $(грамм \times ЧАС) \times K ≅ грамм \times (ЧАС \times K)$ для любых групп $грамм$ , $ЧАС$ , и $K$ .
В порядок прямого продукта $грамм \times ЧАС$ это продукт заказов $грамм$ и $ЧАС$ :
$| грамм \times ЧАС | = | грамм | | ЧАС |$ .
Это следует из формулы для мощность декартова произведения множеств.
Порядок каждого элемента $(грамм, час)$ это наименьший общий множитель приказов $грамм$ и $час$ :^[1]
$| (грамм, час) | = lcm (| грамм |, | час |)$ .
В частности, если $| грамм |$ и $| час |$ находятся относительно простой, то порядок $(грамм, час)$ это продукт заказов $грамм$ и $час$ .
Как следствие, если $грамм$ и $ЧАС$ находятся циклические группы чьи порядки относительно простые, то $грамм \times ЧАС$ также является циклическим. То есть, если $м$ и $п$ относительно простые, то
$(Z / м Z) \times (Z / п Z) ≅ Z / мин Z$ .
Этот факт тесно связан с Китайская теорема об остатках.

Алгебраическая структура

Позволять $грамм$ и $ЧАС$ быть группами, пусть $п = грамм \times ЧАС$ , и рассмотрим следующие два подмножества из $п$ :

грамм' = { (грамм, 1) : грамм \in грамм}

и

ЧАС' = { (1, час) : час \in ЧАС}

.

Оба они на самом деле подгруппы из $п$ , первая изоморфна $грамм$ , а второй изоморфен $ЧАС$ . Если мы отождествим их с $грамм$ и $ЧАС$ соответственно, тогда мы можем думать о прямом произведении $п$ как содержащие исходные группы $грамм$ и $ЧАС$ как подгруппы.

Эти подгруппы $п$ обладают следующими тремя важными свойствами: (Еще раз повторяя, что мы идентифицируем $грамм'$ и $ЧАС'$ с $грамм$ и $ЧАС$ , соответственно.)

В пересечение $грамм \cap ЧАС$ является банальный.
Каждый элемент $п$ может быть однозначно выражена как произведение элемента $грамм$ и элемент $ЧАС$ .
Каждый элемент $грамм$ ездит на работу с каждым элементом $ЧАС$ .

Вместе эти три свойства полностью определяют алгебраическую структуру прямого произведения $п$ . То есть, если $п$ является любой группа, имеющая подгруппы $грамм$ и $ЧАС$ удовлетворяющие указанным выше свойствам, то $п$ обязательно изоморфно прямому произведению $грамм$ и $ЧАС$ . В этой ситуации, $п$ иногда называют внутренний прямой продукт своих подгрупп $грамм$ и $ЧАС$ .

В некоторых случаях третье свойство выше заменяется следующим:

3 ′. Обе

грамм

и

ЧАС

находятся нормальный в

п

.

Это свойство эквивалентно свойству 3, поскольку элементы двух нормальных подгрупп с тривиальным пересечением обязательно коммутируют, и этот факт можно вывести, рассматривая коммутатор $[грамм, час]$ любой $грамм$ в $грамм$ , $час$ в $ЧАС$ .

Примеры

Позволять $V$ быть Кляйн четыре группы:
$V$
∙ $1$ $а$ $б$ $c$
$1$ $1$ $а$ $б$ $c$
$а$ $а$ $1$ $c$ $б$
$б$ $б$ $c$ $1$ $а$
$c$ $c$ $б$ $а$ $1$
потом $V$ является внутренним прямым произведением двухэлементных подгрупп {1, а} и {1, б}.
Позволять ${displaystyle langle aangle}$ - циклическая группа порядка мин, куда м и п относительно просты. потом ${displaystyle langle a ^ {n} angle}$ и ${displaystyle langle a ^ {m} angle}$ циклические подгруппы порядков м и псоответственно и ${displaystyle langle aangle}$ является внутренним прямым произведением этих подгрупп.
Позволять $C \times$ - группа ненулевых сложные числа под умножение. потом $C \times$ является внутренним прямым продуктом круговая группа $Т$ единичных комплексных чисел и группы $р +$ из положительные действительные числа при умножении.
Если п странно, то общая линейная группа $GL (п, р)$ является внутренним прямым продуктом специальная линейная группа $SL (п, р)$ и подгруппа, состоящая из всех скалярные матрицы.
Аналогично, когда п странно ортогональная группа $O (п, р)$ является внутренним прямым произведением специальной ортогональной группы $ТАК(п, р)$ и двухэлементная подгруппа ${- я, я},$ куда $я$ обозначает единичная матрица.
В группа симметрии из куб является внутренним прямым произведением подгруппы вращений и двухэлементной группы ${- я, я},$ куда $я$ является элементом идентичности и $- я$ это точечное отражение через центр куба. Аналогичный факт верен для группы симметрии икосаэдр.
Позволять п быть нечетным, и пусть D_4п быть группа диэдра порядка 4п:
${displaystyle D_ {4n} = langle r, smid r ^ {2n} = s ^ {2} = 1, sr = r ^ {- 1} sangle.}$
Тогда D_4п является внутренним прямым произведением подгруппы ${displaystyle langle r ^ {2}, sangle}$ (который изоморфен D_2п) и двухэлементная подгруппа {1, р^п}.

Презентаций

Алгебраическая структура $грамм \times ЧАС$ можно использовать, чтобы дать презентация для прямого продукта с точки зрения презентаций $грамм$ и $ЧАС$ . В частности, предположим, что

{displaystyle G = langle S_ {G} mid R_ {G} angle}

и

{displaystyle H = langle S_ {H} mid R_ {H} angle,}

куда ${displaystyle S_ {G}}$ и ${displaystyle S_ {H}}$ являются (непересекающимися) генераторные установки и ${displaystyle R_ {G}}$ и ${displaystyle R_ {H}}$ определяют отношения. потом

{displaystyle G imes H = langle S_ {G} чашка S_ {H} mid R_ {G} чашка R_ {H} чашка R_ {P} угол}

куда ${displaystyle R_ {P}}$ набор отношений, определяющих, что каждый элемент ${displaystyle S_ {G}}$ коммутирует с каждым элементом ${displaystyle S_ {H}}$ .

Например, если

{displaystyle G = langle среди ^ {3} = 1angle}

и

{displaystyle H = langle bmid b ^ {5} = 1angle}

тогда

{displaystyle G imes H = langle a, bmid a ^ {3} = 1, b ^ {5} = 1, ab = baangle.}

Нормальная структура

Как упоминалось выше, подгруппы $грамм$ и $ЧАС$ нормальны в $грамм \times ЧАС$ . В частности, определите функции $π грамм : грамм \times ЧАС \to грамм$ и $π ЧАС : грамм \times ЧАС \to ЧАС$ к

π грамм (грамм, час) = грамм

и

π ЧАС (грамм, час) = час

.

потом $π грамм$ и $π ЧАС$ находятся гомоморфизмы, известный как проекция гомоморфизмы, ядра которого $ЧАС$ и $грамм$ , соответственно.

Следует, что $грамм \times ЧАС$ является расширение из $грамм$ к $ЧАС$ (или наоборот). В случае, когда $грамм \times ЧАС$ это конечная группа, следует, что факторы состава из $грамм \times ЧАС$ точно союз композиционных факторов $грамм$ и композиционные факторы $ЧАС$ .

Другие свойства

Универсальная собственность

Прямой продукт $грамм \times ЧАС$ можно охарактеризовать следующим универсальная собственность. Позволять $π грамм : грамм \times ЧАС \to грамм$ и $π ЧАС : грамм \times ЧАС \to ЧАС$ - проекционные гомоморфизмы. Тогда для любой группы $п$ и любые гомоморфизмы $ƒ грамм : п \to грамм$ и $ƒ ЧАС : п \to ЧАС$ существует единственный гомоморфизм $ƒ: п \to грамм \times ЧАС$ сделав следующую диаграмму ездить:

В частности, гомоморфизм $ƒ$ дается формулой

ƒ (п) = (ƒ грамм (п), ƒ ЧАС (п))

.

Это частный случай универсального свойства для продуктов в теория категорий.

Подгруппы

Если $А$ является подгруппой $грамм$ и $B$ является подгруппой $ЧАС$ , то прямое произведение $А \times B$ является подгруппой $грамм \times ЧАС$ . Например, изоморфная копия $грамм$ в $грамм \times ЧАС$ это продукт $грамм \times {1}$ , куда ${1}$ это банальный подгруппа $ЧАС$ .

Если $А$ и $B$ нормальные, то $А \times B$ нормальная подгруппа $грамм \times ЧАС$ . Более того, частное прямых произведений изоморфно прямому произведению частных:

(грамм \times ЧАС) / (А \times B) ≅ (грамм / А) \times (ЧАС / B)

.

Обратите внимание, что в общем случае неверно, что каждая подгруппа $грамм \times ЧАС$ является продуктом подгруппы $грамм$ с подгруппой $ЧАС$ . Например, если $грамм$ любая нетривиальная группа, то произведение $грамм \times грамм$ имеет диагональная подгруппа

Δ = {(грамм, грамм) : грамм \in грамм}

который не является прямым произведением двух подгрупп $грамм$ .

Подгруппы прямых продуктов описываются Лемма Гурса. Другие подгруппы включают продукты из волокна из $грамм$ и $ЧАС$ .

Сопряжение и централизаторы

Два элемента $(грамм 1, час 1)$ и $(грамм 2, час 2)$ находятся сопрягать в $грамм \times ЧАС$ если и только если $грамм 1$ и $грамм 2$ сопряжены в $грамм$ и $час 1$ и $час 2$ сопряжены в $ЧАС$ . Отсюда следует, что каждый класс сопряженности в $грамм \times ЧАС$ просто декартово произведение класса сопряженности в $грамм$ и класс сопряженности в $ЧАС$ .

Аналогично, если $(грамм, час) \in грамм \times ЧАС$ , то централизатор из $(грамм, час)$ просто продукт централизаторов $грамм$ и $час$ :

C грамм \times ЧАС (грамм, час)

=

C грамм (грамм) \times C ЧАС (час)

.

Точно так же центр из $грамм \times ЧАС$ это продукт центров $грамм$ и $ЧАС$ :

Z (грамм \times ЧАС)

=

Z (грамм) \times Z (ЧАС)

.

Нормализаторы ведут себя более сложным образом, поскольку не все подгруппы прямых продуктов сами разлагаются как прямые продукты.

Автоморфизмы и эндоморфизмы

Если $α$ является автоморфизм из $грамм$ и $β$ является автоморфизмом $ЧАС$ , то функция произведения $α \times β : грамм \times ЧАС \to грамм \times ЧАС$ определяется

(α \times β)(грамм, час) = (α (грамм), β (час))

является автоморфизмом $грамм \times ЧАС$ . Следует, что $Aut (грамм \times ЧАС)$ имеет подгруппу, изоморфную прямому произведению $Aut (грамм) \times Aut (ЧАС)$ .

В общем случае неверно, что всякий автоморфизм $грамм \times ЧАС$ имеет форму выше. (То есть, $Aut (грамм) \times Aut (ЧАС)$ часто является собственной подгруппой $Aut (грамм \times ЧАС)$ .) Например, если $грамм$ - любая группа, то существует автоморфизм $σ$ из $грамм \times грамм$ который переключает два фактора, т.е.

σ (грамм 1, грамм 2) = (грамм 2, грамм 1)

.

Другой пример: группа автоморфизмов $Z \times Z$ является $GL (2, Z)$ , группа всех $2 \times 2$ матрицы с целочисленными записями и детерминант, $\pm1$ . Эта группа автоморфизмов бесконечна, но только конечное число автоморфизмов имеет вид, указанный выше.

В общем, каждый эндоморфизм из $грамм \times ЧАС$ можно записать как $2 \times 2$ матрица

{displaystyle {egin {bmatrix} alpha & eta gamma & delta end {bmatrix}}}

куда $α$ является эндоморфизмом $грамм$ , $δ$ является эндоморфизмом $ЧАС$ , и $β : ЧАС \to грамм$ и $γ : грамм \to ЧАС$ являются гомоморфизмами. Такая матрица должна обладать тем свойством, что каждый элемент в изображение из $α$ коммутирует с каждым элементом изображения $β$ , и каждый элемент изображения $γ$ коммутирует с каждым элементом изображения $δ$ .

Когда грамм и ЧАС неразложимые бесцентровые группы, то группа автоморфизмов относительно прямолинейна, будучи Aut (грамм) × Aut (ЧАС) если грамм и ЧАС не изоморфны, и Aut (грамм) wr 2, если грамм ≅ ЧАС, wr обозначает венок. Это часть Теорема Крулля – Шмидта, и имеет место в более общем случае для конечных прямых произведений.

Обобщения

Конечные прямые продукты

Возможно прямое произведение сразу более чем двух групп. Учитывая конечную последовательность $грамм 1, ..., грамм п$ групп, прямой продукт

{displaystyle prod _ {i = 1} ^ {n} G_ {i}; =; G_ {1} imes G_ {2} imes cdots imes G_ {n}}

определяется следующим образом:

Элементы $грамм 1 \times \dots \times грамм п$ находятся кортежи $(грамм 1, \dots, грамм п)$ , куда $грамм я \in грамм я$ для каждого $я$ .
Операция на $грамм 1 \times \dots \times грамм п$ определяется покомпонентно:
$(грамм 1, \dots, грамм п)(грамм 1', \dots, грамм п')$ = $(грамм 1 грамм 1', \dots, грамм п грамм п')$ .

Он имеет многие из тех же свойств, что и прямое произведение двух групп, и может быть охарактеризован алгебраически аналогичным образом.

Бесконечные прямые продукты

Также можно взять прямое произведение бесконечного числа групп. Для бесконечной последовательности $грамм 1, грамм 2, \dots$ групп, это может быть определено так же, как конечное прямое произведение, указанное выше, с элементами бесконечного прямого произведения, являющимися бесконечными наборами.

В более общем плане, учитывая индексированная семья { $грамм я$ } $я \in я$ групп, прямой продукт $\prod я \in я грамм я$ определяется следующим образом:

Элементы $\prod я \in я грамм я$ элементы бесконечное декартово произведение наборов $грамм я$ ; т.е. функции $ƒ: я \to ⋃ я \in я грамм я$ со свойством, что $ƒ (я) \in грамм я$ для каждого $я$ .
Произведение двух элементов $ƒ, грамм$ определяется покомпонентно:
$(ƒ • грамм)(я)$ = $ƒ (я) • грамм (я)$ .

В отличие от конечного прямого произведения, бесконечное прямое произведение $\prod я \in я грамм я$ не порождается элементами изоморфных подгрупп { $грамм я$ } $я \in я$ . Вместо этого эти подгруппы создают подгруппу прямого продукта, известную как бесконечная прямая сумма, который состоит из всех элементов, которые имеют только конечное число неединичных компонентов.

Другие продукты

Полупрямые продукты

Напомним, что группа $п$ с подгруппами $грамм$ и $ЧАС$ изоморфна прямому произведению $грамм$ и $ЧАС$ при условии, что он удовлетворяет следующим трем условиям:

В пересечение $грамм \cap ЧАС$ является банальный.
Каждый элемент $п$ может быть однозначно выражена как произведение элемента $грамм$ и элемент $ЧАС$ .
Обе $грамм$ и $ЧАС$ находятся нормальный в $п$ .

А полупрямой продукт из $грамм$ и $ЧАС$ получается ослаблением третьего условия, так что только одна из двух подгрупп $грамм, ЧАС$ требуется, чтобы быть нормальным. Полученный продукт по-прежнему состоит из упорядоченных пар $(грамм, час)$ , но с немного более сложным правилом умножения.

Также можно полностью ослабить третье условие, требуя, чтобы ни одна из двух подгрупп не была нормальной. В этом случае группа $п$ называется Заппа – Сеп продукт из $грамм$ и $ЧАС$ .

Бесплатные товары

В бесплатный продукт из $грамм$ и $ЧАС$ , обычно обозначается $грамм * ЧАС$ , аналогична прямому произведению, за исключением того, что подгруппы $грамм$ и $ЧАС$ из $грамм * ЧАС$ не обязаны ездить на работу. То есть, если

грамм

=

〈 S грамм

|

р грамм 〉

и

ЧАС

=

〈 S ЧАС

|

р ЧАС 〉

,

презентации для $грамм$ и $ЧАС$ , тогда

грамм * ЧАС

=

〈 S грамм \cup S ЧАС

|

р грамм \cup р ЧАС 〉

.

В отличие от прямого продукта, элементы бесплатного продукта не могут быть представлены упорядоченными парами. Фактически, свободное произведение любых двух нетривиальных групп бесконечно. Бесплатный продукт на самом деле сопродукт в категория групп.

Подпрямые продукты

Если $грамм$ и $ЧАС$ группы, a подпрямой продукт из $грамм$ и $ЧАС$ любая подгруппа $грамм \times ЧАС$ который отображает сюръективно на $грамм$ и $ЧАС$ при проекционных гомоморфизмах. К Лемма Гурса, каждый подпрямой продукт представляет собой волокнистый продукт.

Продукты из волокна

Позволять $грамм$ , $ЧАС$ , и $Q$ быть группами, и пусть $φ : грамм \to Q$ и $χ : ЧАС \to Q$ быть гомоморфизмами. В волокнистый продукт из $грамм$ и $ЧАС$ над $Q$ , также известный как откат, является следующей подгруппой $грамм \times ЧАС$ :

грамм \times Q ЧАС

= {

(грамм, час) \in грамм \times ЧАС : φ (г) = χ (ч)

}.

Если $φ : грамм \to Q$ и $χ : ЧАС \to Q$ находятся эпиморфизмы, то это побочный продукт.

Прямое произведение групп - Direct product of groups

Содержание

Определение

Примеры

Элементарные свойства

Алгебраическая структура

Примеры

Презентаций

Нормальная структура

Другие свойства

Универсальная собственность

Подгруппы

Сопряжение и централизаторы

Автоморфизмы и эндоморфизмы

Обобщения

Конечные прямые продукты

Бесконечные прямые продукты

Другие продукты

Полупрямые продукты

Бесплатные товары

Подпрямые продукты

Продукты из волокна

Рекомендации

∙	$1$	$а$	$б$	$c$
$1$	$1$	$а$	$б$	$c$
$а$	$а$	$1$	$c$	$б$
$б$	$б$	$c$	$1$	$а$
$c$	$c$	$б$	$а$	$1$