Прямая сумма групп - Direct sum of groups

Эта статья может потребоваться переписан соответствовать требованиям Википедии стандарты качества, так как на странице обсуждения поднимается несколько вопросов. Ты можешь помочь. В страница обсуждения может содержать предложения. (Март 2013 г.)

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В математика, а группа грамм называется прямая сумма^[1][2] из двух подгруппы ЧАС₁ и ЧАС₂ если

• каждый ЧАС₁ и ЧАС₂ находятся нормальные подгруппы из грамм,
• подгруппы ЧАС₁ и ЧАС₂ имеют тривиальное пересечение (т.е. имея только элемент идентичности ${ displaystyle e}$ из грамм совместно),
• грамм = <ЧАС₁, ЧАС₂>; другими словами, грамм является генерируется по подгруппам ЧАС₁ и ЧАС₂.

В более общем смысле, грамм называется прямой суммой конечного множества подгруппы {ЧАС_я} если

• каждый ЧАС_я это нормальная подгруппа из грамм,
• каждый ЧАС_я имеет тривиальное пересечение с подгруппой <{ЧАС_j : j ≠ я}>,
• грамм = <{ЧАС_я}>; другими словами, грамм является генерируется подгруппами {ЧАС_я}.

Если грамм прямая сумма подгрупп ЧАС и K затем мы пишем грамм = ЧАС + K, и если грамм есть прямая сумма набора подгрупп {ЧАС_я} тогда мы часто пишем грамм = ∑ЧАС_я. Грубо говоря, прямая сумма изоморфный к слабому прямому произведению подгрупп.

В абстрактная алгебра, этот метод построения можно обобщить на прямые суммы векторные пространства, модули, и другие структуры; см. статью прямая сумма модулей для дополнительной информации.

Эта прямая сумма составляет коммутативный с точностью до изоморфизма. То есть, если грамм = ЧАС + K тогда также грамм = K + ЧАС и поэтому ЧАС + K = K + ЧАС. Это также ассоциативный в том смысле, что если грамм = ЧАС + K, и K = L + M, тогда грамм = ЧАС + (L + M) = ЧАС + L + M.

Группа, которую можно выразить как прямую сумму нетривиальных подгрупп, называется разложимый, а если группу нельзя выразить такой прямой суммой, то она называется неразложимый.

Если грамм = ЧАС + K, то можно доказать, что:

• для всех час в ЧАС, k в Kу нас есть это час*k = k*час
• для всех грамм в граммсуществует уникальный час в ЧАС, k в K такой, что грамм = час*k
• Имеется списание суммы по частному; так что (ЧАС + K)/K изоморфен ЧАС

Приведенные выше утверждения можно обобщить на случай грамм = ∑ЧАС_я, куда {ЧАС_я} - конечный набор подгрупп:

• если я ≠ j, то для всех час_я в ЧАС_я, час_j в ЧАС_jу нас есть это час_я*час_j = час_j*час_я
• для каждого грамм в грамм, существует уникальный набор элементов час_я в ЧАС_я такой, что

грамм = час₁*час₂* ... * час_я * ... * час_п

• Имеется списание суммы по частному; так что ((∑ЧАС_я) + K)/K изоморфна ∑ЧАС_я

Обратите внимание на сходство с прямой продукт, где каждый грамм можно однозначно выразить как

грамм = (час₁,час₂, ..., час_я, ..., час_п).

С час_я*час_j = час_j*час_я для всех я ≠ j, то умножение элементов прямой суммы изоморфно умножению соответствующих элементов в прямом произведении; таким образом, для конечных множеств подгруппЧАС_я изоморфна прямому произведению × {ЧАС_я}.

Прямое слагаемое

Учитывая группу ${ displaystyle G}$, мы говорим, что подгруппа ${ displaystyle H}$ это прямое слагаемое из ${ displaystyle G}$ если существует другая подгруппа ${ displaystyle K}$ из ${ displaystyle G}$ такой, что ${ Displaystyle G = H + K}$.

В абелевых группах, если ${ displaystyle H}$ это делимая подгруппа из ${ displaystyle G}$, тогда ${ displaystyle H}$ является прямым слагаемым ${ displaystyle G}$.

Примеры

• Если мы возьмем ${ Displaystyle G = prod _ {я in I} H_ {я}}$ ясно, что ${ displaystyle G}$ является прямым произведением подгрупп ${ displaystyle H_ {i_ {0}} times prod _ {i not = i_ {0}} H_ {i}}$.

• Если ${ displaystyle H}$ это делимая подгруппа абелевой группы ${ displaystyle G}$ тогда существует другая подгруппа ${ displaystyle K}$ из ${ displaystyle G}$ такой, что ${ displaystyle G = K + H}$.
• Если ${ displaystyle G}$ также есть векторное пространство структура тогда ${ displaystyle G}$ можно записать как прямую сумму ${ Displaystyle mathbb {R}}$ и другое подпространство ${ displaystyle K}$ который будет изоморфен частному ${ Displaystyle G / K}$.

Эквивалентность разложений в прямые суммы

При разложении конечной группы в прямую сумму неразложимых подгрупп вложение подгрупп неоднозначно. Например, в Кляйн группа ${ Displaystyle V_ {4} cong C_ {2} times C_ {2}}$ у нас есть это

${ Displaystyle V_ {4} = langle (0,1) rangle + langle (1,0) rangle,}$ и

${ Displaystyle V_ {4} = langle (1,1) rangle + langle (1,0) rangle.}$

Тем не менее Теорема Ремака-Крулля-Шмидта заявляет, что с учетом конечный группа грамм = ∑А_я = ∑B_j, где каждый А_я и каждый B_j является нетривиальным и неразложимым, две суммы имеют равные члены с точностью до переупорядочения и изоморфизма.

Теорема Ремака-Крулля-Шмидта неверна для бесконечных групп; так что в случае бесконечного грамм = ЧАС + K = L + M, даже когда все подгруппы нетривиальны и неразложимы, мы не можем заключить, что ЧАС изоморфен либо L или же M.

Обобщение на суммы по бесконечным множествам

Для описания вышеуказанных свойств в случае, когда грамм представляет собой прямую сумму бесконечного (возможно, бесчисленного) набора подгрупп, требуется больше внимания.

Если грамм является элементом декартово произведение ∏{ЧАС_я} набора групп, пусть грамм_я быть яй элемент грамм в продукте. В внешняя прямая сумма набора групп {ЧАС_я} (записывается как ∑_E{ЧАС_я}) является подмножеством ∏ {ЧАС_я}, где для каждого элемента грамм из ∑_E{ЧАС_я}, грамм_я это личность ${ displaystyle e_ {H_ {i}}}$ для всех, кроме конечного числа грамм_я (эквивалентно, только конечное число грамм_я не тож). Групповая операция во внешней прямой сумме - это поточечное умножение, как и в обычном прямом произведении.

Это подмножество действительно образует группу, и для конечного набора групп {ЧАС_я} внешняя прямая сумма равна прямому произведению.

Если грамм = ∑ЧАС_я, тогда грамм изоморфна ∑_E{ЧАС_я}. Таким образом, в определенном смысле прямая сумма является «внутренней» внешней прямой суммой. Для каждого элемента грамм в грамм, существует единственное конечное множество S и уникальный набор {час_я ∈ ЧАС_я : я ∈ S} такой, что грамм = ∏ {час_я : я в S}.

Смотрите также

• Прямая сумма
• Копродукт
• Бесплатный продукт
• Прямая сумма топологических групп

Рекомендации