Нелинейная сигма-модель - Non-linear sigma model

В квантовая теория поля, а нелинейный σ модель описывает скалярное поле Σ который принимает значения в нелинейном многообразии, называемом целевой коллектор  Т. Нелинейный σ-модель была представлена Гелл-Манн и Леви (1960, раздел 6), который назвал его в честь поля, соответствующего бесспиновому мезону, названному σ в своей модели.^[1] Эта статья посвящена в первую очередь квантованию нелинейной сигма-модели; пожалуйста, обратитесь к базовой статье на сигма модель для общих определений и классических (неквантовых) формулировок и результатов.

Описание

Целевой коллектор Т оснащен Риманова метрика  грамм. Σ дифференцируемая карта из Пространство Минковского M (или какое-то другое место) вТ.

В Плотность лагранжиана в современной хиральной форме^[2] дан кем-то

${ Displaystyle { mathcal {L}} = {1 более 2} г ( partial ^ { mu} Sigma, partial _ { mu} Sigma) -V ( Sigma)}$

где мы использовали + - - - метрическая подпись и частная производная ∂Σ дается разделом струйный пучок из Т×M и V это потенциал.

В координатной записи с координатами Σ^а, а = 1, ..., п где п это размерТ,

${ Displaystyle { mathcal {L}} = {1 более 2} g_ {ab} ( Sigma) ( partial ^ { mu} Sigma ^ {a}) ( partial _ { mu} Sigma ^ {b}) - V ( Sigma).}$

В более чем двух измерениях нелинейный σ модели содержат размерную константу связи и, таким образом, не могут быть пертурбативно перенормируемы. тем не менее, они демонстрируют нетривиальную ультрафиолетовую неподвижную точку ренормализационной группы как в решеточной формулировке^[3][4] и в двойном разложении, первоначально предложенном Кеннет Г. Уилсон.^[5]

В обоих подходах найденная нетривиальная неподвижная точка ренормгруппы для На)-симметричная модель как видно, просто описывает в размерах больше двух критическую точку, отделяющую упорядоченную фазу от неупорядоченной. Кроме того, улучшенные предсказания теории решетки или квантовой теории поля можно сравнить с лабораторными экспериментами на критические явления, поскольку На) модель описывает физические Ферромагнетики Гейзенберга и связанные системы. Таким образом, приведенные выше результаты указывают на неспособность наивной теории возмущений правильно описать физическое поведение На)-симметричная модель выше двух измерений, а также потребность в более сложных непертурбативных методах, таких как решеточная формулировка.

Это означает, что они могут возникнуть только как эффективные теории поля. Новая физика необходима примерно на той шкале расстояний, где две точки связная корреляционная функция имеет тот же порядок, что и кривизна целевого многообразия. Это называется УФ завершение теории. Существует специальный класс нелинейных σ-моделей с внутренняя симметрия группаграмм *. Если грамм это Группа Ли и ЧАС это Подгруппа Ли, то факторное пространство грамм/ЧАС является многообразием (с некоторыми техническими ограничениями, например, H является замкнутым подмножеством), а также однородное пространство из грамм или другими словами, нелинейная реализация изграмм. Во многих случаях, грамм/ЧАС может быть оснащен Риманова метрика который грамм-инвариантный. Это всегда так, например, если грамм является компактный. Нелинейная σ-модель с G / H в качестве целевого многообразия с грамм-инвариантная риманова метрика и нулевой потенциал называется факторпространством (или смежным пространством) нелинейным σ модель.

При вычислении интегралы по путям, функциональная мера должна быть "взвешена" квадратным корнем из детерминант изграмм,

${ displaystyle { sqrt { det g}} { mathcal {D}} Sigma.}$

Перенормировка

Эта модель оказалась актуальной в теории струн, где двумерное многообразие названо мировой лист. Оценка его обобщенной перенормируемости была дана Даниэль Фридан.^[6] Он показал, что теория допускает уравнение ренормгруппы в главном порядке теории возмущений в виде

${ displaystyle lambda { frac { partial g_ {ab}} { partial lambda}} = beta _ {ab} (T ^ {- 1} g) = R_ {ab} + O (T ^ { 2}) ~,}$

р_ab будучи Тензор Риччи целевого коллектора.

Это представляет собой Риччи поток, подчиняясь Уравнения поля Эйнштейна для целевого многообразия как неподвижной точки. Существование такой неподвижной точки имеет значение, поскольку оно дает в этом порядке теории возмущений, что конформная инвариантность не теряется из-за квантовых поправок, так что квантовая теория поля этой модели разумна (перенормируема).

Дальнейшее добавление нелинейных взаимодействий, представляющих ароматические киральные аномалии, приводит к Модель Весса – Зумино – Виттена.,^[7] который увеличивает геометрию потока, чтобы включить кручение, сохраняющую перенормируемость и приводящую к инфракрасная фиксированная точка а также из-за телепараллелизм («геометростаз»).^[8]

O (3) нелинейная сигма-модель

Знаменитым примером, представляющим особый интерес благодаря своим топологическим свойствам, является О (3) нелинейный σ-модель в 1 + 1 измерениях с плотностью лагранжиана

${ Displaystyle { mathcal {L}} = { tfrac {1} {2}} partial ^ { mu} { hat {n}} cdot partial _ { mu} { hat {п }}}$

где n=(п₁, п₂, п₃) с ограничением n⋅n= 1 и μ=1,2.

Эта модель допускает топологические решения с конечным действием, поскольку в бесконечном пространстве-времени плотность лагранжиана должна исчезнуть, что означает n = константа на бесконечности. Следовательно, в классе решений с конечным действием можно идентифицировать бесконечно удаленные точки как одну точку, то есть это пространство-время можно отождествить с Сфера Римана.

Поскольку n-поле тоже живет на сфере, отображение S²→ S² есть доказательства, решения которых классифицируются вторым гомотопическая группа 2-сферы: эти решения называются O (3) Instantons.

Эту модель также можно рассматривать в измерениях 1 + 2, где топология теперь исходит только из пространственных срезов. Они моделируются как R ^ 2 с точкой на бесконечности и, следовательно, имеют ту же топологию, что и инстантоны O (3) в 1 + 1 измерениях. Их называют шишками сигма-модели.

Смотрите также

• Сигма модель
• Хиральная модель
• Маленький Хиггс
• Скирмион, солитон в нелинейных сигма-моделях
• WZW модель
• Метрика Фубини – Этюд, показатель, часто используемый с нелинейными сигма-моделями
• Риччи поток
• Масштабная инвариантность

Рекомендации

внешняя ссылка

• Кетов, Сергей (2009). «Нелинейная сигма-модель». Scholarpedia. 4 (1): 8508. Bibcode:2009SchpJ ... 4.8508K. Дои:10.4249 / scholarpedia.8508.
• Kulshreshtha, U .; Кульшрешта, Д. С. (2002). "Формулировки фронтального гамильтониана, интеграла по траекториям и БРСТ нелинейной сигма-модели". Международный журнал теоретической физики. 41 (10): 1941–1956. Дои:10.1023 / А: 1021009008129. S2CID  115710780.