Гиперкэлерово многообразие - Hyperkähler manifold

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Ноябрь 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) эта статья не цитировать Любые источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью от добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удалено. Найдите источники: «Гиперкэлерово многообразие»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Ноябрь 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В дифференциальная геометрия, а гиперкэлерово многообразие это Риманово многообразие измерения ${ displaystyle 4k}$ и группа голономии содержалась в Sp (k) (здесь Sp (k) обозначает компактную форму симплектическая группа, отождествляемого с группой кватернионно-линейных унитарных эндоморфизмов ${ displaystyle k}$-мерное кватернионное эрмитово пространство). Гиперкэлеровы многообразия - это специальные классы Кэлеровы многообразия. Их можно рассматривать как кватернионный аналоги кэлеровых многообразий. Все гиперкэлеровы многообразия являются Риччи-квартира и таким образом Калаби-Яу многообразий (в этом легко убедиться, заметив, что Sp (k) это подгруппа из особая унитарная группа SU (2k)).

Гиперкэлеровы многообразия были определены Эухенио Калаби в 1978 г.

Кватернионная структура

Каждое гиперкэлерово многообразие M имеет 2-сфера сложных структур (т.е. интегрируемые почти сложные конструкции ), относительно которого метрика Кэлер.

В частности, это гиперкомплексное многообразие, что означает наличие трех различных сложных структур, я, J, и K, которые удовлетворяют кватернионные отношения

${ Displaystyle I ^ {2} = J ^ {2} = K ^ {2} = IJK = -1. ,}$

Любая линейная комбинация

${ displaystyle aI + bJ + cK ,}$

с участием ${ displaystyle a, b, c}$ реальные числа такие, что

${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} = 1 ,}$

также сложная структура на M. В частности, касательное пространство Т_ИксM кватернионное векторное пространство для каждой точки Икс из M. Sp (k) можно рассматривать как группу ортогональных преобразований ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4k} = mathbb {H} ^ {k}}$ которые линейны относительно я, J и K. Отсюда следует, что голономия многообразия содержится в Sp (k). Наоборот, если группа голономии риманова многообразия M содержится в Sp (k), выбирайте сложные конструкции я_Икс, J_Икс и K_Икс на Т_ИксM которые делают Т_ИксM в кватернионное векторное пространство. Параллельный транспорт этих сложных структур дает требуемую кватернионную структуру на M.

Голоморфная симплектическая форма

Гиперкэлерово многообразие (M,я,J,K), рассматриваемое как комплексное многообразие (M,я), является голоморфно симплектическим (снабженным голоморфной невырожденной 2-формой). Обратное верно и в случае компактных многообразий в силу Шинг-Тунг Яу доказательство Гипотеза Калаби: Для компактного кэлерова голоморфно симплектического многообразия (M,я), он всегда снабжен совместимой гиперкэлеровой метрикой. Такая метрика единственна в данном кэлеровом классе. Компактные гиперкэлеровы многообразия широко изучаются с использованием методов из алгебраическая геометрия, иногда под именем голоморфно симплектические многообразия. Группа голономии любой метрики Калаби-Яу на односвязном компактном голоморфно симплектическом многообразии с ${ Displaystyle Н ^ {2,0} (М) = 1}$ точно Sp (k); и если односвязное многообразие Калаби-Яу вместо этого имеет ${ Displaystyle Н ^ {2,0} (М) geq 2}$, это просто риманово произведение низкомерных гиперкэлеровых многообразий. Этот факт непосредственно следует из формулы Бохнера для голоморфных форм на кэлеровом многообразии и классификации Бергера групп голономии; по иронии судьбы, его часто приписывают Богомолову, который в той же статье ошибочно утверждал, что компактных гиперкэлеровых многообразий на самом деле не существует!

Примеры

Из-за Кунихико Кодайра классификация сложных поверхностей, мы знаем, что любой компактный гиперкэлерово 4-многообразие является либо K3 поверхность или компактный тор ${ displaystyle T ^ {4}}$. (Каждый Многообразие Калаби – Яу в 4-х (реальных) измерениях является гиперкэлеровым многообразием, поскольку SU (2) изоморфен Sp (1).)

Как было обнаружено Бовилем, Схема гильберта k точек на компактном гиперкэлеровом 4-многообразии является гиперкэлермногообразием размерности 4k. Это приводит к двум сериям компактных примеров: схемам Гильберта точек на поверхности K3 и обобщенные разновидности Куммера.

Некомпактные полные гиперкэлеровы 4-многообразия, асимптотические ЧАС/г, где ЧАС обозначает кватернионы и г конечный подгруппа из Sp (1), известны как асимптотически локально евклидово, или ALE, пробелы. Эти пространства и различные обобщения, включающие различные асимптотики, изучаются в физика под именем гравитационные инстантоны. В Анзац Гиббонса – Хокинга приводит примеры, инвариантные относительно действия окружности.

Многие примеры некомпактных гиперкэлеровых многообразий возникают как пространства модулей решений некоторых уравнений калибровочной теории, которые возникают из размерной редукции антиавтодуального Уравнения Янга – Миллса: пространства модулей инстантонов, пространства модулей монополей, пространства решений Найджел Хитчин уравнения самодуальности на Римановы поверхности, пространство решений Уравнения Нама. Другой класс примеров - это Сорта колчана Накадзима, которые имеют большое значение в теории представлений.

Когомологии

Курносов, Солдатенков и Вербицкий (2019) показать, что когомологии любого компактного гиперкэлерова многообразия вкладываются в когомологии тора таким образом, чтобы Структура Ходжа.

Смотрите также

• Кватернион-Кэлерово многообразие
• Гиперкомплексное многообразие
• Кватернионное многообразие
• Многообразие Калаби – Яу

внешние ссылки

• Дунайски, Мацей; Мейсон, Лайонел Дж. (2000), "Гиперкелеровы иерархии и их твисторная теория", Коммуникации по математической физике, 213 (3): 641–672, arXiv:математика / 0001008, Bibcode:2000CMaPh.213..641D, Дои:10.1007 / PL00005532, Г-Н  1785432, S2CID  17884816
• Киран Дж. О’Грейди, (2011 г.) "Многомерные аналоги K3 поверхностей. " MR2931873
• Хитчин, Найджел (1991–1992), «Гиперкэлеровы многообразия», Семинэр Н. Бурбаки, 34 (Обсуждение № 748): 137–166, Г-Н  1206066
• Курносов, Никон; Солдатенков Андрей; Вербицкий, Миша (2019), "Конструкция Куга-Сатаке и когомологии гиперкэлеровых многообразий", Успехи в математике, 351: 275–295, arXiv:1703.07477, Дои:10.1016 / j.aim.2019.04.060, Г-Н  3952121, S2CID  119124485