Представление группы Ли - Representation of a Lie group

В математика и теоретическая физика, а представление Группа Ли является линейным действием группы Ли на векторном пространстве. Эквивалентно представление - это гладкий гомоморфизм группы в группу обратимых операторов в векторном пространстве. Представления играют важную роль в изучении непрерывных симметрия. О таких представлениях известно очень много, и основным инструментом в их изучении является использование соответствующих «бесконечно малых» представления алгебр Ли.

Конечномерные представления

Представления

Обсудим сначала представления групп, действующих в конечномерном векторном пространстве над полем ${ Displaystyle mathbb {C}}$ . (Иногда также рассматриваются представления о пространствах над полем действительных чисел.) представление из Группа Ли грамм, действуя на п-размерный векторное пространство V над ${ Displaystyle mathbb {C}}$ тогда гладкий групповой гомоморфизм

{ Displaystyle Pi: G rightarrow OperatorName {GL} (V)}

,

куда ${ displaystyle operatorname {GL} (V)}$ это общая линейная группа всех обратимых линейных преобразований ${ displaystyle V}$ под их состав. Поскольку все п-мерные пространства изоморфны, группа ${ displaystyle operatorname {GL} (V)}$ можно отождествить с группой обратимых комплексных ${ Displaystyle п раз п}$ матрицы, в общем называется ${ displaystyle operatorname {GL} (n; mathbb {C}).}$ Плавность карты ${ displaystyle Pi}$ можно рассматривать как техническую часть, поскольку любой непрерывный гомоморфизм автоматически будет гладким.^[1]

В качестве альтернативы мы можем описать представление группы Ли ${ displaystyle G}$ как линейное действие из ${ displaystyle G}$ в векторном пространстве ${ displaystyle V}$ . Условно мы бы тогда написали ${ displaystyle g cdot v}$ на месте ${ Displaystyle Pi (g) v}$ кстати, групповой элемент ${ displaystyle g in G}$ действует на вектор ${ displaystyle v in V}$ .

Типичным примером, в котором представления возникают в физике, может быть изучение линейного уравнения в частных производных, имеющего группу симметрии ${ displaystyle G}$ . Хотя отдельные решения уравнения могут не быть инвариантными под действием ${ displaystyle G}$ , то Космос ${ displaystyle V}$ всех решений инвариантна под действием ${ displaystyle G}$ . Таким образом, ${ displaystyle V}$ представляет собой представление ${ displaystyle G}$ . См. Пример SO (3), обсуждаемый ниже.

Основные определения

Если гомоморфизм ${ displaystyle Pi}$ инъективно (т.е. мономорфизм ) представление называется верный.

Если основа для комплексного векторного пространства V выбрано, представление можно выразить как гомоморфизм в общая линейная группа ${ Displaystyle OperatorName {GL} (п; mathbb {C})}$ . Это известно как матричное представление. Два представления грамм на векторных пространствах V, W находятся эквивалент если они имеют одинаковые матричные представления относительно некоторых вариантов базиса V и W.

Учитывая представление ${ Displaystyle Pi: G rightarrow OperatorName {GL} (V)}$ , мы говорим, что подпространство W из V является инвариантное подпространство если ${ Displaystyle Pi (g) ш в W}$ для всех ${ displaystyle g in G}$ и ${ displaystyle w in W}$ . Представление называется несводимый если единственные инвариантные подпространства V нулевое пространство и V сам. Для некоторых типов групп Ли, а именно компактных^[2] и полупростой^[3] групп, каждое конечномерное представление разлагается как прямая сумма неприводимых представлений, свойство, известное как полная сводимость. Для таких групп типичной целью теории представлений является классификация всех конечномерных неприводимых представлений данной группы с точностью до изоморфизма. (См. Раздел Классификация ниже.)

А унитарное представительство на конечномерном внутреннем пространстве продукта определяется таким же образом, за исключением того, что ${ displaystyle Pi}$ требуется для отображения в группу унитарные операторы. Если грамм это компактная группа Ли, всякое конечномерное представление эквивалентно унитарному.^[4]

Представления алгебры Ли

Каждое представление группы Ли грамм порождает представление своей алгебры Ли; это соответствие подробно обсуждается в последующих разделах. Видеть представление алгебр Ли для теории алгебры Ли.

Пример: группа вращения SO (3)

В квантовой механике не зависящие от времени Уравнение Шредингера, ${ displaystyle { hat {H}} psi = E psi}$ играет важную роль. В трехмерном случае, если ${ displaystyle { hat {H}}}$ имеет вращательную симметрию, то пространство ${ displaystyle V_ {E}}$ решений для ${ displaystyle { hat {H}} psi = E psi}$ будет инвариантным относительно действия SO (3). Таким образом, ${ displaystyle V_ {E}}$ будет - для каждого фиксированного значения ${ displaystyle E}$ - составить представление SO (3), которое обычно является конечномерным. Пытаясь решить ${ displaystyle { hat {H}} psi = E psi}$ , это помогает узнать, как выглядят все возможные конечномерные представления SO (3). Теория представлений SO (3) играет ключевую роль, например, в математическом анализе атом водорода.

Каждый стандартный учебник по квантовой механике содержит анализ, который по существу классифицирует конечномерные неприводимые представления SO (3) с помощью его алгебры Ли. (Коммутационные соотношения между операторами углового момента - это просто соотношения для алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3)}$ из SO (3).) Одна тонкость этого анализа состоит в том, что представления группы и алгебры Ли не находятся во взаимно однозначном соответствии, что имеет решающее значение для понимания различия между целочисленное вращение и полуцелое вращение.

Обыкновенные представления

В группа вращения SO (3) является компактной группой Ли, и поэтому любое конечномерное представление SO (3) распадается как прямая сумма неприводимых представлений. Группа SO (3) имеет по одному неприводимому представлению в каждой нечетной размерности.^[5] Для каждого неотрицательного целого числа ${ displaystyle k}$ неприводимое представление размерности ${ displaystyle 2k + 1}$ может быть реализован как пространство ${ displaystyle V_ {k}}$ однородных гармонический полиномы на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ степени ${ displaystyle k}$ .^[6] Здесь SO (3) действует на ${ displaystyle V_ {k}}$ обычным образом, когда вращения действуют на функции на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ :

{ displaystyle ( Pi (R) f) (x) = f (R ^ {- 1} x) quad R in operatorname {SO} (3).}

Ограничение на единичную сферу ${ Displaystyle S ^ {2}}$ элементов ${ displaystyle V_ {k}}$ являются сферические гармоники степени ${ displaystyle k}$ .

Если, скажем, ${ displaystyle k = 1}$ , то все однородные степени один многочлены гармоничны, и мы получаем трехмерное пространство ${ displaystyle V_ {1}}$ натянутая на линейные многочлены ${ displaystyle x}$ , ${ displaystyle y}$ , и ${ displaystyle z}$ . Если ${ displaystyle k = 2}$ , космос ${ displaystyle V_ {2}}$ натянута на многочлены ${ displaystyle xy}$ , ${ displaystyle xz}$ , ${ displaystyle yz}$ , ${ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}}$ , и ${ displaystyle x ^ {2} -z ^ {2}}$ .

Как отмечалось выше, конечномерные представления SO (3) естественным образом возникают при изучении не зависящего от времени уравнения Шредингера для радиального потенциала, такого как атом водорода, как отражение вращательной симметрии задачи. (См. Роль сферических гармоник в математический анализ водорода.)

Проективные представления

Если мы посмотрим на алгебру Ли ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3)}$ алгебры SO (3) эта алгебра Ли изоморфна алгебре Ли ${ Displaystyle { mathfrak {су}} (2)}$ из SU (2). Посредством теория представлений ${ Displaystyle { mathfrak {су}} (2)}$ , тогда существует одно неприводимое представление ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3)}$ в каждый измерение. Однако четномерные представления не соответствуют представлениям группа ТАК (3).^[7] Однако эти так называемые представления «дробного спина» соответствуют проективный представления СО (3). Эти представления возникают в квантовой механике частиц с дробным спином, таких как электрон.

Операции с представительствами

В этом разделе мы описываем три основные операции с представлениями.^[8] См. Также соответствующие конструкции для представлений алгебры Ли.

Прямые суммы

Если у нас есть два представления группы ${ displaystyle G}$ , ${ displaystyle Pi _ {1}: G rightarrow GL (V_ {1})}$ и ${ displaystyle Pi _ {2}: G rightarrow GL (V_ {2})}$ , то прямая сумма имел бы ${ Displaystyle V_ {1} oplus V_ {2}}$ как основное векторное пространство, с действием группы, заданной

{ Displaystyle Pi (g) (v_ {1}, v_ {2}) = ( Pi _ {1} (g) v_ {1}, Pi _ {2} (g) v_ {2}), }

для всех ${ displaystyle v_ {1} in V_ {1},}$ ${ displaystyle v_ {2} in V_ {2}}$ , и ${ displaystyle g in G}$ .

Некоторые типы групп Ли, в частности компактные группы Ли, обладают тем свойством, что каждый Конечномерное представление изоморфно прямой сумме неприводимых представлений.^[9] В таких случаях классификация представлений сводится к классификации неприводимых представлений. Видеть Теорема Вейля о полной сводимости.

Тензорные произведения представлений

Если у нас есть два представления группы ${ displaystyle G}$ , ${ displaystyle Pi _ {1}: G rightarrow GL (V_ {1})}$ и ${ displaystyle Pi _ {2}: G rightarrow GL (V_ {2})}$ , то тензорное произведение представлений имели бы тензорное произведение векторное пространство ${ displaystyle V_ {1} otimes V_ {2}}$ как основное векторное пространство, с действием ${ displaystyle G}$ однозначно определяется предположением, что

{ Displaystyle Pi (g) (v_ {1} otimes v_ {2}) = ( Pi _ {1} (g) v_ {1}) otimes ( Pi _ {2} (g) v_ { 2})}

для всех ${ displaystyle v_ {1} in V_ {1}}$ и ${ displaystyle v_ {2} in V_ {2}}$ . То есть, ${ Displaystyle Pi (g) = Pi _ {1} (g) otimes Pi _ {2} (g)}$ .

Представление алгебры Ли ${ displaystyle pi}$ связанный с тензорным представлением произведения ${ displaystyle Pi}$ дается формулой:^[10]

{ displaystyle pi (X) = pi _ {1} (X) otimes I + I otimes pi _ {2} (X).}

Тензорное произведение двух неприводимых представлений обычно неприводимо; тогда основная проблема теории представлений состоит в том, чтобы разложить тензорные произведения неприводимых представлений в виде прямой суммы неприводимых подпространств. Эта проблема носит название «сложение углового момента» или «Теория Клебша – Гордана "в физической литературе.

Двойные представления

Позволять ${ displaystyle G}$ группа Ли и ${ Displaystyle Pi: G rightarrow GL (V)}$ - представление группы G. Пусть ${ Displaystyle V ^ {*}}$ - двойственное пространство, т. е. пространство линейных функционалов на ${ displaystyle V}$ . Тогда мы можем определить представление ${ displaystyle Pi ^ {*}: G rightarrow GL (V ^ {*})}$ по формуле

{ displaystyle Pi ^ {*} (g) = ( Pi (g ^ {- 1})) ^ { operatorname {tr}},}

где для любого оператора ${ displaystyle A: V rightarrow V}$ , оператор транспонирования ${ displaystyle A ^ { operatorname {tr}}: V ^ {*} rightarrow V ^ {*}}$ определяется как «композиция с ${ displaystyle A}$ "оператор:

{ displaystyle (A ^ { operatorname {tr}} phi) (v) = phi (Av).}

(Если мы работаем в базе, то ${ displaystyle A ^ { operatorname {tr}}}$ это просто обычная матрица, транспонированная ${ displaystyle A}$ .) Обратное в определении ${ displaystyle Pi ^ {*}}$ необходимо для того, чтобы ${ displaystyle Pi ^ {*}}$ на самом деле представляет собой представление ${ displaystyle G}$ , в свете идентичности ${ displaystyle (AB) ^ { operatorname {tr}} = B ^ { operatorname {tr}} A ^ { operatorname {tr}}}$ .

Двойственное к неприводимому представлению всегда неприводимо,^[11] но может быть или не быть изоморфным исходному представлению. В случае группы SU (3), например, неприводимые представления помечены парой ${ Displaystyle (м_ {1}, м_ {2})}$ неотрицательных целых чисел. Двойственное представление, связанное с ${ Displaystyle (м_ {1}, м_ {2})}$ представление, связанное с ${ Displaystyle (м_ {2}, м_ {1})}$ .^[12]

Группа Ли против представлений алгебры Ли

Обзор

Во многих случаях удобно изучать представления группы Ли, изучая представления ассоциированной алгебры Ли. В общем, однако, не всякое представление алгебры Ли происходит из представления группы. Этот факт, например, лежит в основе различия между целочисленное вращение и полуцелое вращение в квантовой механике. С другой стороны, если грамм это односвязный группа, то теорема^[13] говорит, что мы действительно получаем взаимно однозначное соответствие между представлениями группы и алгебры Ли.

Позволять $грамм$ - группа Ли с алгеброй Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , и предположим, что представление ${ displaystyle pi}$ из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ под рукой. В Ложная переписка может использоваться для получения групповых представлений связной компоненты $грамм$ . Грубо говоря, это достигается взятием матрица экспонента матриц представления алгебры Ли. Тонкость возникает, если $грамм$ не является односвязный. Это может привести к проективные представления или, говоря физическим языком, многозначные представления $грамм$ . На самом деле это представления универсальная группа покрытий из $грамм$ .

Эти результаты будут объяснены более подробно ниже.

Соответствие Ли дает результаты только для связного компонента групп, и, таким образом, другие компоненты полной группы рассматриваются отдельно, давая представителей для матриц, представляющих эти компоненты, по одному для каждого компонента. Эти формы (представителей) нулевая гомотопическая группа из $грамм$ . Например, в случае четырехкомпонентного Группа Лоренца, представители космическая инверсия и разворот времени должен быть вставлен рукой. Дальнейшие иллюстрации будут взяты из теория представлений группы Лоренца ниже.

Экспоненциальное отображение

Софус Ли, создатель Теория лжи. Теория коллекторы не был обнаружен во времена Лжи, поэтому он работал локально с подмножествами

{ displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}

Сегодня эту структуру можно было бы назвать местная группа.

Если ${ displaystyle G}$ группа Ли с алгеброй Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , то у нас есть экспоненциальное отображение из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ к ${ displaystyle G}$ , записанный как

{ displaystyle X mapsto e ^ {X}, quad X in { mathfrak {g}}.}

Если ${ displaystyle G}$ - матричная группа Ли, выражение ${ displaystyle e ^ {X}}$ можно вычислить с помощью обычного степенного ряда для экспоненты. В любой группе Ли существуют окрестности ${ displaystyle U}$ идентичности в ${ displaystyle G}$ и ${ displaystyle V}$ происхождения в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ с тем свойством, что каждый ${ displaystyle g}$ в ${ displaystyle U}$ можно записать однозначно как ${ displaystyle g = e ^ {X}}$ с ${ displaystyle X in V}$ . То есть экспоненциальная карта имеет местный обратный. В большинстве групп это только местные; то есть экспоненциальное отображение обычно не является ни взаимно однозначным, ни прямым.

Представления алгебры Ли из представлений групп

Всегда можно перейти от представления группы Ли $грамм$ к представлению своей алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}.}$ Если $Π: грамм \to GL (V)$ представляет собой групповое представление для некоторого векторного пространства $V$ , то его продвигать (дифференциал) при идентичности, или Карта лжи, ${ displaystyle pi: { mathfrak {g}} to { text {End}} V}$ является представлением алгебры Ли. Он явно вычисляется с использованием^[14]

{ displaystyle pi (X) = left. { frac {d} {dt}} Pi (e ^ {tX}) right | _ {t = 0}, quad X in { mathfrak { грамм}}.}

(G6)

Основное свойство, относящееся к ${ displaystyle Pi}$ и ${ displaystyle pi}$ включает экспоненциальную карту:^[15]

{ displaystyle Pi (e ^ {X}) = e ^ { pi (X)}.}

Вопрос, который мы хотим исследовать, заключается в том, каждое ли представление ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ возникает таким образом из представлений группы ${ displaystyle G}$ . Как мы увидим, это тот случай, когда ${ displaystyle G}$ просто связано.

Представления групп из представлений алгебры Ли

Основным результатом этого раздела является следующее:^[16]

Теорема: Если

{ displaystyle G}

односвязно, то каждое представление

{ displaystyle pi}

алгебры Ли

{ displaystyle { mathfrak {g}}}

из

{ displaystyle G}

происходит из представления

{ displaystyle Pi}

из

{ displaystyle G}

сам.

Отсюда легко выводим следующее:

Следствие: Если

{ displaystyle G}

связано, но не односвязно, каждое представление

{ displaystyle pi}

из

{ displaystyle { mathfrak {g}}}

происходит из представления

{ displaystyle Pi}

из

{ displaystyle { tilde {G}}}

универсальная обложка

{ displaystyle G}

. Если

{ displaystyle pi}

неприводимо, то

{ displaystyle Pi}

спускается к проективное представление из

{ displaystyle G}

.

Проективное представление - это такое представление, в котором каждый ${ Displaystyle Pi (г), , г в G,}$ определяется только с точностью до умножения на константу. В квантовой физике естественно допускать проективные представления в дополнение к обычным, потому что состояния действительно определены только с точностью до константы. (То есть, если ${ displaystyle psi}$ вектор в квантовом гильбертовом пространстве, то ${ displaystyle c psi}$ представляет одно и то же физическое состояние для любой постоянной ${ displaystyle c}$ .) Каждый конечномерный проективное представление связной группы Ли ${ displaystyle G}$ происходит от обычного изображения универсальной крышки ${ displaystyle { tilde {G}}}$ из ${ displaystyle G}$ .^[17] Наоборот, как мы обсудим ниже, каждое неприводимое обычное представление ${ displaystyle { tilde {G}}}$ спускается к проективному представлению ${ displaystyle G}$ . В физической литературе проективные представления часто описываются как многозначные представления (т. Е. Каждое ${ Displaystyle Pi (г)}$ имеет не одну ценность, а целую семью ценностей). Это явление важно для изучения дробное вращение в квантовой механике.

Здесь

V

конечномерное векторное пространство,

GL (V)

- множество всех обратимых линейных преобразований на

V

и

{ Displaystyle { mathfrak {gl}} (V)}

это его алгебра Ли. Карты

π

и

Π

являются алгеброй Ли и представлениями групп соответственно, и

exp

- экспоненциальное отображение. Диаграмма коммутирует только до знака, если

Π

проективно.

Приведем схему доказательства основных результатов, приведенных выше. Предполагать ${ displaystyle pi: { mathfrak {g}} to { mathfrak {gl}} (V)}$ представляет собой представление ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ в векторном пространстве $V$ . Если будет ассоциированное представление группы Ли ${ displaystyle Pi}$ , он должен удовлетворять экспоненциальному соотношению из предыдущего пункта. Теперь, учитывая локальную обратимость экспоненты, мы можем определять карта ${ displaystyle Pi}$ из района ${ displaystyle U}$ идентичности в ${ displaystyle G}$ этим соотношением:

{ Displaystyle Pi (е ^ {X}) = e ^ { pi (X)}, quad g = e ^ {X} in U.}

Ключевой вопрос тогда заключается в следующем: является ли это локально определенное отображение «локальным гомоморфизмом»? (Этот вопрос применим даже в частном случае, когда экспоненциальное отображение глобально взаимно однозначно и на; в этом случае ${ displaystyle Pi}$ будет глобально определенной картой, но не очевидно, почему ${ displaystyle Pi}$ был бы гомоморфизмом.) Ответ на этот вопрос - да: ${ displaystyle Pi}$ является локальным гомоморфизмом, и это можно установить с помощью Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа.^[18]

Если ${ displaystyle G}$ связан, то каждый элемент ${ displaystyle G}$ по крайней мере товар экспонент элементов ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ . Таким образом, мы можем предварительно определить ${ displaystyle Pi}$ глобально следующим образом.

{ Displaystyle { begin {align} Pi (g = e ^ {X}) & Equiv e ^ { pi (X)}, && X in { mathfrak {g}}, quad g = e ^ {X} in operatorname {im} ( exp), Pi (g = g_ {1} g_ {2} cdots g_ {n}) & Equiv Pi (g_ {1}) Pi (g_ {2}) cdots Pi (g_ {n}), && g notin operatorname {im} ( exp), quad g_ {1}, g_ {2}, ldots, g_ {n} в operatorname {im} ( exp). end {align}}}

(G2)

Однако обратите внимание, что представление данного элемента группы как произведения экспонент очень далеко от уникального, поэтому очень далеко не ясно, что ${ displaystyle Pi}$ на самом деле хорошо определено.

Чтобы ответить на вопрос, ${ displaystyle Pi}$ хорошо определен, мы соединяем каждый элемент группы ${ displaystyle g in G}$ к личности, используя непрерывный путь. Тогда можно определить ${ displaystyle Pi}$ вдоль пути и показать, что значение ${ Displaystyle Pi (г)}$ не изменяется при непрерывной деформации пути с фиксированными конечными точками. Если ${ displaystyle G}$ односвязен, любой путь, начинающийся с идентификатора и заканчивающийся ${ displaystyle g}$ можно непрерывно деформировать в любой другой такой путь, показывая, что ${ Displaystyle Pi (г)}$ полностью не зависит от выбора пути. Учитывая, что первоначальное определение ${ displaystyle Pi}$ вблизи единицы был локальный гомоморфизм, нетрудно показать, что глобально определенное отображение также является гомоморфизмом, удовлетворяющим (G2).^[19]

Если ${ displaystyle G}$ не просто связано, мы можем применить описанную выше процедуру к универсальной крышке ${ displaystyle { tilde {G}}}$ из ${ displaystyle G}$ . Позволять ${ displaystyle p: { tilde {G}} rightarrow G}$ быть покрывающей картой. Если случится так, что ядро ${ Displaystyle Pi: { тильда {G}} rightarrow OperatorName {GL} (V)}$ содержит ядро ${ displaystyle p}$ , тогда ${ displaystyle Pi}$ спускается к представлению исходной группы ${ displaystyle G}$ . Даже если это не так, обратите внимание, что ядро ${ displaystyle p}$ дискретная нормальная подгруппа группы ${ displaystyle { tilde {G}}}$ , который поэтому находится в центре ${ displaystyle { tilde {G}}}$ . Таким образом, если ${ displaystyle pi}$ неприводимо, Лемма Шура следует, что ядро ${ displaystyle p}$ будет действовать скалярными кратными идентичности. Таким образом, ${ displaystyle Pi}$ спускается к проективный представление ${ displaystyle G}$ , то есть тот, который определен только по модулю скалярных кратных идентичности.

Наглядное изображение того, как универсальная накрывающая группа содержит все такие гомотопические классы, и его техническое определение (как множество и как группа) дано в геометрический вид.

Например, когда это специализируется на двусвязный $ТАК (3, 1) +$ универсальная накрывающая группа ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ , и будет ли его соответствующее представление верный решает, будет ли $Π$ является проективный.

Классификация в компактном корпусе

Если грамм это связанный компактный Группа Ли, ее конечномерные представления можно разложить как прямые суммы из неприводимые представления.^[20] Неприводимые классифицируются знаком "теорема наивысшего веса. »Мы даем краткое описание этой теории здесь; подробнее см. Статьи на теория представлений связной компактной группы Ли и параллельная теория классифицирующие представления полупростых алгебр Ли.

Позволять Т быть максимальный тор в грамм. К Лемма Шура неприводимые представления Т одномерные. Эти представления могут быть легко классифицированы и помечены определенными «аналитически интегральными элементами» или «весами». Если ${ displaystyle Sigma}$ является неприводимым представлением грамм, ограничение ${ displaystyle Sigma}$ к Т обычно не будет неприводимым, но он распадется как прямая сумма неприводимых представлений Т, помеченные соответствующими весами. (Один и тот же вес может встречаться более одного раза.) Для фиксированного ${ displaystyle Sigma}$ , можно идентифицировать один из весов как «наивысший», и представления затем классифицируются по этому наивысшему весу.

Важным аспектом теории представлений является связанная с ней теория символы. Здесь для представления ${ displaystyle Sigma}$ из грамм, символ - это функция

{ displaystyle chi _ {G}: G rightarrow mathbb {C}}

данный

{ displaystyle chi _ {G} (g) = operatorname {trace} ( Sigma (g)).}

Два представления с одинаковым характером оказываются изоморфными. Кроме того, Формула характера Вейля дает замечательную формулу характера представления с точки зрения его наибольшего веса. Эта формула не только дает много полезной информации о представлении, но и играет решающую роль в доказательстве теоремы о старшем весе.

Унитарные представления в гильбертовых пространствах

Позволять V - комплексное гильбертово пространство, которое может быть бесконечномерным, и пусть ${ Displaystyle U (V)}$ обозначим группу унитарных операторов на V. А унитарное представительство из Группа Ли грамм на V это групповой гомоморфизм ${ Displaystyle Pi: G rightarrow U (V)}$ со свойством, что для каждого фиксированного ${ displaystyle v in V}$ , карта

{ Displaystyle g mapsto Pi (g) v}

является непрерывным отображением грамм в V.

Конечномерные унитарные представления

Если гильбертово пространство V конечномерно, существует ассоциированное представление ${ displaystyle pi}$ алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ из ${ displaystyle G}$ . Если ${ displaystyle G}$ связно, то представление ${ displaystyle Pi}$ из ${ displaystyle G}$ унитарен тогда и только тогда, когда ${ displaystyle pi (X)}$ кососамосопряжен для каждого ${ displaystyle X in { mathfrak {g}}}$ .^[21]

Если ${ displaystyle G}$ является компактный, то каждое представление ${ displaystyle Pi}$ из ${ displaystyle G}$ на конечномерном векторном пространстве V является "унитаризуемым", что означает, что можно выбрать внутренний продукт на V так что каждый ${ Displaystyle Pi (г), , г в G}$ унитарен.^[22]

Бесконечномерные унитарные представления

Если гильбертово пространство V разрешено быть бесконечномерным, изучение унитарных представлений включает ряд интересных особенностей, которые отсутствуют в конечномерном случае. Например, построение подходящего представления алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ становится технически сложной задачей. Одним из условий, в котором представление алгебры Ли хорошо известно, является полупростой (или редуктивные) группы Ли, в которых ассоциированное представление алгебры Ли образует (g, K) -модуль.

Примеры унитарных представлений возникают в квантовой механике и квантовой теории поля, но также и в Анализ Фурье как показано в следующем примере. Позволять ${ Displaystyle G = mathbb {R}}$ , и пусть комплексное гильбертово пространство V быть ${ Displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R})}$ . Определим представление ${ Displaystyle psi: mathbb {R} rightarrow U (L ^ {2} ( mathbb {R}))}$ к

{ displaystyle [ psi (a) (f)] (x) = f (x-a).}

Вот несколько важных примеров, в которых были проанализированы унитарные представления группы Ли.

В Теорема Стоуна – фон Неймана можно понимать как классификацию неприводимых унитарных представлений Группа Гейзенберга.
Классификация Вигнера для представительств Группа Пуанкаре играет важную концептуальную роль в квантовой теории поля, показывая, как массу и спин частиц можно понять в терминах теории групп.
В теория представлений SL (2, R) была разработана В. Баргманном и служит прототипом для изучения унитарных представлений некомпактных полупростых групп Ли.

Проективные представления

В квантовой физике часто интересуют проективный унитарные представления группы Ли ${ displaystyle G}$ . Причина этого интереса в том, что состояния квантовой системы представлены векторами в гильбертовом пространстве. ${ displaystyle mathbf {H}}$ - но с пониманием того, что два состояния, различающиеся константой, на самом деле являются одним и тем же физическим состоянием. Симметрии гильбертова пространства затем описываются унитарными операторами, но унитарный оператор, кратный тождеству, не меняет физического состояния системы. Таким образом, нас интересуют не обычные унитарные представления, т. Е. Гомоморфизмы ${ displaystyle G}$ в унитарную группу ${ Displaystyle U ( mathbf {H})}$ - но скорее в проективных унитарных представлениях, т. Е. Гомоморфизмах ${ displaystyle G}$ в проективную унитарную группу

{ displaystyle PU ( mathbf {H}): = U ( mathbf {H}) / {e ^ {i theta} I }.}

Иными словами, для проективного представления построим семейство унитарных операторов ${ Displaystyle rho (g), , , g in G}$ , где подразумевается, что изменение ${ displaystyle rho (g)}$ с константой абсолютного значения 1 считается «тем же» оператором. Операторы ${ displaystyle rho (g)}$ тогда требуются, чтобы выполнялось свойство гомоморфизма до постоянного:

{ displaystyle rho (g) rho (h) = e ^ {i theta _ {g, h}} rho (gh).}

Мы уже обсуждали неприводимые проективные унитарные представления группы вращений SO (3) выше; рассмотрение проективных представлений допускает дробное вращение в дополнение к целочисленному спину.

Теорема Баргмана утверждает, что для некоторых типов групп Ли ${ displaystyle G}$ , неприводимые проективные унитарные представления ${ displaystyle G}$ находятся во взаимно однозначном соответствии с обычными унитарными представлениями универсального покрытия ${ displaystyle G}$ . Важными примерами, в которых применима теорема Баргмана, являются SO (3) (как только что упоминалось) и Группа Пуанкаре. Последний случай важен для Классификация Вигнера проективных представлений группы Пуанкаре с приложениями к квантовой теории поля.

Один из примеров, когда теорема Баргманна нет применить это группа ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$ . Набор переводов по положению и импульсу на ${ Displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {n})}$ образуют проективное унитарное представление ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$ но они не происходят из обычного представления универсального покрытия ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$ - что просто ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$ сам. В этом случае, чтобы получить обычное представление, нужно перейти к Группа Гейзенберга, которое является одномерным центральным расширением ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$ . (См. Обсуждение Вот.)

Коммутативный случай

Если ${ displaystyle G}$ коммутативный Группа Ли, то всякое неприводимое унитарное представление ${ displaystyle G}$ на сложных векторных пространствах является одномерным. (Это утверждение следует из Лемма Шура и выполняется, даже если заранее не предполагается, что представления конечномерны.) Таким образом, неприводимые унитарные представления ${ displaystyle G}$ являются просто непрерывными гомоморфизмами ${ displaystyle G}$ в группу единичного круга U (1). Например, если ${ Displaystyle G = mathbb {R}}$ неприводимые унитарные представления имеют вид

{ Displaystyle Pi (х) = [е ^ {iax}]}

,

для какого-то реального числа ${ displaystyle a}$ .

Смотрите также Понтрягинская двойственность для этого случая.

Смотрите также

Замечания

Примечания

^ Зал 2015 Следствие 3.51.
^ Зал 2015 Теорема 4.28.
^ Зал 2015 Раздел 10.3
^ Зал 2015 Теорема 4.28.
^ Зал 2015 Раздел 4.7
^ Зал 2013 Раздел 17.6
^ Зал 2015 Предложение 4.35.
^ Зал 2015, Раздел 4.3
^ Зал 2015 Теорема 4.28.
^ Зал 2015, Предложение 4.18
^ Зал 2015 Предложение 4.22.
^ Зал 2015 Глава 6, Упражнение 3. См. Также Глава 10, Упражнение 10.
^ Зал 2015 Теорема 5.6.
^ Зал 2015, Теорема 3.28
^ Зал 2015, Теорема 3.28
^ Зал 2015, Теорема 5.6
^ Зал 2013, Раздел 16.7.3
^ Зал 2015, Предложение 5.9
^ Зал 2015, Теорема 5.10
^ Зал 2015 Теоремы 4.28.
^ Зал 2015 Предложение 4.8.
^ Зал 2015 доказательство предложения 4.28

Представление группы Ли - Representation of a Lie group

Содержание

Конечномерные представления

Представления

Основные определения

Представления алгебры Ли

Пример: группа вращения SO (3)

Обыкновенные представления

Проективные представления

Операции с представительствами

Прямые суммы

Тензорные произведения представлений

Двойные представления

Группа Ли против представлений алгебры Ли

Обзор

Экспоненциальное отображение

Представления алгебры Ли из представлений групп

Представления групп из представлений алгебры Ли

Классификация в компактном корпусе

Унитарные представления в гильбертовых пространствах

Конечномерные унитарные представления

Бесконечномерные унитарные представления

Проективные представления

Коммутативный случай

Смотрите также

Замечания

Примечания

Рекомендации