Супералгебра Ли - Lie superalgebra

В математика, а Супералгебра Ли является обобщением Алгебра Ли включить Z₂-оценка. Супералгебры Ли важны в теоретическая физика где они используются для описания математики суперсимметрия. В большинстве этих теорий четное элементы супералгебры соответствуют бозоны и странный элементы для фермионы (но это не всегда так; например, БРСТ суперсимметрия наоборот).

Определение

Формально супералгебра Ли неассоциативная Z₂-градуированная алгебра, или же супералгебра, через коммутативное кольцо (обычно р или же C), произведение [·, ·], называемое Суперкронштейн лжи или же суперкоммутатор, удовлетворяет двум условиям (аналогам обычного Алгебра Ли аксиомы, с градуировкой):

Суперсимметрия:

${ displaystyle [x, y] = - (- 1) ^ {| x || y |} [y, x]. }$

Супер идентичность Якоби:^[1]

${ displaystyle (-1) ^ {| x || z |} [x, [y, z]] + (- 1) ^ {| y || x |} [y, [z, x]] + ( -1) ^ {| z || y |} [z, [x, y]] = 0,}$

куда Икс, у, и z чисты в Z₂-градуировка. Здесь |Икс| обозначает степень Икс (либо 0, либо 1). Степень [x, y] - это сумма степеней x и y по модулю 2.

Также иногда добавляют аксиомы ${ Displaystyle [х, х] = 0}$ для |Икс| = 0 (если 2 обратимо, это следует автоматически) и ${ Displaystyle [[х, х], х] = 0}$ для |Икс| = 1 (если 3 обратимо, это следует автоматически). Когда основное кольцо представляет собой целые числа или супералгебра Ли является свободным модулем, эти условия эквивалентны условию, что Теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта. (и, вообще говоря, они являются необходимыми условиями для выполнения теоремы).

Как и в случае алгебр Ли, универсальная обертывающая алгебра супералгебры Ли можно задать Алгебра Хопфа структура.

А градуированная алгебра Ли (скажем, оценено Z или же N), который является антикоммутативным, и Якоби в градуированном смысле также имеет ${ displaystyle Z_ {2}}$ градуирование (которое называется «сворачиванием» алгебры на нечетные и четные части), но не называется «супер». Видеть примечание по градуированной алгебре Ли для обсуждения.

Характеристики

Позволять ${ Displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {g}} _ {0} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$ - супералгебра Ли. Изучая тождество Якоби, можно увидеть, что существует восемь случаев в зависимости от того, четные или нечетные аргументы. Они делятся на четыре класса, индексированных по количеству нечетных элементов:^[2]

1. Никаких лишних элементов. Заявление просто то, что ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0}}$ является обычной алгеброй Ли.
2. Один странный элемент. потом ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {1}}$ это ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0}}$-модуль для акции ${ displaystyle mathrm {ad} _ {a}: b rightarrow [a, b], quad a in { mathfrak {g}} _ {0}, quad b, [a, b] in { mathfrak {g}} _ {1}}$.
3. Два лишних элемента. Тождество Якоби говорит, что скобка ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {1} otimes { mathfrak {g}} _ {1} rightarrow { mathfrak {g}} _ {0}}$ это симметричный ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {1}}$-карта.
4. Три лишних элемента. Для всех ${ displaystyle b in { mathfrak {g}} _ {1}}$, ${ displaystyle [b, [b, b]] = 0}$.

Таким образом, четная подалгебра ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0}}$ супералгебры Ли образует (нормальную) алгебру Ли, поскольку все знаки исчезают, а суперкобка становится нормальной скобкой Ли, а ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {1}}$ это линейное представление из ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0}}$, и существует симметричный ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0}}$-эквивариантный линейная карта ${ displaystyle { cdot, cdot }: { mathfrak {g}} _ {1} otimes { mathfrak {g}} _ {1} rightarrow { mathfrak {g}} _ {0} }$ так что,

${ Displaystyle [ влево {х, у вправо }, г] + [ влево {у, г вправо }, х] + [ влево {г, х вправо }, у] = 0, quad x, y, z in { mathfrak {g}} _ {1}.}$

Условия (1) - (3) линейны и все могут быть поняты в терминах обычных алгебр Ли. Условие (4) нелинейно, и его сложнее всего проверить при построении супералгебры Ли, исходя из обычной алгебры Ли (${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0}}$) и представление (${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {1}}$).

Инволюция

А ^∗ Супералгебра Ли является сложной супералгеброй Ли, снабженной инволютивный антилинейный карту от себя к себе, которая уважает Z₂ оценивает и удовлетворяет [Икс,у]^* = [у^*,Икс^*] для всех Икс и у в супералгебре Ли. (Некоторые авторы предпочитают соглашение [Икс,у]^* = (−1)^|Икс||у|[у^*,Икс^*]; изменение * на - * переключает между двумя соглашениями.) универсальная обертывающая алгебра было бы обычным ^*-алгебра.

Примеры

Учитывая любые ассоциативная супералгебра ${ displaystyle A}$ суперкоммутатор на однородных элементах можно определить как

${ Displaystyle [х, у] = ху - (- 1) ^ {| х || у |} ух }$

а затем распространяясь по линейности на все элементы. Алгебра ${ displaystyle A}$ вместе с суперкоммутатором становится супералгеброй Ли. Самый простой пример этой процедуры, возможно, когда ${ displaystyle A}$ пространство всех линейных функций ${ Displaystyle mathbf {Конец} (V)}$ супер векторного пространства ${ displaystyle V}$ себе. Когда ${ Displaystyle V = mathbb {K} ^ {p | q}}$, это пространство обозначается ${ displaystyle M ^ {p | q}}$ или же ${ Displaystyle М (п | д)}$.^[3] С помощью скобки Ли, как указано выше, пространство обозначается ${ Displaystyle { mathfrak {gl}} (p | q)}$.^[4]

В Продукт от белых угрей на гомотопических группах дает много примеров супералгебр Ли над целыми числами.

Классификация

Простые комплексные конечномерные супералгебры Ли были классифицированы Виктор Кац.

Основные классические компактные супералгебры Ли (не являющиеся алгебрами Ли): [1]

SU (м / н) Это сверхунитарные алгебры Ли, имеющие инварианты:

${ displaystyle z. { overline {z}} + iw. { overline {w}}}$

Это дает два ортосимплектических (см. Ниже) инварианта, если мы возьмем m z переменных и n w переменных как некоммутативные и возьмем действительную и мнимую части. Следовательно, мы имеем

${ Displaystyle СУ (м / п) = OSp (2m / 2n) cap OSp (2n / 2m)}$

SU (n / n) / U (1) Частный случай сверхунитарных алгебр Ли, когда мы убираем один образующий U (1), чтобы сделать алгебру простой.

OSp(м/2п) Эти ортосимплектические группы. У них есть инварианты:

${ displaystyle x.x + y.z-z.y}$

за м коммутативные переменные (Икс) и п пары антикоммутативных переменных (у,z). Это важные симметрии в супергравитация теории.

D(2/1;${ displaystyle alpha}$) Это набор супералгебр, параметризованный переменной ${ displaystyle alpha}$. Он имеет размерность 17 и является подалгеброй OSp (9 | 8). Четная часть группы равна O (3) × O (3) × O (3). Итак, инварианты:

${ Displaystyle A _ { mu} A _ { mu} + B _ { mu} B _ { mu} + C _ { mu} C _ { mu} + psi ^ { alpha beta gamma} psi ^ { alpha ' beta' gamma '} varepsilon _ { alpha alpha'} varepsilon _ { beta beta '} varepsilon _ { gamma gamma'}}$

${ Displaystyle A _ { {1} A_ {2} A_ {3 }} + B _ { {1} B_ {2} B_ {3 }} + C _ { {1} C_ {2} C_ {3 }} + A _ { mu} Gamma _ { mu} ^ { alpha alpha '} psi psi + B _ { mu} Gamma _ { mu} ^ { beta beta'} psi psi + C _ { mu} Gamma _ { mu} ^ { gamma gamma '} psi psi}$

для конкретных констант ${ displaystyle gamma}$.

F(4) Эта исключительная супералгебра Ли имеет размерность 40 и является подалгеброй в OSp (24 | 16). Четная часть группы - O (3) xSO (7), поэтому три инварианта:

${ Displaystyle B _ { mu nu} + B _ { nu mu} = 0}$

${ Displaystyle A _ { mu} A _ { mu} + B _ { mu nu} B _ { mu nu} + psi _ { {1} ^ { alpha} psi _ {2 }} ^ { alpha}}$

${ Displaystyle A _ { {1} A_ {2} A_ {3 }} + B _ { { mu nu} B _ { nu tau} B _ { tau mu }} + B _ { mu nu} sigma _ { mu nu} ^ { alpha beta} psi _ {k} ^ { alpha} psi _ {k} ^ { beta} + A _ { mu} Gamma _ { mu} ^ { alpha beta} psi _ { alpha} ^ {k} psi _ { beta} ^ {k} + ({ text {sym.}})}$

Эта группа связана с октонионами, поскольку 16 компонентных спиноров рассматриваются как двухкомпонентные спиноры октонионов, а гамма-матрицы, действующие на верхние индексы, - как единичные октонионы. Тогда у нас есть ${ Displaystyle е ^ { му ню тау} сигма _ { ню тау} эквив гамма _ { му}}$ куда ж - структурные константы умножения октонионов.

грамм(3) Эта исключительная супералгебра Ли имеет размерность 31 и является подалгеброй в OSp (17 | 14). Четная часть группы O (3) × G2. Инварианты аналогичны приведенным выше (это подалгебра F(4)?), Поэтому первый инвариант:

${ Displaystyle A _ { mu} A _ { mu} + C _ { alpha} ^ { mu} C _ { alpha} ^ { mu} + psi _ { {1} ^ { mu} psi _ {2 }} ^ { nu}}$

Есть еще два так называемых странный серия называется п(п) и q(п).

Классификация бесконечномерных простых линейно компактных супералгебр Ли

Классификация состоит из 10 серий. W(м, п), S(м, п) ((m, n) ≠ (1, 1)), H (2м, п), K(2м + 1, п), HO (м, м) (м ≥ 2), SHO(м, м) (м ≥ 3), КО(м, м + 1), СКО (м, м + 1; β) (м ≥ 2), SHO ∼ (2м, 2м), ЮКО ∼ (2м + 1, 2м + 3) и пять исключительных алгебр:

E (1, 6), E (5, 10), E (4, 4), E (3, 6), E (3, 8)

Последние два особенно интересны (по словам Каца), потому что у них есть стандартная модельная калибровочная группа. SU(3)×SU (2) ×U(1) как их алгебру нулевого уровня. Бесконечномерные (аффинные) супералгебры Ли являются важными симметриями в теория суперструн. В частности, алгебры Вирасоро с ${ displaystyle { mathcal {N}}}$ суперсимметрии ${ Displaystyle К (1, { mathcal {N}})}$ которые имеют только центральные расширения до ${ displaystyle { mathcal {N}} = 4}$.^[5]

Теоретико-категориальное определение

В теория категорий, а Супералгебра Ли можно определить как неассоциативный супералгебра чей продукт удовлетворяет

• ${ displaystyle [ cdot, cdot] circ ({ operatorname {id}} + tau _ {A, A}) = 0}$
• ${ displaystyle [ cdot, cdot] circ ([ cdot, cdot] otimes { operatorname {id}} circ ({ operatorname {id}} + sigma + sigma ^ {2}) = 0}$

где σ - плетение циклической перестановкой ${ displaystyle ({ operatorname {id}} otimes tau _ {A, A}) circ ( tau _ {A, A} otimes { operatorname {id}})}$. В схематической форме:

Смотрите также

• Алгебра Герстенхабера
• Аньонная алгебра Ли
• Алгебра грассмана
• Представление супералгебры Ли
• Суперпространство
• Супергруппа
• Универсальная обертывающая алгебра

Примечания

Рекомендации

• Cheng, S.-J .; Ван, В. (2012). Дуальности и представления супералгебр Ли. Аспирантура по математике. 144. стр.302с. ISBN  978-0-8218-9118-6.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Фройнд, П. Г. О. (1983). Введение в суперсимметрию. Кембриджские монографии по математической физике. Издательство Кембриджского университета. Дои:10.1017 / CBO9780511564017. ISBN  978-0521-356-756.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Грозман, П .; Leites, D .; Щепочкина И. (2005). "Супералгебры Ли теории струн". Acta Mathamatica Vietnamica. 26 (2005): 27–63. arXiv:hep-th / 9702120. Bibcode:1997hep.th .... 2120G.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Кац, В.Г. (1977). «Супералгебры Ли». Успехи в математике. 26 (1): 8–96. Дои:10.1016/0001-8708(77)90017-2.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Кац, В. Г. (2010). «Классификация бесконечномерных простых групп суперсимметрий и квантовая теория поля». Видения в математике: 162–183. arXiv:математика / 9912235. Дои:10.1007/978-3-0346-0422-2_6. ISBN  978-3-0346-0421-5.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Манин, Ю.И. (1997). Теория калибровочного поля и комплексная геометрия ((2-е изд.) Изд.). Берлин: Springer. ISBN  978-3-540-61378-7.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Муссон, И. М. (2012). Супералгебры Ли и обертывающие алгебры. Аспирантура по математике. 131. стр.488 с. ISBN  978-0-8218-6867-6.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Варадараджан, В.С. (2004). Суперсимметрия для математиков: введение. Конспект лекций Куранта по математике. 11. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3574-6.CS1 maint: ref = harv (связь)

Исторический

• Frölicher, A .; Нейенхейс, А. (1956). «Теория векторных дифференциальных форм. Часть I». Indagationes Mathematicae. 59: 338–350. Дои:10.1016 / S1385-7258 (56) 50046-7.CS1 maint: ref = harv (связь).
• Герстенхабер, М. (1963). «Структура когомологий ассоциативного кольца». Анналы математики. 78 (2): 267–288. Дои:10.2307/1970343. JSTOR  1970343.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Герстенхабер, М. (1964). «О деформации колец и алгебр». Анналы математики. 79 (1): 59–103. Дои:10.2307/1970484. JSTOR  1970484.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Милнор, Дж. У.; Мур, Дж. К. (1965). «О строении алгебр Хопфа». Анналы математики. 81 (2): 211–264. Дои:10.2307/1970615. JSTOR  1970615.CS1 maint: ref = harv (связь)

внешняя ссылка

• Ирвинг Каплански + Супералгебры Ли