Группа Коксетера - Coxeter group

В математика, а Группа Коксетера, названный в честь Х. С. М. Коксетер, является абстрактная группа который допускает формальное описание с точки зрения размышления (или же калейдоскопические зеркала ). В самом деле, конечные группы Кокстера - это в точности конечные евклидовы группы. группы отражения; в группы симметрии из правильные многогранники являются примером. Однако не все группы Кокстера конечны, и не все могут быть описаны в терминах симметрии и евклидовы размышления. Были введены группы Кокстера (Коксетер 1934 ) как абстракции групп отражений, а конечные группы Кокстера были классифицированы в 1935 г. (Кокстер 1935 ).

Группы Кокстера находят применение во многих областях математики. Примеры конечных групп Кокстера включают группы симметрии правильные многогранники, а Группы Вейля из простые алгебры Ли. Примеры бесконечных групп Кокстера включают группы треугольников соответствующий регулярные мозаики из Евклидова плоскость и гиперболическая плоскость, и группы Вейля бесконечномерных Алгебры Каца – Муди.

Стандартные ссылки включают (Хамфрис 1992 ) и (Дэвис 2007 ).

Определение

Формально Группа Коксетера можно определить как группа с презентация

{ displaystyle left langle r_ {1}, r_ {2}, ldots, r_ {n} mid (r_ {i} r_ {j}) ^ {m_ {ij}} = 1 right rangle}

куда ${ displaystyle m_ {ii} = 1}$ и ${ displaystyle m_ {ij} geq 2}$ за ${ displaystyle i neq j}$ .Условие ${ displaystyle m_ {ij} = infty}$ означает отсутствие отношения формы ${ displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {m}}$ должны быть навязаны.

Пара ${ displaystyle (W, S)}$ куда ${ displaystyle W}$ группа Кокстера с образующими ${ Displaystyle S = {r_ {1}, dots, r_ {n} }}$ называется Система Кокстера. Обратите внимание, что в целом ${ displaystyle S}$ является нет однозначно определяется ${ displaystyle W}$ . Например, группы Кокстера типа ${ displaystyle B_ {3}}$ и ${ displaystyle A_ {1} times A_ {3}}$ изоморфны, но системы Кокстера не эквивалентны (объяснение этих обозначений см. ниже).

Из приведенного выше определения можно сразу сделать ряд выводов.

Соотношение ${ displaystyle m_ {ii} = 1}$ Значит это ${ Displaystyle (г_ {я} г_ {я}) ^ {1} = (г_ {я}) ^ {2} = 1}$ для всех ${ displaystyle i}$ ; как таковые генераторы инволюции.
Если ${ displaystyle m_ {ij} = 2}$ , то генераторы ${ displaystyle r_ {i}}$ и ${ displaystyle r_ {j}}$ ездить. Это следует из того, что

{ displaystyle xx = yy = 1}

,

вместе с

{ displaystyle xyxy = 1}

подразумевает, что

{ Displaystyle xy = x (xyxy) y = (xx) yx (yy) = yx}

.

В качестве альтернативы, поскольку генераторы являются инволюциями,

{ displaystyle r_ {i} = r_ {i} ^ {- 1}}

, так

{ displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {2} = r_ {i} r_ {j} r_ {i} r_ {j} = r_ {i} r_ {j} r_ {i} ^ {- 1} r_ {j} ^ {- 1}}

, а значит, равна коммутатор.

Во избежание дублирования отношений необходимо предположить, что ${ displaystyle m_ {ij} = m_ {ji}}$ . Это следует из того, что

{ displaystyle yy = 1}

,

вместе с

{ Displaystyle (ху) ^ {м} = 1}

подразумевает, что

{ Displaystyle (yx) ^ {m} = (yx) ^ {m} yy = y (xy) ^ {m} y = yy = 1}

.

В качестве альтернативы,

{ Displaystyle (ху) ^ {к}}

и

{ displaystyle (yx) ^ {k}}

находятся сопряженные элементы, так как

{ displaystyle y (ху) ^ {k} y ^ {- 1} = (yx) ^ {k} yy ^ {- 1} = (yx) ^ {k}}

.

Матрица Кокстера и матрица Шлефли

В Матрица Кокстера это ${ Displaystyle п раз п}$ , симметричная матрица с записями ${ displaystyle m_ {ij}}$ . В самом деле, любая симметричная матрица с диагональными элементами, состоящими исключительно из 1, и недиагональными элементами в множестве ${ Displaystyle {2,3, ldots } чашка { infty }}$ является матрицей Кокстера.

Матрицу Кокстера удобно закодировать с помощью Диаграмма Кокстера, согласно следующим правилам.

Вершины графа помечены индексами генератора.
Вершины ${ displaystyle i}$ и ${ displaystyle j}$ смежны тогда и только тогда, когда ${ displaystyle m_ {ij} geq 3}$ .
Ребро помечено значением ${ displaystyle m_ {ij}}$ всякий раз, когда значение ${ displaystyle 4}$ или выше.

В частности, два генератора ездить тогда и только тогда, когда они не соединены ребром. Кроме того, если граф Кокстера имеет два или более связанные компоненты ассоциированной группой является прямой продукт групп, связанных с отдельными компонентами. несвязный союз графов Кокстера дает прямой продукт групп Кокстера.

Матрица Кокстера, ${ displaystyle M_ {ij}}$ , относится к ${ Displaystyle п раз п}$ Матрица Шлефли ${ displaystyle C}$ с записями ${ Displaystyle C_ {ij} = - 2 соз ( pi / M_ {ij})}$ , но элементы изменяются, будучи пропорциональными скалярное произведение парных образующих. Матрица Шлефли полезна, потому что она собственные значения определить, принадлежит ли группа Кокстера конечный тип (все положительно), аффинный тип (все неотрицательные, хотя бы один ноль), или неопределенный тип (иначе). Неопределенный тип иногда дополнительно подразделяется, например на гиперболические и другие группы Кокстера. Однако существует несколько неэквивалентных определений гиперболических групп Кокстера.

Примеры
Группа Коксетера	А₁× А₁	А₂	B₂	ЧАС₂	грамм₂	${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$	А₃	B₃	D₄	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$
Диаграмма Кокстера
Матрица Кокстера	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 2 2 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 3 3 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 4 4 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 5 5 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 6 6 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & infty infty & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 3 & 2 3 & 1 & 3 2 & 3 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 4 & 2 4 & 1 & 3 2 & 3 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 3 & 2 & 2 3 & 1 & 3 & 3 2 & 3 & 1 & 2 2 & 3 & 2 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 3 & 2 & 3 3 & 1 & 3 & 2 2 & 3 & 1 & 3 3 & 2 & 3 & 1 end {smallmatrix}} right]}$
Матрица Шлефли	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & 0 0 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} , 2 & -1 - 1 & , 2 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} , 2 & - { sqrt {2}} - { sqrt {2}} & , 2 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} , 2 & - phi - phi & , 2 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} , 2 & - { sqrt {3}} - { sqrt {3}} & , 2 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} , 2 & -2 - 2 & , 2 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} , 2 & -1 & , 0 - 1 & , 2 & -1 , 0 & -1 & , 2 end {smallmatrix}} верно]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} , 2 & - { sqrt {2}} & , 0 - { sqrt {2}} & , 2 & -1 , 0 & , - 1 & , 2 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} , 2 & -1 & , 0 & , 0 - 1 & , 2 & -1 & -1 , 0 & -1 & , 2 & , 0 , 0 & -1 & , 0 & , 2 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} , 2 & -1 & , 0 & -1 - 1 & , 2 & -1 & , 0 , 0 & -1 & , 2 & -1 - 1 & , 0 & -1 & , 2 end {smallmatrix}} right]}$

Пример

График ${ displaystyle A_ {n}}$ в котором вершины 1 через п помещаются в ряд, каждая вершина которого соединена непомеченным край ближайшим соседям дает начало симметричная группа S_п+1; в генераторы соответствуют транспозиции (1 2), (2 3), ... , (п п+1). Две непоследовательные транспозиции всегда коммутируют, а (k k+1) (k+1 k+2) дает 3-цикл (k k+2 k+1). Конечно, это показывает только то, что S_{п + 1} это факторгруппа группы Кокстера, описываемой графом, но проверить равенство несложно.

Связь с группами отражений

Группы Кокстера глубоко связаны с группы отражения. Проще говоря, группы Кокстера - это Абстрактные группы (предоставленные через презентацию), а группы отражения конкретный группы (заданные как подгруппы линейные группы или различные обобщения). Группы Кокстера выросли из изучения групп отражений - они представляют собой абстракцию: группа отражений - это подгруппа линейной группы, порожденной отражениями (которые имеют порядок 2), а группа Кокстера - это абстрактная группа, порожденная инволюциями (элементами порядок 2, абстрагируясь от размышлений), отношения которых имеют определенную форму ( ${ displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {k}}$ , соответствующий гиперплоскости встреча под углом ${ displaystyle pi / k}$ , с ${ displaystyle r_ {i} r_ {j}}$ в порядке k абстрагирование от ротации ${ displaystyle 2 pi / k}$ ).

Абстрактная группа группы отражений - это группа Кокстера, тогда как группа отражений, наоборот, может рассматриваться как линейное представление группы Кокстера. За конечный группы отражений, это дает точное соответствие: каждая конечная группа Кокстера допускает точное представление в виде конечной группы отражений некоторого евклидова пространства. Однако для бесконечных групп Кокстера группа Кокстера может не допускать представления в качестве группы отражений.

Исторически (Коксетер 1934 ) доказал, что каждая группа отражений является группой Кокстера (т.е. имеет представление, в котором все отношения имеют вид ${ displaystyle r_ {i} ^ {2}}$ или же ${ displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {k}}$ ), и в этой статье действительно введено понятие группы Кокстера, а (Кокстер 1935 ) доказал, что каждая конечная группа Кокстера имеет представление как группа отражений, и классифицировал конечные группы Кокстера.

Конечные группы Кокстера

Графы Кокстера конечных групп Кокстера.

Классификация

Конечные группы Кокстера были классифицированы в (Кокстер 1935 ), с точки зрения Диаграммы Кокстера – Дынкина; все они представлены группы отражения конечномерных евклидовых пространств.

Конечные группы Кокстера состоят из трех однопараметрических семейств возрастающего ранга ${ displaystyle A_ {n}, B_ {n}, D_ {n},}$ одно однопараметрическое семейство размерности два, ${ displaystyle I_ {2} (p),}$ и шесть исключительный группы: ${ displaystyle E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}, F_ {4}, H_ {3},}$ и ${ displaystyle H_ {4}}$ . Произведение конечного числа групп Кокстера в этом списке снова является группой Кокстера, и все конечные группы Кокстера возникают таким образом.

Группы Вейля

Многие, но не все из них, являются группами Вейля, и все Группа Вейля может быть реализована как группа Кокстера. Группы Вейля - это семейства ${ displaystyle A_ {n}, B_ {n},}$ и ${ displaystyle D_ {n},}$ и исключения ${ displaystyle E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}, F_ {4},}$ и ${ displaystyle I_ {2} (6),}$ обозначается в обозначениях группы Вейля как ${ displaystyle G_ {2}.}$ Не-Вейлевские группы являются исключением. ${ displaystyle H_ {3}}$ и ${ displaystyle H_ {4},}$ и семья ${ displaystyle I_ {2} (p)}$ кроме случаев, когда это совпадает с одной из групп Вейля (а именно ${ Displaystyle I_ {2} (3) cong A_ {2}, I_ {2} (4) cong B_ {2},}$ и ${ Displaystyle I_ {2} (6) cong G_ {2}}$ ).

Это можно доказать, сравнив ограничения на (ненаправленные) Диаграммы Дынкина с ограничениями на диаграммы Кокстера конечных групп: формально Граф Кокстера можно получить из Диаграмма Дынкина отбрасывая направление ребер и заменяя каждое двойное ребро ребром с меткой 4, а каждое тройное ребро - ребром с меткой 6. Также обратите внимание, что каждая конечно порожденная группа Кокстера является автоматическая группа.^[1] Диаграммы Дынкина имеют дополнительное ограничение, заключающееся в том, что разрешены только метки ребер 2, 3, 4 и 6, что дает указанное выше. Геометрически это соответствует кристаллографическая теорема ограничения, а тот факт, что исключенные многогранники не заполняют пространство и не мозаичны плоскость - для ${ displaystyle H_ {3},}$ додекаэдр (дуально, икосаэдр) не заполняет пространство; за ${ displaystyle H_ {4},}$ 120-ячеечная (двойная 600-ячеечная) не заполняет пространство; за ${ displaystyle I_ {2} (p)}$ а п-gon не перекрывает плоскость, кроме ${ Displaystyle p = 3,4,}$ или же ${ displaystyle 6}$ (треугольные, квадратные и шестиугольные мозаики соответственно).

Отметим далее, что (направленные) диаграммы Дынкина B_п и C_п дают начало той же группе Вейля (следовательно, группа Кокстера), потому что они различаются как направленный графики, но согласны как ненаправленный графики - направление имеет значение для корневых систем, но не для группы Вейля; это соответствует гиперкуб и кросс-многогранник являются разными правильными многогранниками, но имеют одну и ту же группу симметрии.

Характеристики

Некоторые свойства конечных неприводимых групп Кокстера приведены в следующей таблице. Порядок приводимых групп может быть вычислен произведением порядков их неприводимых подгрупп.

Классифицировать п	Группа символ	Альтернативный символ	скобка обозначение	Coxeter график	Размышления м = ¹⁄₂н^[2]	Число Кокстера час	Заказ	Структура группы^[3]	Связанный многогранники
1	А₁	А₁	[ ]		1	2	2	${ displaystyle S_ {2}}$	{ }
2	А₂	А₂	[3]		3	3	6	${ displaystyle S_ {3} cong D_ {6} cong operatorname {GO} _ {2} ^ {-} (2) cong operatorname {GO} _ {2} ^ {+} (4)}$	{3}
3	А₃	А₃	[3,3]		6	4	24	${ displaystyle S_ {4}}$	{3,3}
4	А₄	А₄	[3,3,3]		10	5	120	${ displaystyle S_ {5}}$	{3,3,3}
5	А₅	А₅	[3,3,3,3]		15	6	720	${ displaystyle S_ {6}}$	{3,3,3,3}
п	А_п	А_п	[3^п−1]	...	п(п + 1)/2	п + 1	(п + 1)!	${ displaystyle S_ {n + 1}}$	п-суплекс
2	B₂	C₂	[4]		4	4	8	${ displaystyle C_ {2} wr S_ {2} cong D_ {8} cong operatorname {GO} _ {2} ^ {-} (3) cong operatorname {GO} _ {2} ^ { +} (5)}$	{4}
3	B₃	C₃	[4,3]		9	6	48	${ Displaystyle C_ {2} wr S_ {3} cong S_ {4} times 2}$	{4,3} / {3,4}
4	B₄	C₄	[4,3,3]		16	8	384	${ Displaystyle C_ {2} wr S_ {4}}$	-{4,3,3} / {3,3,4}
5	B₅	C₅	[4,3,3,3]		25	10	3840	${ Displaystyle C_ {2} wr S_ {5}}$	{4,3,3,3} / {3,3,3,4}
п	B_п	C_п	[4,3^п−2]	...	п²	2п	2^п п!	${ Displaystyle C_ {2} wr S_ {n}}$	п-куб / п-ортоплекс
4	D₄	B₄	[3^1,1,1]		12	6	192	${ displaystyle C_ {2} ^ {3} S_ {4} cong 2 ^ {1 + 4} двоеточие S_ {3}}$	ч {4,3,3} / {3,3^1,1}
5	D₅	B₅	[3^2,1,1]		20	8	1920	${ displaystyle C_ {2} ^ {4} S_ {5}}$	ч {4,3,3,3} / {3,3,3^1,1}
п	D_п	B_п	[3^п−3,1,1]	...	п(п − 1)	2(п − 1)	2^п−1 п!	${ Displaystyle C_ {2} ^ {n-1} S_ {n}}$	п-demicube / п-ортоплекс
6	E₆	E₆	[3^2,2,1]		36	12	51840 (72x6!)	${ displaystyle operatorname {GO} _ {6} ^ {-} (2) cong operatorname {SO} _ {5} (3) cong operatorname {PSp} _ {4} (3) двоеточие 2 cong operatorname {PSU} _ {4} (2) двоеточие 2}$	2₂₁, 1₂₂
7	E₇	E₇	[3^3,2,1]		63	18	2903040 (72х8!)	${ displaystyle operatorname {GO} _ {7} (2) times 2 cong operatorname {Sp} _ {6} (2) times 2}$	3₂₁, 2₃₁, 1₃₂
8	E₈	E₈	[3^4,2,1]		120	30	696729600 (192x10!)	${ displaystyle 2 cdot operatorname {GO} _ {8} ^ {+} (2)}$	4₂₁, 2₄₁, 1₄₂
4	F₄	F₄	[3,4,3]		24	12	1152	${ displaystyle operatorname {GO} _ {4} ^ {+} (3) cong 2 ^ {1 + 4} двоеточие (S_ {3} times S_ {3})}$	{3,4,3}
2	грамм₂	– (D⁶ ₂)	[6]		6	6	12	${ displaystyle D_ {12} cong operatorname {GO} _ {2} ^ {-} (5) cong operatorname {GO} _ {2} ^ {+} (7)}$	{6}
2	ЧАС₂	грамм₂	[5]		5	5	10	${ displaystyle D_ {10} cong operatorname {GO} _ {2} ^ {-} (4)}$	{5}
3	ЧАС₃	грамм₃	[3,5]		15	10	120	${ displaystyle 2 times A_ {5}}$	{3,5} / {5,3}
4	ЧАС₄	грамм₄	[3,3,5]		60	30	14400	${ displaystyle 2 cdot (A_ {5} times A_ {5}) двоеточие 2}$ ^[а]	{5,3,3} / {3,3,5}
2	я₂(п)	D^п ₂	[п]		п	п	2п	${ displaystyle D_ {2n}}$ ${ displaystyle cong operatorname {GO} _ {2} ^ {-} (n-1)}$ когда п = п^k + 1, п основной ${ displaystyle cong operatorname {GO} _ {2} ^ {+} (n + 1)}$ когда п = п^k − 1, п основной	{п}

Группы симметрий правильных многогранников

Все группы симметрии из правильные многогранники конечные группы Кокстера. Обратите внимание, что двойственные многогранники имеют одинаковую группу симметрии.

Есть три серии правильных многогранников во всех измерениях. Группа симметрии регулярного п-симплекс это симметричная группа S_п+1, также известная как группа Кокстера типа А_п. Группа симметрии п-куб и его двойственный, п-кросс-многогранник, является B_п, и известен как гипероктаэдрическая группа.

Исключительные регулярные многогранники в размерностях два, три и четыре соответствуют другим группам Кокстера. В двух измерениях диэдральные группы, которые являются группами симметрии правильные многоугольники, образуют серию я₂(п). В трех измерениях группа симметрии регулярного додекаэдр и его двойственный, обычный икосаэдр, является ЧАС₃, известный как полная группа икосаэдра. В четырех измерениях есть три специальных правильных многогранника: 24-элементный, то 120 ячеек, а 600 ячеек. Первый имеет группу симметрии F₄, а два других двойственны и имеют группу симметрии ЧАС₄.

Группы типа Кокстера D_п, E₆, E₇, и E₈ группы симметрии некоторых полуправильные многогранники.

Таблица семейств неприводимых многогранников

Семья
п

1_k2

2_k1

k₂₁

пятиугольный многогранник

Группа

А_п

B_п

я₂(п)

D_п

E₆

E₇

E₈

F₄

грамм₂

ЧАС_п

2

Треугольник

Квадрат

п-угольник
(пример: р = 7 )

1₂₂

2₂₁

1₃₂

2₃₁

3₂₁

1₄₂

2₄₁

4₂₁

Аффинные группы Кокстера

Диаграммы Кокстера для аффинных групп Кокстера

Диаграмма Штифеля для

{ displaystyle G_ {2}}

корневая система

В аффинные группы Кокстера образуют вторую важную серию групп Кокстера. Сами по себе они не конечны, но каждый содержит нормальный абелевский подгруппа такие, что соответствующие факторгруппа конечно. В каждом случае фактор-группа сама является группой Кокстера, а граф Кокстера аффинной группы Кокстера получается из графа Кокстера фактор-группы путем добавления еще одной вершины и одного или двух дополнительных ребер. Например, для п ≥ 2 граф, состоящий из п+1 вершина в круге получается из А_п таким образом, и соответствующая группа Кокстера является аффинной группой Вейля А_п. За п = 2, это можно представить как подгруппу группы симметрии стандартного замощения плоскости равносторонними треугольниками.

В общем, по корневой системе можно построить ассоциированный Штифель диаграмма, состоящий из гиперплоскостей, ортогональных корням, вместе с некоторыми переносами этих гиперплоскостей. Аффинная группа Кокстера (или аффинная группа Вейля) тогда является группой, порожденной (аффинными) отражениями обо всех гиперплоскостях на диаграмме.^[4] Диаграмма Штифеля делит плоскость на бесконечное множество компонент связности, называемых альковы, а аффинная группа Кокстера действует свободно и транзитивно на альковах, так же как обычная группа Вейля действует свободно и транзитивно на камеры Вейля. На рисунке справа показана диаграмма Штифеля для ${ displaystyle G_ {2}}$ корневая система.

Предполагать ${ displaystyle R}$ неприводимая корневая система ранга ${ displaystyle r> 1}$ и разреши ${ displaystyle alpha _ {1}, ldots, alpha _ {r}}$ быть набором простых корней. Пусть также ${ Displaystyle альфа _ {г + 1}}$ обозначают наивысший корень. Тогда аффинная группа Кокстера порождается обычными (линейными) отражениями о гиперплоскостях, перпендикулярных к ${ displaystyle alpha _ {1}, ldots, alpha _ {r}}$ , вместе с аффинным отражением относительно сдвига гиперплоскости, перпендикулярной ${ Displaystyle альфа _ {г + 1}}$ . Граф Кокстера для аффинной группы Вейля - это диаграмма Кокстера – Дынкина для ${ displaystyle R}$ вместе с одним дополнительным узлом, связанным с ${ Displaystyle альфа _ {г + 1}}$ . В этом случае одну нишу на диаграмме Штифеля можно получить, взяв фундаментальную камеру Вейля и разрезав ее путем сдвига гиперплоскости, перпендикулярной к ${ Displaystyle альфа _ {г + 1}}$ .^[5]

Список аффинных групп Кокстера следующий:

Группа символ	Витт символ	Обозначение скобок	Coxeter график	Связанная единообразная тесселяция
${ displaystyle { tilde {A}} _ {n}}$	${ displaystyle P_ {n + 1}}$	[3^[п]]	... или же ...	Простые соты
${ displaystyle { tilde {B}} _ {n}}$	${ displaystyle S_ {n + 1}}$	[4,3^{п − 3},3^1,1]	...	Полугиперкубические соты
${ displaystyle { tilde {C}} _ {n}}$	${ displaystyle R_ {n + 1}}$	[4,3^п−2,4]	...	Гиперкубические соты
${ displaystyle { tilde {D}} _ {n}}$	${ displaystyle Q_ {n + 1}}$	[ 3^1,1,3^п−4,3^1,1]	...	Полугиперкубические соты
${ displaystyle { tilde {E}} _ {6}}$	${ displaystyle T_ {7}}$	[3^2,2,2]	или же	2₂₂
${ displaystyle { tilde {E}} _ {7}}$	${ displaystyle T_ {8}}$	[3^3,3,1]	или же	3₃₁, 1₃₃
${ displaystyle { tilde {E}} _ {8}}$	${ displaystyle T_ {9}}$	[3^5,2,1]		5₂₁, 2₅₁, 1₅₂
${ displaystyle { tilde {F}} _ {4}}$	${ displaystyle U_ {5}}$	[3,4,3,3]		16-ячеечные соты 24-ячеечные соты
${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$	${ displaystyle V_ {3}}$	[6,3]		Шестиугольная черепица и Треугольная черепица
${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$	${ displaystyle W_ {2}}$	[∞]		Апейрогон

Индекс символа группы на единицу меньше количества узлов в каждом случае, поскольку каждая из этих групп была получена добавлением узла к графу конечной группы.

Гиперболические группы Кокстера

Бесконечно много гиперболические группы Кокстера описание групп отражений в гиперболическое пространство, в частности, включая группы гиперболических треугольников.

Частичные заказы

Выбор генераторов отражения приводит к функция длины ℓ на группе Кокстера, а именно минимальное количество использований генераторов, необходимых для выражения элемента группы; это как раз длина в слово метрика в Граф Кэли. Выражение для v с помощью ℓ(v) генераторы - это сокращенное слово. Например, перестановка (13) в S₃ имеет два сокращенных слова: (12) (23) (12) и (23) (12) (23). Функция ${ Displaystyle v к (-1) ^ { ell (v)}}$ определяет карту ${ Displaystyle G к { pm 1 },}$ обобщая подписать карту для симметрической группы.

Используя сокращенные слова, можно определить три частичные заказы на группе Кокстера (справа) слабый порядок, то абсолютный порядок и Заказ Брюа (назван в честь Франсуа Брюа ). Элемент v превышает элемент ты в порядке Брюа, если некоторое (или, что то же самое, любое) сокращенное слово для v содержит сокращенное слово для ты как подстрока, куда отбрасываются некоторые буквы (в любой позиции). В слабом порядке, v ≥ ты если какое-то сокращенное слово для v содержит сокращенное слово для ты как начальный сегмент. Действительно, длина слова превращает это в градуированный посет. В Диаграммы Хассе соответствующие этим порядкам являются объектами изучения и связаны с Граф Кэли определяется генераторами. Абсолютный порядок определяется аналогично слабому порядку, но с порождающим набором / алфавитом, состоящим из всех сопряженных генераторов Кокстера.

Например, перестановка (1 2 3) в S₃ имеет только одно сокращенное слово (12) (23), поэтому покрывает (12) и (23) в порядке Брюа, но покрывает только (12) в слабом порядке.

Гомология

Поскольку группа Кокстера ${ displaystyle W}$ порождается конечным числом элементов порядка 2, его абелианизация является элементарная абелева 2-группа, т.е. изоморфна прямой сумме нескольких копий циклическая группа ${ displaystyle Z_ {2}}$ . Это можно переформулировать с точки зрения первого группа гомологии из ${ displaystyle W}$ .

В Множитель Шура ${ displaystyle M (W)}$ , равную второй группе гомологий ${ displaystyle W}$ , было вычислено в (Ихара и Йоконума 1965 ) для конечных групп отражений и в (Йоконума 1965 ) для аффинных групп отражений с более унифицированным описанием, приведенным в (Хоулетт 1988 ). Во всех случаях множитель Шура также является элементарной абелевой 2-группой. Для каждой бесконечной семьи ${ Displaystyle {W_ {п} }}$ конечных или аффинных групп Вейля ранг ${ displaystyle M (W_ {n})}$ стабилизируется как ${ displaystyle n}$ уходит в бесконечность.

Смотрите также

Примечания

^ подгруппа индекса 2 ${ displaystyle operatorname {GO} _ {4} ^ {+} (5)}$

дальнейшее чтение

Бьёрнер, Андерс; Бренти, Франческо (2005), Комбинаторика групп Кокстера, Тексты для выпускников по математике, 231, Спрингер, ISBN 978-3-540-27596-1, Zbl 1110.05001
Бурбаки, Николас (2002), Группы Ли и алгебры Ли: главы 4–6., Элементы математики, Springer, ISBN 978-3-540-42650-9, Zbl 0983.17001
Кокстер, Х. С. М. (1934), «Дискретные группы, порожденные отражениями», Анналы математики, 35 (3): 588–621, CiteSeerX 10.1.1.128.471, Дои:10.2307/1968753, JSTOR 1968753
Кокстер, Х. С. М. (1935), «Полное перечисление конечных групп вида ${ displaystyle r_ {i} ^ {2} = (r_ {i} r_ {j}) ^ {k_ {ij}} = 1}$ ", J. London Math. Soc., 1, 10 (1): 21–25, Дои:10.1112 / jlms / s1-10.37.21
Дэвис, Майкл В. (2007), Геометрия и топология групп Кокстера. (PDF), ISBN 978-0-691-13138-2, Zbl 1142.20020
Grove, Ларри К.; Бенсон, Кларк Т. (1985), Конечные группы отражений, Выпускные тексты по математике, 99, Спрингер, ISBN 978-0-387-96082-1
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
Хамфрис, Джеймс Э. (1992) [1990], Группы отражений и группы Кокстера, Кембриджские исследования по высшей математике, 29, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-43613-7, Zbl 0725.20028
Кейн, Ричард (2001), Группы отражений и теория инвариантов, CMS Книги по математике, Springer, ISBN 978-0-387-98979-2, Zbl 0986.20038
Хиллер, Ховард (1982), Геометрия групп Кокстера, Исследования по математике, 54, Питман, ISBN 978-0-273-08517-1, Zbl 0483.57002

Ихара, S .; Йоконума, Такео (1965), «О вторых группах когомологий (мультипликаторах Шура) конечных групп отражений» (PDF), Jour. Фак. Sci. Univ. Токио, секция. 1, 11: 155–171, Zbl 0136.28802, заархивировано из оригинал (PDF) в 2013-10-23
Хоулетт, Роберт Б. (1988), "О множителях Шура групп Кокстера", J. London Math. Soc., 2, 38 (2): 263–276, Дои:10.1112 / jlms / s2-38.2.263, Zbl 0627.20019

Винберг, Эрнест Б. (1984), "Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности", Труды Моск. Мат. Общ., 47
Йоконума, Такео (1965), "О вторых группах когомологий (множителях Шура) бесконечных дискретных групп отражений", Jour. Фак. Sci. Univ. Токио, секция. 1, 11: 173–186, HDL:2261/6049, Zbl 0136.28803

внешняя ссылка

[4] подгруппа индекса 2 ${ displaystyle operatorname {GO} _ {4} ^ {+} (5)}$

[BrinkAndHowlett-1] Бринк, Бриджит; Хоулетт, Роберт Б. (1993), "Свойство конечности и автоматическая структура для групп Кокстера", Mathematische Annalen, 296 (1): 179–190, Дои:10.1007 / BF01445101, Zbl 0793.20036.

[2] Coxeter, Правильные многогранники, §12.6 Число отражений, уравнение 12.61

[wilson-3] Уилсон, Роберт А. (2009), «Глава 2», Конечные простые группы, Тексты для выпускников по математике 251, 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5

[5] Зал 2015 Раздел 13.6

[6] Зал 2015 Глава 13, упражнения 12 и 13

[1]

[2]

[3]

[а]

[4]

[5]