Группа петель - Loop group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный грамм2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

В математика, а группа петель это группа из петли в топологическая группа грамм с определением умножения точечно.

Определение

В самом общем виде группа петель - это группа непрерывных отображений из многообразие M в топологическую группу грамм.

В частности,^[1] позволять M = S¹, кружок в комплексная плоскость, и разреши LG обозначить Космос из непрерывные карты S¹ → грамм, т.е.

${ Displaystyle LG = { гамма: S ^ {1} к G | гамма в C (S ^ {1}, G) },}$

оснащен компактно-открытая топология. Элемент LG называется петля в грамм. Поточечное умножение таких петель дает LG структура топологической группы. Параметризация S¹ с θ,

${ Displaystyle гамма: тета в S ^ {1} mapsto гамма ( тета) в G,}$

и определим умножение в LG к

${ displaystyle ( gamma _ {1} gamma _ {2}) ( theta) Equiv gamma _ {1} ( theta) gamma _ {2} ( theta).}$

Ассоциативность следует из ассоциативности в грамм. Обратное дается формулой

${ Displaystyle гамма ^ {- 1}: гамма ^ {- 1} ( тета) эквив гамма ( тета) ^ {- 1},}$

и идентичность

${ displaystyle e: theta mapsto e in G.}$

Космос LG называется группа свободной петли на грамм. Группа петель - это любая подгруппа группы свободных петель LG.

Примеры

Важным примером петлевой группы является группа

${ displaystyle Omega G ,}$

основанных петель на грамм. Он определен как ядро ​​оценочной карты

${ displaystyle e_ {1}: LG to G, gamma mapsto gamma (1)}$,

и, следовательно, является закрытым нормальная подгруппа из LG. (Здесь, е₁ это карта, которая отправляет цикл к своему значению в ${ Displaystyle 1 в S ^ {1}}$.) Обратите внимание, что мы можем вставить грамм в LG как подгруппа постоянных петель. Следовательно, мы приходим к разделить точную последовательность

${ displaystyle 1 to Omega G to LG to G to 1}$.

Космос LG раскалывается как полупрямой продукт,

${ displaystyle LG = Omega G rtimes G}$.

Мы также можем думать о Ωграмм как пространство петли на грамм. С этой точки зрения, Ωграмм является H-пространство относительно конкатенации циклов. На первый взгляд, это дает Ωграмм с двумя очень разными картами товаров. Однако можно показать, что конкатенация и поточечное умножение гомотопный. Таким образом, с точки зрения гомотопической теории Ωграмм, эти карты взаимозаменяемы.

Группы петель были использованы для объяснения феномена Бэклунд преобразовывает в солитон уравнения Чу-Лиан Тернг и Карен Уленбек.^[2]

Примечания

Рекомендации

• Bäuerle, G.G.A; де Керф, Э.А. (1997). А. ван Грезен; Э.М. де Ягер; A.P.E. Тен Кроуд (ред.). Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике. Исследования по математической физике. 7. Северная Голландия. ISBN  978-0-444-82836-1 - через ScienceDirect.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Прессли, Эндрю; Сигал, Грэм (1986), Группы петель, Оксфордские математические монографии. Oxford Science Publications, Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853535-5, МИСТЕР  0900587

Смотрите также

• Пространство петли
• Алгебра петель
• Квазигруппа