Конформная симметрия - Conformal symmetry

В математическая физика, то конформная симметрия из пространство-время выражается расширением Группа Пуанкаре. Расширение включает специальные конформные преобразования и расширение. В трех пространственных плюс одном временном измерении конформная симметрия имеет 15 степени свободы: десять для группы Пуанкаре, четыре для специальных конформных преобразований и один для растяжения.

Гарри Бейтман и Эбенезер Каннингем первыми исследовали конформную симметрию Уравнения Максвелла. Они назвали общее выражение конформной симметрии a преобразование сферической волны. Общая теория относительности в двух измерениях пространства-времени также обладает конформной симметрией.^[1]

Генераторы

В конформная группа имеет следующие представление:^[2]

${ Displaystyle { begin {align} & M _ { mu nu} Equiv i (x _ { mu} partial _ { nu} -x _ { nu} partial _ { mu}) ,, & P _ { mu} Equiv -i partial _ { mu} ,, & D Equiv -ix _ { mu} partial ^ { mu} ,, & K _ { mu} Equiv я (x ^ {2} partial _ { mu} -2x _ { mu} x _ { nu} partial ^ { nu}) ,, end {выровнено}}}$

где ${ Displaystyle M _ { mu nu}}$ являются Лоренц генераторы, ${ displaystyle P _ { mu}}$ генерирует переводы, ${ displaystyle D}$ генерирует масштабные преобразования (также известные как дилатации или дилатации) и ${ displaystyle K _ { mu}}$ генерирует специальные конформные преобразования.

Коммутационные отношения

В коммутация отношения следующие:^[2]

${ displaystyle { begin {align} & [D, K _ { mu}] = - iK _ { mu} ,, & [D, P _ { mu}] = iP _ { mu} ,, & [K _ { mu}, P _ { nu}] = 2i ( eta _ { mu nu} D-M _ { mu nu}) ,, & [K _ { mu} , M _ { nu rho}] = i ( eta _ { mu nu} K _ { rho} - eta _ { mu rho} K _ { nu}) ,, & [P_ { rho}, M _ { mu nu}] = i ( eta _ { rho mu} P _ { nu} - eta _ { rho nu} P _ { mu}) ,, & [M _ { mu nu}, M _ { rho sigma}] = i ( eta _ { nu rho} M _ { mu sigma} + eta _ { mu sigma} M_ { nu rho} - eta _ { mu rho} M _ { nu sigma} - eta _ { nu sigma} M _ { mu rho}) ,, end {выровнено}}}$

другие коммутаторы исчезают. Вот ${ displaystyle eta _ { mu nu}}$ это Метрика Минковского тензор.

Дополнительно, ${ displaystyle D}$ скаляр и ${ displaystyle K _ { mu}}$ ковариантный вектор относительно Преобразования Лоренца.

Специальные конформные преобразования даются формулами^[3]

${ displaystyle x ^ { mu} to { frac {x ^ { mu} -a ^ { mu} x ^ {2}} {1-2a cdot x + a ^ {2} x ^ { 2}}}}$

где ${ displaystyle a ^ { mu}}$ - параметр, описывающий преобразование. Это специальное конформное преобразование также можно записать как ${ displaystyle x ^ { mu} to x '^ { mu}}$, где

${ displaystyle { frac {{x} '^ { mu}} {{x'} ^ {2}}} = { frac {x ^ { mu}} {x ^ {2}}} - а ^ { mu},}$

что показывает, что он состоит из инверсии, за которой следует перевод, за которым следует вторая инверсия.

Координатная сетка до специального конформного преобразования

Та же сетка после специального конформного преобразования

В двухмерном пространство-время, преобразования конформной группы - это конформные преобразования. Есть бесконечно много их.

Более чем в двух измерениях Евклидовы конформные преобразования отображать окружности в окружности, а гиперсферы в гиперсферы с прямой линией, считающейся вырожденной окружностью, а гиперплоскость - вырожденной гиперокружностью.

Более чем через два Лоренцевы измерения, конформные преобразования отображают нулевые лучи в нулевые лучи, а световые конусы - в световые конусы, причем нулевая гиперплоскость является вырожденный световой конус.

Приложения

Конформная теория поля

В релятивистских квантовых теориях поля возможность симметрий строго ограничена Теорема Коулмана – Мандулы при физически разумных предположениях. Максимально возможный глобальный группа симметрии не-суперсимметричный взаимодействующий теория поля это прямой продукт конформной группы с внутренняя группа.^[4] Такие теории известны как конформные теории поля.

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Март 2017 г.)

Фазовые переходы второго рода

Одно конкретное приложение - критические явления в системах с локальным взаимодействия. Колебания^{[требуется разъяснение ]} в таких системах конформно инвариантны в критической точке. Это позволяет классифицировать классы универсальности фазовых переходов с точки зрения конформные теории поля

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Март 2017 г.)

Конформная инвариантность также присутствует в двумерной турбулентности при высоких Число Рейнольдса.

Физика высоких энергий

Многие теории изучались в физика высоких энергий допускают конформную симметрию^{[Зачем? ]}. Знаменитый^{[Зачем? ]} пример - это N = 4 суперсимметричная теория Янга-Миллса. Так же мировой лист в теория струн описывается двумерная конформная теория поля связан с двумерной гравитацией.

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Март 2017 г.)

Смотрите также

• Конформная карта
• Конформная группа
• Теорема Коулмана – Мандулы
• Ренормализационная группа
• Масштабная инвариантность
• Суперконформная алгебра
• Конформное уравнение Киллинга

использованная литература