Группа Quaternion - Quaternion group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро образ прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) г2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

Схема цикла из Q₈. Каждый цвет определяет серию степеней любого элемента, связанного с элементом идентичности e = 1. Например, цикл красного цвета отражает тот факт, что i² = е, я³ = я и я⁴ = е. Красный цикл также отражает то, что я² = е, я³ = я и я⁴ = е.

В теория групп, то группа кватернионов Q₈ (иногда обозначается просто Q) является неабелев группа из порядок восемь, изоморфное восьмиэлементному подмножеству${ Displaystyle {1, я, j, k, -1, -i, -j, -k }}$ из кватернионы при умножении. Это дано групповая презентация

${ displaystyle mathrm {Q} _ {8} = langle { bar {e}}, i, j, k mid { bar {e}} ^ {2} = e, ; i ^ {2 } = j ^ {2} = k ^ {2} = ijk = { bar {e}} rangle,}$

где e - единичный элемент и е ездит на работу с другими элементами группы.

Другая представление Q₈ является:

${ displaystyle langle a, b mid a ^ {4} = { mathbf {1}}, a ^ {2} = b ^ {2}, ba = a ^ {- 1} b rangle.}$

По сравнению с диэдральной группой

Группа кватернионов Q₈ имеет тот же порядок, что и группа диэдра D₄, но с другой структурой, как показано на их графиках Кэли и циклов:

	Q8	D4
Граф Кэли	Красные стрелки соединяют г→джи, зеленый подключить г→gj.
График цикла

На диаграммах для D₄, элементы группы помечаются своим действием на букву F в определяющем представлении р². То же самое нельзя сделать для Q₈, поскольку он не имеет точного представления в р² или р³. D₄ может быть реализована как подмножество расщепленные кватернионы так же, как Q₈ можно рассматривать как подмножество кватернионов.

Стол Кэли

В Стол Кэли (таблица умножения) для Q₈ дан кем-то:^[1]

Свойства

Обратите внимание, что я, j, и k у всех есть порядок четыре в Q₈ и любые два из них создают всю группу. Другая презентация из Q₈^[2] демонстрируя это:

${ displaystyle langle x, y mid x ^ {4} = 1, x ^ {2} = y ^ {2}, y ^ {- 1} xy = x ^ {- 1} rangle.}$

Можно взять, например, ${ displaystyle i = x, j = y}$, и ${ Displaystyle к = ху}$.

Группа кватернионов обладает необычным свойством быть Гамильтониан: Q₈ неабелева, но каждый подгруппа является нормальный.^[3] Каждая гамильтонова группа содержит копию Q₈.^[4]

Группа кватернионов Q₈ и диэдральная группа D₄ два самых маленьких примера нильпотентный неабелева группа.

В центр и коммутаторная подгруппа из Q₈ это подгруппа ${ Displaystyle {е, { бар {е}} }}$. В группа внутренних автоморфизмов из Q₈ задается группой по модулю ее центра, т. е. факторная группа Q₈/ {е,е}, который изоморфный к Кляйн четыре группы V. Полная группа автоморфизмов из Q₈ является изоморфный к S₄, то симметричная группа на четырех буквах (см. Матричные представления ниже), а группа внешних автоморфизмов из Q₈ таким образом, S₄/ V, который изоморфен S₃.

Группа кватернионов Q₈ имеет пять классов сопряженности, {e}, { е }, {i, я }, {j, j }, {k, k }, так что пять неприводимые представления над комплексными числами с размерностями 1,1,1,1,2:

Тривиальное представление

Знаковые представления с i, j, k-ядром: Q₈ имеет три максимальные нормальные подгруппы: циклические подгруппы, порожденные i, j и k соответственно. Для каждой максимальной нормальной подгруппы N, получим одномерное представление факторизуя через 2-элементную факторгруппа г/N. Представление отправляет элементы N до 1, а элементы вне N до -1.

2-мерное представление: Описано ниже в Матричные представления.

В таблица символов из Q₈ оказывается таким же, как у D₄:

Поскольку неприводимые персонажи ${ displaystyle chi _ { rho}}$ в строках выше имеют реальные значения, это дает разложение настоящих групповая алгебра из ${ displaystyle G = Q_ {8}}$ на минимальный двусторонний идеалы: ${ Displaystyle textstyle mathbb {R} [Q_ {8}] = bigoplus _ { rho} (е _ { rho})}$, где идемпотенты ${ Displaystyle е _ { rho} in mathbb {R} [Q_ {8}]}$ соответствуют неприводимым: ${ displaystyle textstyle е _ { rho} = { frac { dim ( rho)} {| G |}} sum _ {g in G} chi _ { rho} (g ^ {- 1 })г}$, так что

${ displaystyle e _ { text {triv}} = { tfrac {1} {8}} (e + { bar {e}} + i + { bar {i}} + j + { bar {j}} + к + { bar {k}})}$

${ displaystyle e_ {i { text {-ker}}} = { tfrac {1} {8}} (e + { bar {e}} + i + { bar {i}} - j - { bar {j}} - k - { bar {k}})}$

${ displaystyle e_ {j { text {-ker}}} = { tfrac {1} {8}} (e + { bar {e}} - i - { bar {i}} + j + { bar {j}} - k - { bar {k}})}$

${ displaystyle e_ {k { text {-ker}}} = { tfrac {1} {8}} (e + { bar {e}} - i - { bar {i}} - j - { бар {j}} + k + { bar {k}})}$

${ displaystyle e_ {2} = { tfrac {2} {8}} (2e-2 { bar {e}}) = { tfrac {1} {2}} (e - { bar {e} })}$.

Каждый из этих неприводимых идеалов изоморфен вещественному центральная простая алгебра, первые четыре к реальному полю ${ Displaystyle mathbb {R}}$. Последний идеал ${ displaystyle (е_ {2})}$ изоморфен тело из кватернионы ${ displaystyle mathbb {H}}$ по переписке:

${ displaystyle textstyle { frac {1} {2}} (е - { bar {e}}) longleftrightarrow 1, { frac {1} {2}} (i - { bar {i }}) longleftrightarrow i, { frac {1} {2}} (j - { bar {j}}) longleftrightarrow j, { frac {1} {2}} (k- { bar {k}}) longleftrightarrow k.}$

Кроме того, гомоморфизм проекций ${ Displaystyle mathbb {R} [Q_ {8}] to (e_ {2}) cong mathbb {H}}$ данный ${ displaystyle r mapsto re_ {2}}$ имеет идеал ядра, порожденный идемпотентом:

${ displaystyle e_ {2} ^ { perp} = textstyle e_ {1} + e_ {i { text {-ker}}} + e_ {j { text {-ker}}} + e_ { k { text {-ker}}} = { frac {1} {2}} (e + { bar {e}}),}$

поэтому кватернионы также могут быть получены как кольцо частного ${ Displaystyle mathbb {R} [Q_ {8}] / (е + { бар {е}}) cong mathbb {H}}$.

Таким образом, комплексная групповая алгебра ${ Displaystyle mathbb {C} [Q_ {8}] cong mathbb {C} ^ { oplus 4} oplus M_ {2} ( mathbb {C})}$, где ${ displaystyle M_ {2} ( mathbb {C}) cong mathbb {H} otimes _ { mathbb {R}} ! mathbb {C} cong mathbb {H} oplus mathbb { H}}$ это алгебра бикватернионы.

Матричные представления

Таблица умножения кватернионной группы как подгруппы SL (2,C ). Записи представлены секторами, соответствующими их аргументам: 1 (зеленый), я (синий), -1 (красный), -я (желтый).

Двумерный неприводимый комплекс представление описанное выше дает кватернионную группу Q₈ как подгруппа общая линейная группа ${ displaystyle operatorname {GL} _ {2} ( mathbb {C})}$. Группа кватернионов является мультипликативной подгруппой алгебры кватернионов ${ displaystyle mathbb {H} = mathbb {R} 1+ mathbb {R} i + mathbb {R} j + mathbb {R} k = mathbb {C} 1+ mathbb {C} j}$, который имеет регулярное представительство ${ Displaystyle rho: mathbb {H} to mathrm {M} _ {2} ( mathbb {C})}$ умножением слева на себя, рассматриваемого как комплексное векторное пространство с базой ${ displaystyle {1, j }}$, так что ${ displaystyle z in mathbb {H}}$ соответствует C-линейное отображение ${ displaystyle rho _ {z}: a {+} jb mapsto z cdot (a {+} jb)}$. Полученное представление ${ displaystyle rho: mathrm {Q} _ {8} to mathrm {GL} _ {2} ( mathbb {C}), g mapsto rho _ {g},}$ дан кем-то:

${ displaystyle { begin {matrix} e mapsto { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}} & i mapsto { begin {pmatrix} i & 0 0 & -i end {pmatrix}} & j mapsto { begin {pmatrix} 0 & -1 1 & 0 end {pmatrix}} & k mapsto { begin {pmatrix} 0 & -i - i & 0 end {pmatrix}} { overline {e} } mapsto { begin {pmatrix} -1 & 0 0 & -1 end {pmatrix}} & { overline {i}} mapsto { begin {pmatrix} -i & 0 0 & i end {pmatrix}} & { overline {j}} mapsto { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}} & { overline {k}} mapsto { begin {pmatrix} 0 & i i & 0 end {pmatrix }}. end {matrix}}}$

Поскольку все указанные выше матрицы имеют единичный определитель, это представление Q₈ в специальная линейная группа SL₂(C).^[5]

Вариант дает представление унитарные матрицы (таблица справа). Позволять ${ displaystyle g in Q_ {8}}$ соответствуют линейному отображению ${ displaystyle rho _ {g}: a {+} bj mapsto (a {+} bj) cdot jg ^ {- 1} j ^ {- 1}}$, так что ${ displaystyle rho: mathrm {Q} _ {8} to mathrm {SU} _ {2}}$ дан кем-то:

${ displaystyle { begin {matrix} e mapsto { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}} & i mapsto { begin {pmatrix} i & 0 0 & -i end {pmatrix}} & j mapsto { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}} & k mapsto { begin {pmatrix} 0 & i i & 0 end {pmatrix}} { overline {e}} mapsto { begin {pmatrix} -1 & 0 0 & -1 end {pmatrix}} & { overline {i}} mapsto { begin {pmatrix} -i & 0 0 & i end {pmatrix}} & { overline { j}} mapsto { begin {pmatrix} 0 & -1 1 & 0 end {pmatrix}} & { overline {k}} mapsto { begin {pmatrix} 0 & -i - i & 0 end {pmatrix }}. end {matrix}}}$

Таблица умножения кватернионной группы как подгруппы SL (2,3). Элементы поля обозначены 0, +, -.

Также есть важное действие Q₈ на двумерном векторном пространстве над конечное поле F₃ = {0,1, −1} (таблица справа). А модульное представление ${ Displaystyle rho: mathrm {Q} _ {8} to mathrm {SL} (2,3)}$ дан кем-то

${ displaystyle { begin {matrix} e mapsto { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}} & i mapsto { begin {pmatrix} 1 & 1 1 & ! ! ! ! - 1 end {pmatrix}} & j mapsto { begin {pmatrix} ! ! ! - 1 & 1 1 & 1 end {pmatrix}} & k mapsto { begin {pmatrix} 0 & ! ! ! ! -1 1 & 0 end {pmatrix}} { overline {e}} mapsto { begin {pmatrix} ! ! ! - 1 & 0 0 & ! ! ! ! - 1 end {pmatrix}} & { overline {i}} mapsto { begin {pmatrix} ! ! ! - 1 & ! ! ! ! - 1 ! ! ! - 1 & 1 end {pmatrix}} & { overline {j}} mapsto { begin {pmatrix} 1 & ! ! ! ! - 1 ! ! ! - 1 & ! ! ! ! -1 end {pmatrix}} & { overline {k}} mapsto { begin {pmatrix} 0 & 1 ! ! ! - 1 & 0 end {pmatrix}}. End {matrix}}}$

Это представление можно получить из поле расширения F₉ = F₃[k] = F₃1 + F₃k, где k² = −1 и мультипликативная группа (F₉)^× имеет образующие ± (k+1), ±(k-1) порядка 8. Двумерный F₃-векторное пространство F₉ допускает линейные отображения ${ Displaystyle му _ {Z} (а + Ък) = г CDOT (а + Ък)}$ для z в F₉, так же хорошо как Автоморфизм Фробениуса ${ displaystyle phi (a + bk) = (a + bk) ^ {3}}$ удовлетворение ${ displaystyle phi ^ {2} = mu _ {1}}$ и ${ Displaystyle фи му _ {z} = му _ { фи (г)} фи}$. Тогда указанные выше матрицы представления равны ${ displaystyle rho ({ bar {e}}) = mu _ {- 1}}$, ${ Displaystyle rho (я) = му _ {к + 1} фи}$, ${ displaystyle rho (j) = mu _ {k-1} phi}$, и ${ Displaystyle rho (к) = му _ {к}}$.

Приведенное выше представление реализует Q₈ как нормальная подгруппа из GL (2, 3). Таким образом, для каждой матрицы ${ Displaystyle м в mathrm {GL} (2,3)}$, имеем групповой автоморфизм ${ displaystyle psi _ {m}: Q_ {8} to Q_ {8}}$ определяется ${ Displaystyle psi _ {m} (г) = мгм ^ {- 1}}$, с участием ${ displaystyle psi _ {I} = psi _ {- I} = mathrm {id} _ {Q_ {8}}}$. Фактически, они дают полную группу автоморфизмов как:

${ Displaystyle mathrm {Aut} (Q_ {8}) cong mathrm {PGL} (2,3) = mathrm {GL} (2,3) / { pm I } cong S_ {4 }}$,

Это изоморфно симметрической группе S₄ поскольку линейные отображения ${ displaystyle m: mathbb {F} _ {3} ^ {2} to mathbb {F} _ {3} ^ {2}}$ переставить четыре одномерных подпространства ${ Displaystyle mathbb {F} _ {3} ^ {2}}$, т.е. четыре точки проективное пространство ${ Displaystyle mathbb {P} _ { mathbb {F} _ {3}} ^ {1} = mathrm {PG} (1,3)}$.

Кроме того, это представление переставляет восемь ненулевых векторов (F₃)², дающее вложение Q₈ в симметричная группа S_8, в дополнение к вложениям, задаваемым регулярными представлениями.

Группа Галуа

Как показал Ричард Дин в 1981 году, кватернионную группу можно представить как Группа Галуа Гал (т /Q) где Q это область рациональное число а T - поле расщепления над Q полинома

${ displaystyle x ^ {8} -72x ^ {6} + 180x ^ {4} -144x ^ {2} +36}$.

В разработке используется основная теорема теории Галуа в указании четырех промежуточных полей между Q и T и их группы Галуа, а также две теоремы о циклическом расширении степени четыре над полем.^[6]

Обобщенная группа кватернионов

А обобщенная группа кватернионов Q_4п порядка 4п определяется презентацией^[2]

${ displaystyle langle x, y mid x ^ {2n} = y ^ {4} = 1, x ^ {n} = y ^ {2}, y ^ {- 1} xy = x ^ {- 1} rangle}$

для целого числа п ≥ 2, с обычной группой кватернионов, заданной п = 2.^[7] Coxeter называет Q_4п то дициклическая группа ${ displaystyle langle 2,2, п rangle}$, частный случай бинарная группа полиэдров ${ Displaystyle langle ell, м, п rangle}$ и связанные с группа полиэдров ${ displaystyle (p, q, r)}$ и группа диэдра ${ Displaystyle (2,2, п)}$. Обобщенная группа кватернионов может быть реализована как подгруппа ${ displaystyle operatorname {GL} _ {2} ( mathbb {C})}$ Сгенерированно с помощью

${ displaystyle left ({ begin {array} {cc} omega _ {n} & 0 0 & { overline { omega}} _ {n} end {array}} right) { mbox { и}} left ({ begin {array} {cc} 0 & -1 1 & 0 end {array}} right)}$

где ${ Displaystyle omega _ {п} = е ^ {я пи / п}}$.^[2] Он также может быть реализован как подгруппа единичных кватернионов, порожденная^[8] ${ Displaystyle х = е ^ {я пи / п}}$ и ${ displaystyle y = j}$.

Обобщенные группы кватернионов обладают тем свойством, что каждые абелевский подгруппа циклическая.^[9] Можно показать, что конечная п-группа с этим свойством (каждая абелева подгруппа циклическая) является либо циклической, либо обобщенной кватернионной группой, как определено выше.^[10] Другая характеристика состоит в том, что конечное п-группа, в которой существует единственная подгруппа порядка п является либо циклической, либо 2-группой, изоморфной обобщенной группе кватернионов.^[11] В частности, для конечного поля F с нечетной характеристикой 2-силовская подгруппа группы SL₂(F) неабелева и имеет только одну подгруппу порядка 2, поэтому эта 2-силовская подгруппа должна быть обобщенной группой кватернионов, (Горенштейн 1980, п. 42). Сдача п^р быть размером с F, где п простое число, размер 2-силовской подгруппы группы SL₂(F) равно 2^п, где п = ord₂(п² - 1) + ord₂(р).

В Теорема Брауэра – Судзуки показывает, что группы, силовские 2-подгруппы которых являются обобщенным кватернионом, не могут быть простыми.

Другая терминология резервирует название «обобщенная группа кватернионов» для дициклической группы порядка степени двойки,^[12] который допускает представление

${ displaystyle langle x, y mid x ^ {2 ^ {m}} = y ^ {4} = 1, x ^ {2 ^ {m-1}} = y ^ {2}, y ^ {- 1} xy = x ^ {- 1} rangle.}$

Смотрите также

• 16 ячеек
• Бинарная тетраэдрическая группа
• Алгебра Клиффорда
• Дициклическая группа
• Интегральный кватернион Гурвица
• Список малых групп

Заметки

использованная литература

• Артин, Майкл (1991), Алгебра, Прентис Холл, ISBN  978-0-13-004763-2
• Браун, Кеннет С. (1982), Когомологии групп (3-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90688-1
• Картан, Анри; Эйленберг, Самуэль (1999), Гомологическая алгебра, Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0-691-04991-5
• Кокстер, Х. С. М. И Мозер, В. О. Дж. (1980). Генераторы и соотношения для дискретных групп. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-09212-9.
• Дин, Ричард А. (1981) "Рациональный многочлен, группа которого - кватернионы", Американский математический ежемесячный журнал 88:42–5.
• Горенштейн, Д. (1980), Конечные группы, Нью-Йорк: Челси, ISBN  978-0-8284-0301-6, Г-Н  0569209
• Джонсон, Дэвид Л. (1980), Темы теории групповых представлений, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-23108-4, Г-Н  0695161
• Ротман, Джозеф Дж. (1995), Введение в теорию групп (4-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94285-8
• П. Р. Жирар (1984) "Группа кватернионов и современная физика", Европейский журнал физики 5:25–32.
• Холл, Маршалл (1999), Теория групп (2-е изд.), Книжный магазин AMS, ISBN  0-8218-1967-4
• Курош Александр Г. (1979), Теория групп, Книжный магазин AMS, ISBN  0-8284-0107-1

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Кватернион группа». MathWorld.
• Группы кватернионов в GroupNames
• Группа Quaternion на GroupProps
• Конрад, Кит. «Обобщенные кватернионы»