Компактная алгебра Ли - Compact Lie algebra

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный грамм2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

в математический поле Теория лжи, Существуют два определения из компактный Алгебра Ли. Внешне и топологически компактная алгебра Ли - это алгебра Ли компактная группа Ли;^[1] это определение включает торы. По сути и алгебраически компактная алгебра Ли - это вещественная алгебра Ли, Форма убийства является отрицательно определенный; это определение более ограничительное и исключает торы.^[2] Компактную алгебру Ли можно рассматривать как наименьшую реальная форма соответствующей комплексной алгебры Ли, а именно комплексификации.

Определение

Формально компактную алгебру Ли можно определить либо как алгебру Ли компактной группы Ли, либо как вещественную алгебру Ли, форма Киллинга которой отрицательно определена. Эти определения не совсем совпадают:^[2]

• Форма Киллинга на алгебре Ли компактной группы Ли есть отрицательный полуопределенный, а не отрицательный определенный в целом.
• Если форма Киллинга алгебры Ли отрицательно определена, то алгебра Ли является алгеброй Ли компактного полупростой Группа Ли.

В общем случае алгебра Ли компактной группы Ли разлагается как прямая сумма алгебры Ли коммутативного слагаемого (для которого соответствующая подгруппа является тором) и слагаемого, на котором форма Киллинга отрицательно определена.

Важно отметить, что обратное первому результату выше неверно: даже если форма Киллинга алгебры Ли отрицательно полуопределенная, это не означает, что алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой компактной группы. Например, форма Киллинга на алгебре Ли группы Гейзенберга тождественно нулевая, следовательно, отрицательно полуопределенная, но эта алгебра Ли не является алгеброй Ли какой-либо компактной группы.

Характеристики

• Компактные алгебры Ли редуктивный;^[3] заметим, что аналогичный результат верен для компактных групп в целом.
• Алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ для компактной группы Ли грамм допускает объявление (грамм) -инвариантный внутренний продукт,.^[4] Наоборот, если ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ допускает Ad-инвариантный внутренний продукт, тогда ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ является алгеброй Ли некоторой компактной группы.^[5] Если ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ является полупростым, этот внутренний продукт можно рассматривать как отрицание формы Киллинга. Таким образом, относительно этого внутреннего продукта Ad (грамм) действует ортогональные преобразования (${ displaystyle operatorname {SO} ({ mathfrak {g}})}$) и ${ displaystyle operatorname {ad} { mathfrak {g}}}$ действует кососимметричные матрицы (${ displaystyle { mathfrak {so}} ({ mathfrak {g}})}$).^[4] Теорию комплексных полупростых алгебр Ли можно развить, рассматривая их как комплексификации алгебр Ли компактных групп;^[6] наличие Ad-инвариантного внутреннего продукта в компактной реальной форме значительно упрощает разработку.

  Это можно рассматривать как компактный аналог Теорема Адо о представимости алгебр Ли: так же, как всякая конечномерная алгебра Ли характеристики 0 вкладывается в ${ displaystyle { mathfrak {gl}},}$ каждая компактная алгебра Ли вкладывается в ${ displaystyle { mathfrak {so}}.}$

• В Диаграмма сатаке компактной алгебры Ли - это Диаграмма Дынкина комплексной алгебры Ли с все вершины почернели.
• Компактные алгебры Ли противоположны расщепить вещественные алгебры Ли среди реальные формы, расщепляющие алгебры Ли «насколько это возможно» от компактности.

Классификация

Компактные алгебры Ли классифицированы и названы в соответствии с компактные реальные формы комплекса полупростые алгебры Ли. Это:

• ${ displaystyle A_ {n}:}$ ${ displaystyle { mathfrak {su}} _ {n + 1},}$ соответствующий особая унитарная группа (собственно компактная форма - БП, проективная специальная унитарная группа );
• ${ displaystyle B_ {n}:}$ ${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {2n + 1},}$ соответствующий специальная ортогональная группа (или же ${ displaystyle { mathfrak {o}} _ {2n + 1},}$ соответствующий ортогональная группа );
• ${ displaystyle C_ {n}:}$ ${ displaystyle { mathfrak {sp}} _ {n},}$ соответствующий компактная симплектическая группа; иногда написано ${ displaystyle { mathfrak {usp}} _ {n},}$;
• ${ displaystyle D_ {n}:}$ ${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {2n},}$ соответствующий специальная ортогональная группа (или же ${ displaystyle { mathfrak {o}} _ {2n},}$ соответствующий ортогональная группа ) (собственно, компактная форма - PSO, проективная специальная ортогональная группа );
• Компактные вещественные формы исключительных алгебр Ли ${ displaystyle E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}, F_ {4}, G_ {2}.}$

Изоморфизмы

В исключительные изоморфизмы связанных Диаграммы Дынкина дают исключительные изоморфизмы компактных алгебр Ли и соответствующих групп Ли.

Классификация не является избыточной, если взять ${ Displaystyle п geq 1}$ за ${ displaystyle A_ {n},}$ ${ Displaystyle п geq 2}$ за ${ displaystyle B_ {n},}$ ${ Displaystyle п geq 3}$ за ${ displaystyle C_ {n},}$ и ${ displaystyle n geq 4}$ за ${ displaystyle D_ {n}.}$ Если вместо этого взять ${ Displaystyle п geq 0}$ или же ${ Displaystyle п geq 1}$ можно получить определенные исключительные изоморфизмы.

За ${ displaystyle n = 0,}$ ${ Displaystyle A_ {0} cong B_ {0} cong C_ {0} cong D_ {0}}$ - тривиальная диаграмма, соответствующая тривиальной группе ${ displaystyle operatorname {SU} (1) cong operatorname {SO} (1) cong operatorname {Sp} (0) cong operatorname {SO} (0).}$

За ${ Displaystyle п = 1,}$ изоморфизм ${ Displaystyle { mathfrak {су}} _ {2} cong { mathfrak {so}} _ {3} cong { mathfrak {sp}} _ {1}}$ соответствует изоморфизму диаграмм ${ Displaystyle A_ {1} cong B_ {1} cong C_ {1}}$ и соответствующие изоморфизмы групп Ли ${ displaystyle operatorname {SU} (2) cong operatorname {Spin} (3) cong operatorname {Sp} (1)}$ (3-сфера или кватернионы единиц ).

За ${ Displaystyle п = 2,}$ изоморфизм ${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {5} cong { mathfrak {sp}} _ {2}}$ соответствует изоморфизму диаграмм ${ Displaystyle B_ {2} cong C_ {2},}$ и соответствующий изоморфизм групп Ли ${ displaystyle operatorname {Sp} (2) cong operatorname {Spin} (5).}$

За ${ Displaystyle п = 3,}$ изоморфизм ${ displaystyle { mathfrak {su}} _ {4} cong { mathfrak {so}} _ {6}}$ соответствует изоморфизму диаграмм ${ Displaystyle A_ {3} cong D_ {3},}$ и соответствующий изоморфизм групп Ли ${ displaystyle operatorname {SU} (4) cong operatorname {Spin} (6).}$

Если учесть ${ displaystyle E_ {4}}$ и ${ displaystyle E_ {5}}$ как диаграммы, они изоморфны ${ displaystyle A_ {4}}$ и ${ displaystyle D_ {5},}$ соответственно с соответствующими изоморфизмами алгебр Ли.

Смотрите также

• Реальная форма
• Расщепленная алгебра Ли

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

• Группа Ли, компактная, В.Л. Попов, в Энциклопедия математики, ISBN  1-4020-0609-8, SpringerLink