Глоссарий теории групп - Glossary of group theory

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

А группа это набор вместе с ассоциативный операция, допускающая элемент идентичности и такой, что каждый элемент имеет обратный.

На протяжении всей статьи мы используем ${ displaystyle e}$ для обозначения единичного элемента группы.

А

абелева группа

Группа ${ displaystyle (G, *)}$ является абелевский если ${ displaystyle *}$ коммутативна, т.е. ${ displaystyle g * h = h * g}$ для всех ${ displaystyle g}$,${ displaystyle h}$ ∈ ${ displaystyle G}$. Точно так же группа неабелевский если это соотношение не выполняется ни для одной пары ${ displaystyle g}$,${ displaystyle h}$ ∈ ${ displaystyle G}$.

восходящая подгруппа

А подгруппа ЧАС группы грамм является восходящий если есть восходящий подгруппа серии начиная с ЧАС и заканчивая грамм, такой, что каждый член в серии является нормальная подгруппа его преемника. Серия может быть бесконечной. Если серия конечна, то подгруппа субнормальный.

автоморфизм

An автоморфизм группы является изоморфизм группы себе.

C

центр группы

В центр группы грамм, обозначенный Z (грамм), - множество тех элементов группы, которые коммутируют со всеми элементами грамм, то есть совокупность всех час ∈ грамм такой, что hg = gh для всех грамм ∈ грамм. Z (грамм) всегда нормальная подгруппа из грамм. Группаграмм является абелевский если и только если Z (грамм) = грамм.

бесцентровая группа

Группа грамм бесцентровый, если его центр Z (грамм) является банальный.

центральная подгруппа

А подгруппа группы - это центральная подгруппа этой группы, если она находится внутри центр группы.

функция класса

А функция класса в группе грамм функция, которая постоянна на классы сопряженности из грамм.

номер класса

В номер класса группы - это количество ее классы сопряженности.

коммутатор

В коммутатор из двух элементов грамм и час группыграмм это элемент [грамм, час] = грамм⁻¹час⁻¹gh. Некоторые авторы определяют коммутатор как [грамм, час] = ghg⁻¹час⁻¹ вместо. Коммутатор из двух элементов грамм и час равна идентичности группы тогда и только тогда, когда грамм и час коммутируют, то есть тогда и только тогда, когда gh = hg.

коммутаторная подгруппа

В коммутаторная подгруппа или производная подгруппа группы является подгруппой генерируется всеми коммутаторы группы.

серия композиций

А серия композиций группы грамм это субнормальный ряд конечной длины

${ Displaystyle 1 = Н_ {0} треугольник слева Н_ {1} треугольник слева cdots треугольник слева Н_ {п} = G,}$

со строгими включениями, так что каждый ЧАС_я максимально строгий нормальная подгруппа из ЧАС_я+1. Эквивалентно, композиционный ряд - это субнормальный ряд, каждый факторная группа ЧАС_я+1 / ЧАС_я является просто. Факторные группы называются композиционными факторами.

сопряженно-замкнутая подгруппа

А подгруппа группы называется замкнутое сопряжение если любые два элемента подгруппы, сопрягать в группе также сопряжены в подгруппе.

класс сопряженности

В классы сопряженности группы грамм эти подмножества грамм содержащие элементы группы, которые сопрягать друг с другом.

сопряженные элементы

Два элемента Икс и у группыграмм находятся сопрягать если существует элемент грамм ∈ грамм такой, что грамм⁻¹xg = у. Элемент грамм⁻¹xg, обозначенный Икс^грамм, называется сопряженным Икс к грамм. Некоторые авторы определяют сопряжение Икс к грамм в качестве gxg⁻¹. Это часто обозначается ^граммИкс. Спряжение - это отношение эквивалентности. Его классы эквивалентности называются классы сопряженности.

сопряженные подгруппы

Две подгруппы ЧАС₁ и ЧАС₂ группы грамм находятся сопряженные подгруппы если есть грамм ∈ грамм такой, что gH₁грамм⁻¹ = ЧАС₂.

контранормальная подгруппа

А подгруппа группы грамм это контранормальная подгруппа из грамм если это нормальное закрытие является грамм сам.

циклическая группа

А циклическая группа это группа, которая генерируется одним элементом, то есть группой, в которой есть элемент грамм в группе, так что любой другой элемент группы может быть получен повторным применением групповой операции кграмм или его обратное.

D

производная подгруппа

Синоним для коммутаторная подгруппа.

прямой продукт

В прямой продукт двух групп грамм и ЧАС, обозначенный грамм × ЧАС, это декартово произведение базовых наборов грамм и ЧАС, снабженный покомпонентно определенной бинарной операцией (грамм₁, час₁) · (грамм₂, час₂) = (грамм₁ ⋅ грамм₂, час₁ ⋅ час₂). С помощью этой операции грамм × ЧАС сам образует группу.

F

факторная группа

Синоним для факторгруппа.

FC-group

Группа - это FC-group если каждый класс сопряженности элементов имеет конечную мощность.

конечная группа

А конечная группа группа конечных порядок, то есть группа с конечным числом элементов.

грамм

групповой автоморфизм

Видеть автоморфизм.

групповой гомоморфизм

Видеть гомоморфизм.

групповой изомоморфизм

Видеть изомоморфизм.

ЧАС

гомоморфизм

Учитывая две группы (грамм, ∗) и (ЧАС, ·), а гомоморфизм из грамм к ЧАС это функция час : грамм → ЧАС такой, что для всех а и б в грамм, час(а∗б) = час(а) · час(б).

я

индекс подгруппы

В индекс из подгруппа ЧАС группы грамм, обозначенный |грамм : ЧАС| или же [грамм : ЧАС] или же (грамм : ЧАС), - количество смежные классы из ЧАС в грамм. Для нормальная подгруппа N группы грамм, индекс N в грамм равно порядок из факторгруппа грамм / N. Для конечный подгруппа ЧАС конечной группы грамм, индекс ЧАС в грамм равняется частному порядку грамм и ЧАС.

изоморфизм

Учитывая две группы (грамм, ∗) и (ЧАС, ·), изоморфизм между грамм и ЧАС это биективный гомоморфизм из грамм к ЧАС, то есть взаимно однозначное соответствие между элементами групп таким образом, чтобы уважать заданные групповые операции. Две группы изоморфный если существует отображение группового изоморфизма от одного к другому. Изоморфные группы можно рассматривать как одно и то же, только с разными метками на отдельных элементах.

L

решетка подгрупп

В решетка подгрупп группы - это решетка определяется его подгруппы, частично заказанный к установить включение.

N

нормальное закрытие

В нормальное закрытие подмножестваS группыграмм это пересечение всех нормальные подгруппы изграмм которые содержатS.

нормальное ядро

В нормальное ядро из подгруппа ЧАС группы грамм самый большой нормальная подгруппа из грамм что содержится в ЧАС.

нормализатор

Для подмножества S группыграмм, то нормализатор из S в грамм, обозначенный N_грамм(S), является подгруппой грамм определяется

${ Displaystyle mathrm {N} _ {G} (S) = {g in G mid gS = Sg }.}$

А подгруппа N группы грамм является нормальный в грамм (обозначено ${ Displaystyle N треугольникleft G}$) если спряжение элемента п из N элементом грамм из грамм всегда в N, то есть если для всех грамм ∈ грамм и п ∈ N, gng⁻¹ ∈ N. Нормальная подгруппа N группы грамм можно использовать для построения факторгруппа грамм/N (грамм мод N).

О

порядок группы

В порядок группы ${ displaystyle (G, *)}$ это мощность (т.е. количество элементов) ${ displaystyle G}$. Группа с конечным порядком называется конечная группа.

порядок элемента группы

В порядок элемента грамм группы грамм самый маленький положительный целое число п такой, что грамм^п = е. Если такого целого числа не существует, то порядок грамм называется бесконечным. Порядок конечной группы равен делимый по порядку каждого элемента.

п

идеальное ядро

В идеальное ядро группы является ее крупнейшим идеально подгруппа.

идеальная группа

А идеальная группа это группа, равная себе коммутаторная подгруппа.

периодическая группа

Группа это периодический если каждый элемент группы имеет конечное порядок. Каждый конечная группа периодический.

группа перестановок

А группа перестановок группа, элементы которой перестановки данного набор M (в биективные функции из набора M себе) и чья групповая операция это сочинение этих перестановок. Группа, состоящая из всех перестановок множества M это симметричная группа из M.

п-группа

Если п это простое число, затем п-группа это тот, в котором порядок каждого элемента является степенью п. Конечная группа - это п-группа тогда и только тогда, когда порядок группы - это сила п.

п-подгруппа

А подгруппа который также является п-группа. Изучение п-подгруппы - центральный объект Теоремы Силова.

Q

факторгруппа

Учитывая группу ${ displaystyle G}$ и нормальная подгруппа ${ displaystyle N}$ из ${ displaystyle G}$, то факторгруппа это набор ${ displaystyle G}$/${ displaystyle N}$ из левые классы ${ displaystyle {aN: a in G }}$ вместе с операцией ${ displaystyle aN * bN = abN.}$ Связь между нормальными подгруппами, гомоморфизмами и фактор-группами суммируется в основная теорема о гомоморфизмах.

р

реальный элемент

Элемент грамм группы грамм называется реальный элемент из грамм если он принадлежит к тому же класс сопряженности как обратное, то есть, если есть час в грамм с ${ Displaystyle г ^ {ч} = г ^ {- 1}}$, куда ${ displaystyle g ^ {h}}$ определяется как час⁻¹gh. Элемент группы грамм реально тогда и только тогда, когда для всех представления из грамм в след соответствующей матрицы - действительное число.

S

серийная подгруппа

А подгруппа ЧАС группы грамм это серийная подгруппа из грамм если есть цепочка C подгрупп грамм из ЧАС к грамм такая, что для каждой пары последовательных подгрупп Икс и Y в C, Икс это нормальная подгруппа из Y. Если цепь конечна, то ЧАС это субнормальная подгруппа из грамм.

простая группа

А простая группа это нетривиальная группа чей единственный нормальные подгруппы - тривиальная группа и сама группа.

подгруппа

А подгруппа группы грамм это подмножество ЧАС элементов грамм который сам по себе образует группу, когда наделен ограничением групповая операция из грамм к ЧАС×ЧАС. Подмножество ЧАС группы грамм является подгруппой грамм тогда и только тогда, когда он непустой и закрыто под произведениями и обратными, то есть тогда и только тогда, когда для каждого а и б в ЧАС, ab и а⁻¹ также в ЧАС.

подгруппа серии

А подгруппа серии группы грамм это последовательность подгруппы из грамм такой, что каждый элемент в серии является подгруппой следующего элемента:

${ displaystyle 1 = A_ {0} leq A_ {1} leq cdots leq A_ {n} = G.}$

Т

торсионная группа

Синоним для периодическая группа.

транзитивно нормальная подгруппа

А подгруппа группы называется переходно нормальный в группе, если каждый нормальная подгруппа подгруппы также нормальна во всей группе.

тривиальная группа

А тривиальная группа представляет собой группу, состоящую из одного элемента, а именно единичного элемента группы. Все такие группы изоморфный, и часто говорят о в тривиальная группа.

Основные определения

Подгруппа. А подмножество ${ displaystyle H}$ группы ${ displaystyle (G, *)}$ которая остается группой, когда операция ${ displaystyle *}$ ограничено ${ displaystyle H}$ называется подгруппа из ${ displaystyle G}$.

Учитывая подмножество ${ displaystyle S}$ из ${ displaystyle G}$. Обозначим через ${ Displaystyle$} наименьшая подгруппа ${ displaystyle G}$ содержащий ${ displaystyle S}$. ${ Displaystyle$} называется подгруппой ${ displaystyle G}$ создано ${ displaystyle S}$.

Нормальная подгруппа. ${ displaystyle H}$ это нормальная подгруппа из ${ displaystyle G}$ если для всех ${ displaystyle g}$ в ${ displaystyle G}$ и ${ displaystyle h}$ в ${ displaystyle H}$, ${ displaystyle g * h * g ^ {- 1}}$также принадлежит ${ displaystyle H}$.

Обе подгруппы и нормальные подгруппы данной группы образуют полная решетка при включении подмножеств; это свойство и некоторые связанные результаты описываются решеточная теорема.

Групповой гомоморфизм. Это функции ${ Displaystyle е двоеточие (G, *) к (H, раз)}$ которые обладают особым свойством

${ Displaystyle е (а * Ь) = е (а) раз е (Ь),}$

для любых элементов ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ из ${ displaystyle G}$.

Ядро гомоморфизма групп. Это прообраз идентичности в codomain гомоморфизма групп. Каждая нормальная подгруппа является ядром гомоморфизма групп и наоборот.

Групповой изоморфизм. Групповые гомоморфизмы, имеющие обратные функции. Оказывается, что обратное к изоморфизму также должно быть гомоморфизмом.

Изоморфные группы. Две группы изоморфный если существует отображение группового изоморфизма от одного к другому. Изоморфные группы можно рассматривать как одно и то же, только с разными метками на отдельных элементах. Одной из фундаментальных проблем теории групп является классификация групп вплоть до изоморфизм.

Прямой продукт, прямая сумма, и полупрямой продукт групп. Это способы объединения групп для создания новых групп; пожалуйста, обратитесь к соответствующим ссылкам для объяснения.

Типы групп