Теория представлений группы Пуанкаре - Representation theory of the Poincaré group

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Ноябрь 2019) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный грамм2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

H Пуанкаре

В математика, теория представлений Группа Пуанкаре является примером теория представлений из Группа Ли это ни компактная группа ни полупростая группа. Это фундаментально в теоретическая физика.

В физической теории, имеющей Пространство Минковского в качестве основного пространство-время, пространство физических состояний обычно является представлением группы Пуанкаре. (В более общем смысле это может быть проективное представление, что составляет представление двойная крышка группы.)

В классическая теория поля, физические состояния являются сечениями пуанкаре-эквивариантной векторный набор над пространством Минковского. Условие эквивариантности означает, что группа действует на тотальном пространстве векторного расслоения, а проекция на пространство Минковского является эквивариантное отображение. Следовательно, группа Пуанкаре действует и на пространстве сечений. Возникающие таким образом представления (и их подфакторы) называются ковариантными представлениями поля и обычно не являются унитарными.

Для обсуждения таких унитарные представления, видеть Классификация Вигнера.

В квантовой механике состояние системы определяется уравнением Шредингера, которое инвариантен при преобразованиях Галилея. Квантовая теория поля - это релятивистское расширение квантовой механики, где релятивистские (инвариантные Лоренца / Пуанкаре) волновые уравнения решаются, «квантуются» и действуют в гильбертовом пространстве, составленном из фоковских состояний; собственные состояния гамильтониана теории, которые представляют собой состояния с определенным числом частиц с индивидуальным 4-импульсом.

Не существует конечных унитарных представлений полных преобразований Лоренца (и, следовательно, Пуанкаре) из-за некомпактной природы бустов Лоренца (вращения в пространстве Минковского вдоль оси пространства и времени). Однако существуют конечные неунитарные неразложимые представления алгебры Пуанкаре, которые можно использовать для моделирования нестабильных частиц.^[1][2]

В случае частиц со спином 1/2 можно найти конструкцию, которая включает в себя как конечномерное представление, так и скалярное произведение, сохраняемое этим представлением, путем сопоставления 4-компонентного Спинор Дирака ${ displaystyle psi}$ с каждой частицей. Эти спиноры преобразуются при преобразованиях Лоренца, порожденных гамма-матрицы (${ displaystyle gamma _ { mu}}$). Можно показать, что скалярное произведение

${ Displaystyle langle psi | phi rangle = { bar { psi}} phi = psi ^ { dagger} gamma _ {0} phi}$

сохраняется. Однако оно не является положительно определенным, поэтому представление не унитарно.

Рекомендации

• Greiner, W .; Мюллер, Б. (1994). Квантовая механика: симметрии (2-е изд.). Springer. ISBN  978-3540580805.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Грейнер, В.; Рейнхардт, Дж. (1996), Квантование поля, Спрингер, ISBN  978-3-540-59179-5
• Хариш-Чандра (1947), "Бесконечные неприводимые представления группы Лоренца", Proc. Рой. Soc. А, 189 (1018): 372–401, Bibcode:1947RSPSA.189..372H, Дои:10.1098 / RSPA.1947.0047
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, Дои:10.1007/978-3-319-13467-3, ISBN  978-3319134666, ISSN  0072-5285
• Вигнер, Э. (1939), «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца», Анналы математики, 40 (1): 149–204, Bibcode:1939AnMat..40..149W, Дои:10.2307/1968551, JSTOR  1968551, МИСТЕР  1503456.

Примечания

Смотрите также

• Классификация Вигнера
• Теория представлений группы Лоренца
• Теория представлений галилеевой группы
• Теория представлений групп диффеоморфизмов
• Физика элементарных частиц и теория представлений
• Симметрия в квантовой механике
• Центр масс (релятивистский)