Матрица Картана - Cartan matrix

В математика, период, термин Матрица Картана имеет три значения. Все они названы в честь французов. математик Эли Картан. Забавно, что матрицы Картана в контексте Алгебры Ли были впервые исследованы Вильгельм Киллинг, тогда как Форма убийства связано с Картаном.^{[нужна цитата ]}

Алгебры Ли

А обобщенная матрица Картана это квадратная матрица ${ displaystyle A = (a_ {ij})}$ с интеграл такие записи, что

Для диагональных входов ${ displaystyle a_ {ii} = 2}$ .
Для недиагональных записей ${ displaystyle a_ {ij} leq 0}$ .
${ displaystyle a_ {ij} = 0}$ если и только если ${ displaystyle a_ {ji} = 0}$
${ displaystyle A}$ можно записать как ${ displaystyle DS}$ , куда ${ displaystyle D}$ это диагональная матрица, и ${ displaystyle S}$ это симметричная матрица.

Например, матрица Картана для грамм₂ можно разложить как таковые:

{ displaystyle { begin {bmatrix} 2 & -3 - 1 & 2 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 3 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} { frac {2 } {3}} & - 1 - 1 & 2 end {bmatrix}}.}

Третье условие не является независимым, но на самом деле является следствием первого и четвертого условий.

Мы всегда можем выбрать D с положительными диагональными элементами. В том случае, если S в приведенном выше разложении положительно определенный, тогда А считается Матрица Картана.

Матрица Картана простого Алгебра Ли матрица, элементами которой являются скалярные произведения

{ displaystyle a_ {ji} = 2 {(r_ {i}, r_ {j}) over (r_ {j}, r_ {j})}}

^[1]

(иногда называют Целые числа Картана) куда р_я являются простые корни алгебры. Записи являются неотъемлемой частью одного из свойств корни. Первое условие следует из определения, второе - из того, что при ${ displaystyle i neq j, r_ {j} - {2 (r_ {i}, r_ {j}) over (r_ {i}, r_ {i})} r_ {i}}$ это корень, который является линейная комбинация простых корней р_я и р_j с положительным коэффициентом при р_j а значит, коэффициент при р_я должно быть неотрицательным. Третий верен, потому что ортогональность - это симметричное отношение. И на последок пусть ${ displaystyle D_ {ij} = { delta _ {ij} over (r_ {i}, r_ {i})}}$ и ${ Displaystyle S_ {ij} = 2 (r_ {i}, r_ {j})}$ . Поскольку простые корни охватывают Евклидово пространство, S положительно определена.

Наоборот, по обобщенной матрице Картана можно восстановить соответствующую ей алгебру Ли. (Видеть Алгебра Каца – Муди Больше подробностей).

Классификация

An ${ Displaystyle п раз п}$ матрица А является разложимый если существует непустое собственное подмножество ${ Displaystyle I подмножество {1, точки, п }}$ такой, что ${ displaystyle a_ {ij} = 0}$ в любое время ${ displaystyle i in I}$ и ${ displaystyle j notin I}$ . А является неразложимый если он не разложим.

Позволять А - неразложимая обобщенная матрица Картана. Мы говорим что А имеет конечный тип если все это основные несовершеннолетние положительно, что А имеет аффинный тип если его собственные основные несовершеннолетние положительны и А имеет детерминант 0, и что А имеет неопределенный тип иначе.

Неразложимые матрицы конечного типа классифицируют конечномерные простые алгебры Ли (типов ${ displaystyle A_ {n}, B_ {n}, C_ {n}, D_ {n}, E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}, F_ {4}, G_ {2}}$ ), а неразложимые матрицы аффинного типа классифицируют аффинные алгебры Ли (скажем, над некоторым алгебраически замкнутым полем характеристики 0).

Определители матриц Картана простых алгебр Ли

Определители матриц Картана простых алгебр Ли, приведенные в следующей таблице (Наряду с A₁= B₁= C₁, B₂= C₂, D₃= А₃, D₂= А₁А₁, E₅= D₅, E₄= А₄, а E₃= А₂А₁)^[2]

А_п	B_п	C_п	D_п п ≥ 3	E_п 3 ≤ п ≤ 8	F₄	грамм₂
п + 1	2	2	4	9 − п	1	1

Еще одним свойством этого определителя является то, что он равен индексу связанной с ним корневой системы, т.е. равен ${ displaystyle | P / Q |}$ куда $P, Q$ обозначим решетку весов и решетку корней соответственно.

Представления конечномерных алгебр

В модульная теория представлений и вообще в теории представлений конечномерных ассоциативные алгебры А которые нет полупростой, а Матрица Картана определяется рассмотрением (конечного) множества основные неразложимые модули и письмо серия композиций для них с точки зрения неприводимые модули, давая матрицу целых чисел, подсчитывающую количество вхождений неприводимого модуля.

Матрицы Картана в M-теории

В М-теория, можно рассматривать геометрию с двухцикловый которые пересекаются друг с другом в конечном числе точек, в пределе, когда площадь двух циклов обращается в ноль. На этом пределе появляется группа локальной симметрии. Матрица номера перекрестков базиса двух циклов предполагается матрица Картана Алгебра Ли этой локальной группы симметрии.^[3]

Это можно объяснить следующим образом. В М-теории есть солитоны которые представляют собой двумерные поверхности, называемые мембраны или же 2-браны. 2-брана имеет напряжение и, таким образом, имеет тенденцию к сжатию, но он может оборачиваться за два цикла, что предотвращает его сжатие до нуля.

Один может компактифицировать одно измерение, которое является общим для всех двух циклов и их точек пересечения, а затем принять предел, при котором это измерение сжимается до нуля, таким образом получая уменьшение размеров по этому измерению. Тогда возникает тип IIA. теория струн как предел М-теории, с 2-бранами, охватывающими два цикла, теперь описываемых открытой струной, натянутой между D-браны. Существует U (1) локальная группа симметрии для каждой D-браны, напоминающая степень свободы перемещать его без изменения его ориентации. Предел, при котором два цикла имеют нулевую площадь, является пределом, когда эти D-браны находятся друг над другом, так что получается улучшенная локальная группа симметрии.

Теперь открытая струна, натянутая между двумя D-бранами, представляет собой генератор алгебры Ли, а коммутатор из двух таких образующих является третий, представленный открытой струной, которую получают путем склеивания краев двух открытых струн. Последнее соотношение между различными открытыми струнами зависит от того, каким образом 2-браны могут пересекаться в исходной M-теории, то есть от числа пересечений двух циклов. Таким образом, алгебра Ли полностью зависит от этих чисел пересечений. Точная связь с матрицей Картана объясняется тем, что последняя описывает коммутаторы матрицы простые корни, которые связаны с двумя циклами в выбранном базисе.

Генераторы в Подалгебра Картана представлены открытыми струнами, которые натянуты между D-браной и самой собой.

Смотрите также

Примечания

^ Джорджи, Ховард (1999-10-22). Алгебры Ли в физике элементарных частиц (2-е изд.). Westview Press. п. 115. ISBN 0-7382-0233-9.
^ Определители Картана-Грама для простых групп Ли Альфред К. Т. Ву, J. Math. Phys. Vol. 23, No. 11, ноябрь 1982 г.
^ Сен, Ашок (1997). «Заметка о расширенных калибровочных симметриях в M- и теории струн». Журнал физики высоких энергий. 1997 (9): 001. arXiv:hep-th / 9707123. Дои:10.1088/1126-6708/1997/09/001.

внешняя ссылка

[1] Джорджи, Ховард (1999-10-22). Алгебры Ли в физике элементарных частиц (2-е изд.). Westview Press. п. 115. ISBN 0-7382-0233-9.

[2] Определители Картана-Грама для простых групп Ли Альфред К. Т. Ву, J. Math. Phys. Vol. 23, No. 11, ноябрь 1982 г.

[3] Сен, Ашок (1997). «Заметка о расширенных калибровочных симметриях в M- и теории струн». Журнал физики высоких энергий. 1997 (9): 001. arXiv:hep-th / 9707123. Дои:10.1088/1126-6708/1997/09/001.

[1]

[2]

[3]