Соленоид (математика) - Solenoid (mathematics)

На этой странице обсуждается класс топологических групп. Обмотанную проволочную петлю см. Соленоид.

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Кватернион группа Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

Соленоид Смейла-Вильямса.

В математика, а соленоид это компактный связаны топологическое пространство (т.е. континуум ), который может быть получен как обратный предел обратной системы топологические группы и непрерывный гомоморфизмы

(S_я, ж_я),     ж_я: S_я+1 → S_я,     я ≥ 0,

где каждый S_я это круг и ж_я карта, равномерно охватывающая круг S_я+1 п_я раз (п_я ≥ 2) по кругу S_я. Это построение может быть выполнено геометрически в трехмерном пространстве. Евклидово пространство р³. Соленоид - это одномерный однородный неразложимый континуум имеющий структуру компактного топологическая группа.

В частном случае, когда все п_я иметь одинаковую ценность п, так что обратная система определяется умножением на п собственное отображение круга, соленоиды были впервые введены Vietoris за п = 2 и по ван Данциг для произвольного п. Такой соленоид возникает как одномерный расширяющийся аттрактор, или же Аттрактор Смейла – Вильямса, и является важным примером в теории гиперболический динамические системы.

Геометрическая конструкция и аттрактор Смейла – Вильямса.

Полноценный тор дважды обернут внутрь другого полнотория в р³

Первые шесть шагов построения аттрактора Смейла-Вильямса.

Каждый соленоид может быть построен как пересечение вложенной системы полнотория в р³.

Зафиксируем последовательность натуральных чисел {п_я}, п_я ≥ 2. Пусть Т₀ = S¹ × D быть полноторие. Для каждого я ≥ 0, выберем полноторие Т_я+1 который завернут в продольном направлении п_я раз внутри полнотория Т_я. Тогда их пересечение

${ Displaystyle Lambda = bigcap _ {я geq 0} T_ {я}}$

является гомеоморфный к соленоиду, построенному как обратный предел системы окружностей с отображениями, определяемыми последовательностью {п_я}.

Вот вариант этой конструкции, выделенный Стивен Смейл как пример расширяющийся аттрактор в теории гладких динамических систем. Обозначим угловую координату на окружности S¹ к т (определяется по модулю 2π) и рассмотрим комплексную координату z на двумерном единичный диск D. Позволять ж быть отображением полнотория Т = S¹ × D в себя, задаваемое явной формулой

${ displaystyle f (t, z) = left (2t, { tfrac {1} {4}} z + { tfrac {1} {2}} e ^ {it} right).}$

Эта карта гладкая встраивание из Т в себя, что сохраняет слоение меридиональными дисками (постоянные 1/2 и 1/4 несколько произвольны, но существенно, что 1/4 <1/2 и 1/4 + 1/2 <1). Если Т представляет собой резиновую трубку, карта ж растягивает ее в продольном направлении, сжимает каждый меридиональный диск и дважды оборачивает деформированную трубу внутрь Т со скручиванием, но без самопересечений. В гиперболический набор Λ дискретной динамической системы (Т, ж) является пересечением описанной выше последовательности вложенных полноторий, где Т_я это изображение Т под яй итерация карты ж. Этот набор является одномерным (в смысле топологическая размерность ) аттрактор, а динамика ж на Λ обладает следующими интересными свойствами:

• меридиональные диски стабильные многообразия, каждый из которых пересекает Λ через Кантор набор
• периодические точки из ж находятся плотный в Λ
• карта ж является топологически транзитивный на Λ

Общая теория соленоидов и расширяющихся аттракторов, не обязательно одномерных, была разработана Р. Ф. Уильямсом и включает проективную систему бесконечного числа копий компактного разветвленный коллектор вместо круга вместе с расширяющимсяпогружение.

Патологические свойства

Соленоиды компактный метризуемые пространства которые связаны, но нет локально связанный или же путь подключен. Это отражено в их патологический поведение по отношению к различным теории гомологии, в отличие от стандартных свойств гомологии для симплициальные комплексы. В Чешская гомология, можно построить неточный длинная последовательность гомологии с помощью соленоида. В Стинрод теории гомологии стилей,^[1] 0-я группа гомологий соленоида может иметь довольно сложную структуру, даже если соленоид является связным пространством.

Смотрите также

• Проторус, класс топологических групп, включающий соленоиды
• Понтрягинская двойственность
• Обратный предел
• p-адическое число
• Бесконечное целое число

Рекомендации

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Январь 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

• Д. ван Данциг, Ueber topologisch homogen Kontinua, Фонд. Математика. 15 (1930), стр. 102–125.
• «Соленоид», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Кларк Робинсон, Динамические системы: устойчивость, символическая динамика и хаос, 2-е издание, CRC Press, 1998 г. ISBN  978-0-8493-8495-0
• С. Смейл, Дифференцируемые динамические системы, Бык. АПП, 73 (1967), 747 – 817.
• Л. Вьеторис, Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen, Математика. Анна. 97 (1927), стр. 454–472
• Роберт Ф. Уильямс, Расширяющиеся аттракторы, Publ. Математика. ИГЭС, т. 43 (1974), стр. 169–203

дальнейшее чтение

• Семмс, Стивен (12 января 2012 г.), Несколько замечаний о соленоидах, arXiv:1201.2647, Bibcode:2012arXiv1201.2647S