Теорема старшего веса - Theorem of the highest weight

В теория представлений, раздел математики, теорема наивысшего веса классифицирует неприводимые представления комплекса полупростая алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ .^[1]^[2] Существует тесно связанная теорема, классифицирующая неприводимые представления связной компактной группы Ли ${ displaystyle K}$ .^[3] Теорема утверждает, что существует биекция

{ displaystyle lambda mapsto [V ^ { lambda}]}

от множества «доминирующих интегральных элементов» до множества классов эквивалентности неприводимых представлений ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ или ${ displaystyle K}$ . Разница между двумя результатами заключается в точном понятии «интеграл» в определении доминирующего интегрального элемента. Если ${ displaystyle K}$ односвязно, это различие исчезает.

Теорема была первоначально доказана Эли Картан в его статье 1913 года.^[4] Версия теоремы для компактной группы Ли обусловлена Герман Вейль. Теорема - одна из ключевых частей теория представлений полупростых алгебр Ли.

утверждение

Случай алгебры Ли

Позволять ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ - конечномерная полупростая комплексная алгебра Ли с Подалгебра Картана ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ . Позволять ${ displaystyle R}$ быть ассоциированным корневая система. Затем мы говорим, что элемент ${ displaystyle lambda in { mathfrak {h}}}$ является интеграл^[5] если

{ displaystyle 2 { frac { langle lambda, alpha rangle} { langle alpha, alpha rangle}}}

целое число для каждого корня ${ displaystyle alpha}$ . Далее выбираем набор ${ Displaystyle R ^ {+}}$ положительных корней, и мы говорим, что элемент ${ displaystyle lambda in { mathfrak {h}}}$ является доминирующий если ${ displaystyle langle lambda, alpha rangle geq 0}$ для всех ${ Displaystyle альфа в R ^ {+}}$ . Элемент ${ displaystyle lambda in { mathfrak {h}}}$ доминирующий интеграл если он одновременно доминирующий и целостный. Наконец, если ${ displaystyle lambda}$ и ${ displaystyle mu}$ находятся в ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ мы говорим, что ${ displaystyle lambda}$ является выше^[6] чем ${ displaystyle mu}$ если ${ displaystyle lambda - mu}$ выражается как линейная комбинация положительных корней с неотрицательными действительными коэффициентами.

А масса ${ displaystyle lambda}$ представительства ${ displaystyle V}$ из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ тогда называется самый высокий вес если ${ displaystyle lambda}$ выше любого другого веса ${ displaystyle mu}$ из ${ displaystyle V}$ .

Теорема о старшем весе утверждает:^[2]

Если ${ displaystyle V}$ является конечномерным неприводимым представлением ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , тогда ${ displaystyle V}$ имеет уникальный наибольший вес, и этот наибольший вес является доминирующим целым.
Если два конечномерных неприводимых представления имеют одинаковый старший вес, они изоморфны.
Для каждого доминирующего интегрального элемента ${ displaystyle lambda}$ , существует конечномерное неприводимое представление со старшим весом ${ displaystyle lambda}$ .

Самая сложная часть - последняя; построение конечномерного неприводимого представления с заданным старшим весом.

Компактный групповой случай

Позволять ${ displaystyle K}$ быть связанным компактная группа Ли с алгеброй Ли ${ displaystyle { mathfrak {k}}}$ и разреши ${ Displaystyle { mathfrak {g}}: = { mathfrak {k}} + я { mathfrak {k}}}$ быть усложнением ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ . Позволять ${ displaystyle T}$ быть максимальный тор в ${ displaystyle K}$ с алгеброй Ли ${ displaystyle { mathfrak {t}}}$ . потом ${ displaystyle { mathfrak {h}}: = { mathfrak {t}} + я { mathfrak {t}}}$ является подалгеброй Картана в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , и мы можем сформировать связанную корневую систему ${ displaystyle R}$ . Теория тогда действует во многом так же, как и в случае алгебры Ли, с одним важным отличием: понятие целостности другое. В частности, мы говорим, что элемент ${ displaystyle lambda in { mathfrak {h}}}$ является аналитически интегральный^[7] если

{ displaystyle langle lambda, H rangle}

целое число, когда

{ displaystyle e ^ {2 pi H} = I}

куда ${ displaystyle I}$ является элементом идентичности ${ displaystyle K}$ . Каждый аналитически целостный элемент является целым в смысле алгебры Ли,^[8] но могут быть целые элементы в смысле алгебры Ли, которые не являются аналитически целыми. Это различие отражает тот факт, что если ${ displaystyle K}$ не односвязно, могут быть представления ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ которые не исходят из представлений ${ displaystyle K}$ . С другой стороны, если ${ displaystyle K}$ односвязно, понятия «интеграл» и «аналитически интеграл» совпадают.^[3]

Теорема старшего веса для представлений ${ displaystyle K}$ ^[9] тогда то же самое, что и в случае алгебры Ли, за исключением того, что «интеграл» заменен на «аналитически интегральный».

Доказательства

Есть как минимум четыре доказательства:

Оригинальное доказательство Германа Вейля с точки зрения компактной группы,^[10] на основе Формула характера Вейля и Теорема Питера – Вейля.
Теория Модули Verma содержит теорему о старшем весе. Этот подход используется во многих стандартных учебниках (например, Хамфри и Часть II Холла).
В Теорема Бореля – Вейля – Ботта. строит неприводимое представление как пространство глобальных сечений обильного линейного расслоения; как следствие получается теорема о старшем весе. (Подход использует изрядную долю алгебраической геометрии, но дает очень быстрое доказательство.)
В теория инвариантов подход: строятся неприводимые представления как подпредставления тензорной степени стандартных представлений. Этот подход в основном принадлежит Х. Вейлю и довольно хорошо работает для классических групп.

Смотрите также

Примечания

^ Диксмье, Теорема 7.2.6.
^ ^а ^б Зал 2015 Теоремы 9.4 и 9.5.
^ ^а ^б Зал 2015 Теорема 12.6.
^ Кнапп, А. В. (2003). "Рецензируемая работа: Матричные группы: Введение в теорию групп Ли, Эндрю Бейкер; Группы Ли: Введение через линейные группы, Вульф Россманн". Американский математический ежемесячник. 110 (5): 446–455. Дои:10.2307/3647845. JSTOR 3647845.
^ Зал 2015 Раздел 8.7
^ Зал 2015 Раздел 8.8
^ Зал 2015 Определение 12.4.
^ Зал 2015 Предложение 12.7
^ Зал 2015 Следствие 13.20.
^ Зал 2015 Глава 12