Суперконформная алгебра - Superconformal algebra

Эта статья может требовать уборка встретиться с Википедией стандарты качества. Конкретная проблема: Эта заглушка написана очень плохо, и ее следует исправить, чтобы читать в более педагогической манере. Пожалуйста помоги улучшить эту статью если вы можете. (Май 2015 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В теоретическая физика, то суперконформная алгебра это градуированная алгебра Ли или же супералгебра который сочетает в себе конформная алгебра и суперсимметрия. В двух измерениях суперконформная алгебра бесконечномерна. В более высоких измерениях суперконформные алгебры конечномерны и порождают суперконформная группа (в двух евклидовом измерении Супералгебра Ли не генерирует никаких Супергруппа Ли ).

Суперконформная алгебра в размерности больше 2

Конформная группа ${ Displaystyle (п + д)}$-мерное пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {p, q}}$ является ${ displaystyle SO (p + 1, q + 1)}$ и его алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {so}} (p + 1, q + 1)}$. Суперконформная алгебра - это супералгебра Ли, содержащая бозонный фактор ${ displaystyle { mathfrak {so}} (p + 1, q + 1)}$ и чьи нечетные генераторы преобразуются в спинорные представления ${ displaystyle { mathfrak {so}} (p + 1, q + 1)}$. Учитывая классификацию Кача конечномерных простых супералгебр Ли, это может произойти только при малых значениях ${ displaystyle p}$ и ${ displaystyle q}$. Список (возможно, неполный)

• ${ displaystyle { mathfrak {osp}} ^ {*} (2N | 2,2)}$ в 3 + 0D благодаря ${ Displaystyle { mathfrak {usp}} (2,2) simeq { mathfrak {so}} (4,1)}$;
• ${ Displaystyle { mathfrak {osp}} (N | 4)}$ в 2 + 1D благодаря ${ Displaystyle { mathfrak {sp}} (4, mathbb {R}) simeq { mathfrak {so}} (3,2)}$;
• ${ Displaystyle { mathfrak {су}} ^ {*} (2N | 4)}$ в 4 + 0D благодаря ${ Displaystyle { mathfrak {су}} ^ {*} (4) simeq { mathfrak {так}} (5,1)}$;
• ${ Displaystyle { mathfrak {su}} (2,2 | N)}$ в 3 + 1D благодаря ${ Displaystyle { mathfrak {су}} (2,2) simeq { mathfrak {so}} (4,2)}$;
• ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (4 | N)}$ в 2 + 2D благодаря ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (4, mathbb {R}) simeq { mathfrak {so}} (3,3)}$;
• реальные формы ${ Displaystyle F (4)}$ в пяти измерениях
• ${ displaystyle { mathfrak {osp}} (8 ^ {*} | 2N)}$ в 5 + 1D, благодаря тому, что спинорные и фундаментальные представления ${ displaystyle { mathfrak {so}} (8, mathbb {C})}$ отображаются друг в друга внешними автоморфизмами.

Суперконформная алгебра в 3 + 1D

В соответствии с ^[1][2] суперконформная алгебра с ${ Displaystyle { mathcal {N}}}$ суперсимметрии в 3 + 1 измерениях задаются бозонными генераторами ${ displaystyle P _ { mu}}$, ${ displaystyle D}$, ${ Displaystyle M _ { mu nu}}$, ${ displaystyle K _ { mu}}$, U (1) R-симметрия ${ displaystyle A}$, SU (N) R-симметрия ${ displaystyle T_ {j} ^ {i}}$ и фермионные генераторы ${ displaystyle Q ^ { alpha i}}$, ${ displaystyle { overline {Q}} _ {i} ^ { dot { alpha}}}$, ${ displaystyle S_ {i} ^ { alpha}}$ и ${ displaystyle { overline {S}} ^ {{ dot { alpha}} i}}$. Здесь, ${ Displaystyle му, ню, ро, точки}$ обозначают пространственно-временные индексы; ${ Displaystyle альфа, бета, точки}$ левые спинорные индексы Вейля; ${ displaystyle { dot { alpha}}, { dot { beta}}, dots}$ правые спинорные индексы Вейля; и ${ displaystyle i, j, dots}$ индексы внутренней R-симметрии.

Сверхскобки Ли бозонной конформная алгебра даны

${ displaystyle [M _ { mu nu}, M _ { rho sigma}] = eta _ { nu rho} M _ { mu sigma} - eta _ { mu rho} M _ { nu sigma} + eta _ { nu sigma} M _ { rho mu} - eta _ { mu sigma} M _ { rho nu}}$

${ displaystyle [M _ { mu nu}, P _ { rho}] = eta _ { nu rho} P _ { mu} - eta _ { mu rho} P _ { nu}}$

${ displaystyle [M _ { mu nu}, K _ { rho}] = eta _ { nu rho} K _ { mu} - eta _ { mu rho} K _ { nu}}$

${ displaystyle [M _ { mu nu}, D] = 0}$

${ displaystyle [D, P _ { rho}] = - P _ { rho}}$

${ displaystyle [D, K _ { rho}] = + K _ { rho}}$

${ displaystyle [P _ { mu}, K _ { nu}] = - 2M _ { mu nu} +2 eta _ { mu nu} D}$

${ displaystyle [K_ {n}, K_ {m}] = 0}$

${ displaystyle [P_ {n}, P_ {m}] = 0}$

где η - Метрика Минковского; а фермионные генераторы:

${ displaystyle left {Q _ { alpha i}, { overline {Q}} _ { dot { beta}} ^ {j} right } = 2 delta _ {i} ^ {j} sigma _ { alpha { dot { beta}}} ^ { mu} P _ { mu}}$

${ displaystyle left {Q, Q right } = left {{ overline {Q}}, { overline {Q}} right } = 0}$

${ displaystyle left {S _ { alpha} ^ {i}, { overline {S}} _ {{ dot { beta}} j} right } = 2 delta _ {j} ^ { i} sigma _ { alpha { dot { beta}}} ^ { mu} K _ { mu}}$

${ displaystyle left {S, S right } = left {{ overline {S}}, { overline {S}} right } = 0}$

${ Displaystyle влево {Q, S вправо } =}$

${ displaystyle left {Q, { overline {S}} right } = left {{ overline {Q}}, S right } = 0}$

Бозонные конформные генераторы не несут никаких R-зарядов, поскольку они коммутируют с генераторами R-симметрии:

${ Displaystyle [A, M] = [A, D] = [A, P] = [A, K] = 0}$

${ Displaystyle [T, M] = [T, D] = [T, P] = [T, K] = 0}$

Но фермионные генераторы несут R-заряд:

${ displaystyle [A, Q] = - { frac {1} {2}} Q}$

${ displaystyle [A, { overline {Q}}] = { frac {1} {2}} { overline {Q}}}$

${ displaystyle [A, S] = { frac {1} {2}} S}$

${ displaystyle [A, { overline {S}}] = - { frac {1} {2}} { overline {S}}}$

${ displaystyle [T_ {j} ^ {i}, Q_ {k}] = - delta _ {k} ^ {i} Q_ {j}}$

${ displaystyle [T_ {j} ^ {i}, { overline {Q}} ^ {k}] = delta _ {j} ^ {k} { overline {Q}} ^ {i}}$

${ displaystyle [T_ {j} ^ {i}, S ^ {k}] = delta _ {j} ^ {k} S ^ {i}}$

${ displaystyle [T_ {j} ^ {i}, { overline {S}} _ {k}] = - delta _ {k} ^ {i} { overline {S}} _ {j}}$

При бозонных конформных преобразованиях фермионные генераторы преобразуются как:

${ displaystyle [D, Q] = - { frac {1} {2}} Q}$

${ displaystyle [D, { overline {Q}}] = - { frac {1} {2}} { overline {Q}}}$

${ displaystyle [D, S] = { frac {1} {2}} S}$

${ displaystyle [D, { overline {S}}] = { frac {1} {2}} { overline {S}}}$

${ displaystyle [P, Q] = [P, { overline {Q}}] = 0}$

${ Displaystyle [К, S] = [К, { overline {S}}] = 0}$

Суперконформная алгебра в 2D

Есть две возможные алгебры с минимальной суперсимметрией в двух измерениях; алгебра Невё – Шварца и алгебра Рамона. Возможна дополнительная суперсимметрия, например N = 2 суперконформная алгебра.

Смотрите также

• Конформная симметрия
• Супер алгебра Вирасоро
• Алгебра суперсимметрии

Рекомендации