Т-дуальность - T-duality

Теория струн
Фундаментальные объекты
Нить Brane D-брана
Теория возмущений
Бозонный Суперструна (Тип I, Тип II, Гетеротический )
Непертурбативные результаты
S-дуальность Т-дуальность U-дуальность М-теория F-теория AdS / CFT корреспонденция
Феноменология
Феноменология Космология Пейзаж
Математика
Зеркальная симметрия Чудовищный самогон
Связанные понятия Теория всего Конформная теория поля Квантовая гравитация Суперсимметрия Супергравитация Твисторная теория струн N = 4 суперсимметричная теория Янга – Миллса Теория Калуцы – Клейна Мультивселенная Голографический принцип
Теоретики Аганагич Аркани-Хамед Атья банки Беренштейн Буссо Тесак Curtright Dijkgraaf Дистлер Дуглас Дафф Феррара Фишлер Фридан Ворота Глиоцци Гопакумар Зеленый Грин Валовой Губсер Гуков Guth Hanson Харви Горжава Гиббонс Качру Каку Каллош Калуца Капустин Клебанов Книжник Концевич Кляйн Linde Мальдасена Мандельштам Марольф Мартинек Минвалла Мур Motl Мухи Майерс Нанопулос Нэстасе Некрасов Невеу Nielsen van Nieuwenhuizen Новиков Оливковое Ooguri Оврут Полчинский Поляков Раджараман Рамон Randall Ранджбар-Дэми Рочек Ром Scherk Шварц Зайберг Сен Шенкер Сигель Сильверштейн Сын Staudacher Steinhardt Strominger Сундрам Сасскинд 'т Хофт Townsend Триведи Турок Вафа Венециано Верлинде Верлинде Wess Виттен Яу Йонея Замолодчиков Замолодчиков Заслоу Зумино Zwiebach
История Глоссарий

В теоретическая физика, Т-дуальность (Короче для двойственность целевого пространства) является эквивалентом двух физических теорий, которые могут быть либо квантовые теории поля или же теории струн. В простейшем примере этой связи одна из теорий описывает струны распространяется в воображаемом пространство-время в форме круга некоторого радиуса ${ displaystyle R}$, в то время как другая теория описывает струны, распространяющиеся в пространстве-времени, имеющем форму круга радиуса, пропорционального ${ displaystyle 1 / R}$. Идея Т-дуальности была впервые отмечена Бала Сатиапаланом в малоизвестной статье в 1987 году.^[1] Две T-дуальные теории эквивалентны в том смысле, что все наблюдаемые величины в одном описании отождествляются с величинами в двойном описании. Например, импульс в одном описании принимает дискретные значения и равен тому, сколько раз строка ветры обведите кружок в двойном описании.

Идею Т-двойственности можно распространить на более сложные теории, включая теории суперструн. Существование этих дуальностей подразумевает, что кажущиеся разными теории суперструн на самом деле физически эквивалентны. Это привело к осознанию в середине 1990-х годов, что все пять последовательных теорий суперструн представляют собой просто разные предельные случаи единой одиннадцатимерной теории, называемой М-теория.

В общем, T-дуальность связывает две теории с разной геометрией пространства-времени. Таким образом, T-дуальность предлагает возможный сценарий, в котором классические понятия геометрии разрушаются в теории Планковский масштаб физика.^[2] Геометрические отношения, предлагаемые Т-дуальностью, также важны в чистая математика. Действительно, согласно Гипотеза SYZ из Эндрю Строминджер, Шинг-Тунг Яу, и Эрик Заслоу, T-дуальность тесно связана с другой двойственностью, называемой зеркальная симметрия, который имеет важные приложения в области математики, называемой перечислительная алгебраическая геометрия.

Обзор

Струны и двойственность

T-дуальность - частный пример общего понятия двойственность по физике. Период, термин двойственность относится к ситуации, когда два, казалось бы, разные физические системы оказываются эквивалентными нетривиальным образом. Если две теории связаны двойственностью, это означает, что одна теория может быть каким-то образом трансформирована так, что в итоге она будет выглядеть так же, как другая теория. Затем говорят, что две теории двойной друг к другу при преобразовании. Иными словами, две теории математически представляют собой разные описания одних и тех же явлений.

Как и многие дуальности, изучаемые теоретической физикой, Т-дуальность была открыта в контексте теория струн.^[3] В теории струн частицы моделируются не как нульмерные точки, а как одномерные протяженные объекты, называемые струны. Физику струн можно изучать в различных измерениях. В дополнение к трем измерениям, знакомым из повседневного опыта (вверх / вниз, влево / вправо, вперед / назад), теории струн могут включать в себя одно или несколько компактные размеры которые свернуты в круги.

Стандартная аналогия для этого - рассмотреть многомерный объект, например, садовый шланг.^[4] Если смотреть на шланг с достаточного расстояния, кажется, что он имеет только одно измерение - длину. Однако по мере приближения к шлангу обнаруживается, что он содержит второе измерение, его окружность. Таким образом, муравей, заползший внутрь, будет двигаться в двух измерениях. Такие дополнительные измерения важны в T-дуальности, которая связывает теорию, в которой струны распространяются по окружности некоторого радиуса. ${ displaystyle R}$ к теории, в которой струны распространяются по окружности радиуса ${ displaystyle 1 / R}$.

Номера обмоток

В математике номер намотки из изгиб в самолет вокруг данного точка является целое число представляет общее количество раз, когда кривая проходит вокруг точки против часовой стрелки. Понятие числа намотки важно при математическом описании Т-дуальности, где оно используется для измерения намотки струн вокруг компактный дополнительные размеры.

Например, на изображении ниже показано несколько примеров кривых на плоскости, показанных красным. Предполагается, что каждая кривая закрыто, что означает, что у него нет конечных точек, и ему разрешено пересекаться. Каждая кривая имеет ориентация указано стрелками на рисунке. В каждой ситуации на плоскости есть выделенная точка, показанная черным цветом. В номер намотки кривой вокруг этой выделенной точки равно общему количеству поворотов против часовой стрелки. повороты что кривая делает вокруг этой точки.

${ displaystyle cdots}$
	−2	−1	0
				${ displaystyle cdots}$
	1	2	3

При подсчете общего количества оборотов повороты против часовой стрелки считаются положительными, а повороты по часовой стрелке считаются как отрицательный. Например, если кривая сначала четыре раза обходит исходную точку против часовой стрелки, а затем один раз обходит ее по часовой стрелке, тогда общее число витков кривой равно трем. Согласно этой схеме кривая, которая вообще не проходит вокруг выделенной точки, имеет номер витка ноль, в то время как кривая, которая движется вокруг точки по часовой стрелке, имеет отрицательный номер витка. Следовательно, номер витка кривой может быть любым целым числом. На рисунках выше показаны кривые с номерами витков от -2 до 3:

Квантованные импульсы

Простейшие теории, в которых возникает Т-дуальность, следующие: двумерный сигма модели с круговыми целевыми пространствами. Это простые квантовые теории поля, описывающие распространение струн в воображаемом пространстве-времени, имеющем форму круга. Таким образом, струны можно смоделировать как кривые на плоскости, ограниченные кругом, скажем радиуса ${ displaystyle R}$, о источник. Далее предполагается, что строки замкнуты (то есть без конечных точек).

Обозначим этот круг ${ Displaystyle S_ {R} ^ {1}}$. Этот круг можно рассматривать как копию реальная линия с двумя точками идентифицированный если они отличаются на кратную длину окружности круга ${ Displaystyle 2 pi R}$. Отсюда следует, что состояние строки в любой момент времени может быть представлено как функция ${ Displaystyle varphi ( theta)}$ единственного реального параметра ${ displaystyle theta}$. Такую функцию можно расширить в Ряд Фурье в качестве

${ displaystyle varphi ( theta) = mR theta + x + sum _ {n neq 0} c_ {n} e ^ {in theta}}$.

Здесь ${ displaystyle m}$ обозначает номер намотки струны по кругу, а постоянный режим ${ displaystyle x = c_ {0}}$ ряда Фурье. Поскольку это выражение представляет конфигурацию строки в фиксированное время, все коэффициенты (${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle c_ {n}}$) также являются функциями времени.

Позволять ${ displaystyle { dot {x}}}$ обозначают производную по времени постоянной моды ${ displaystyle x}$. Это представляет собой тип импульс в теории. Можно показать, используя тот факт, что рассматриваемые здесь струны замкнуты, что этот импульс может принимать только дискретные значения вида ${ displaystyle { dot {x}} = n / R}$ для некоторого целого числа ${ displaystyle n}$. Говоря более физическим языком, можно сказать, что импульсный спектр квантованный.

Эквивалентность теорий

В описанной выше ситуации полная энергия или Гамильтониан, строки задается выражением

${ displaystyle H = (mR) ^ {2} + { dot {x}} ^ {2} + sum _ {n} | { dot {c}} _ {n} | ^ {2} + n ^ {2} | c_ {n} | ^ {2}}$.

Поскольку импульсы теории квантованы, первые два члена в этой формуле равны ${ Displaystyle (MR) ^ {2} + (п / р) ^ {2}}$, и это выражение не меняется при одновременной замене радиуса ${ displaystyle R}$ к ${ displaystyle 1 / R}$ и меняет заводской номер ${ displaystyle m}$ и целое число ${ displaystyle n}$. Суммирование в выражении для ${ displaystyle H}$ аналогично не зависит от этих изменений, поэтому общая энергия не изменяется. Фактически, эта эквивалентность гамильтонианов сводится к эквивалентности двух квантово-механических теорий: одна из этих теорий описывает струны, распространяющиеся по окружности радиуса ${ displaystyle R}$, а другой описывает струну, распространяющуюся по окружности радиуса ${ displaystyle 1 / R}$ с заменой числа оборотов и обмоток. Эта эквивалентность теорий - простейшее проявление Т-дуальности.

Суперструны

Диаграмма дуальностей теории струн. Синие края указывают S-дуальность. Красные края указывают на Т-двойственность.

Вплоть до середины 1990-х физики, работающие над теорией струн, считали, что существует пять различных версий теории: тип I, тип IIA, тип IIB, и два вкуса гетеротическая струна теория (ТАК (32) и E₈× E₈ ). Различные теории допускают разные типы струн, а частицы, возникающие при низких энергиях, обладают разной симметрией.

В середине 1990-х физики заметили, что эти пять теорий струн на самом деле связаны весьма нетривиальной двойственностью. Одна из этих двойственностей - T-двойственность. Например, было показано, что теория струн типа IIA эквивалентна теории струн типа IIB через T-дуальность, а также что две версии гетеротической теории струн связаны посредством T-дуальности.

Существование этих дуальностей показало, что на самом деле не все теории пяти струн были отдельными. В 1995 г. на конференции по теории струн в г. Университет Южной Калифорнии, Эдвард Виттен сделал удивительное предположение, что все пять этих теорий были просто разными пределами единой теории, ныне известной как М-теория.^[5] Предложение Виттена было основано на наблюдении, что разные теории суперструн связаны дуальностями, и на том факте, что типы IIA и E₈× E₈ теории гетеротических струн тесно связаны с теорией гравитации, называемой одиннадцатимерной супергравитация. Его объявление привело к шквалу работ, теперь известных как вторая суперструнная революция.

Зеркальная симметрия

Гиперповерхность шестимерного Многообразие Калаби – Яу.

В теории струн и алгебраическая геометрия, период, термин "зеркальная симметрия "относится к явлению сложной формы, называемому Многообразия Калаби-Яу. Эти многообразия обеспечивают интересную геометрию, по которой струны могут распространяться, и полученные теории могут найти применение в физика элементарных частиц.^[6] В конце 1980-х было замечено, что такое многообразие Калаби-Яу не определяет однозначно физику теории. Вместо этого обнаруживается, что есть два Многообразия Калаби-Яу, порождающие одну и ту же физику.^[7] Эти многообразия называются «зеркальными» друг друга. Эта зеркальная двойственность является важным вычислительным инструментом в теории струн, и она позволяет математикам решать сложные задачи в перечислительная геометрия.^[8]

А тор это декартово произведение из двух кругов.

Один из подходов к пониманию зеркальной симметрии - это Гипотеза SYZ, что было предложено Эндрю Строминджер, Шинг-Тунг Яу, и Эрик Заслоу в 1996 г.^[9] Согласно гипотезе SYZ, зеркальную симметрию можно понять, разделив сложное многообразие Калаби-Яу на более простые части и рассмотрев влияние T-дуальности на эти части.^[10]

Простейшим примером многообразия Калаби-Яу является тор (поверхность в форме бублика). Такую поверхность можно рассматривать как товар из двух кругов. Это означает, что тор можно рассматривать как союз набора продольных кругов (например, красного круга на изображении). Существует вспомогательное пространство, в котором рассказывается, как организованы эти круги, и это пространство само по себе является кругом (розовый круг). Это пространство называется параметризовать продольные круги на торе. В этом случае зеркальная симметрия эквивалентна T-дуальности, действующей на продольные окружности, изменяющие их радиусы от ${ displaystyle R}$ к ${ displaystyle alpha '/ R}$, с ${ displaystyle alpha '}$ обратное натяжению струны.

Гипотеза SYZ обобщает эту идею на более сложный случай шестимерных многообразий Калаби-Яу, подобных тому, который проиллюстрирован выше. Как и в случае с тором, можно разделить шестимерное многообразие Калаби-Яу на более простые части, которые в этом случае 3-торы (трехмерные объекты, обобщающие понятие тора), параметризованные 3-сфера (трехмерное обобщение сферы).^[11] T-дуальность может быть расширена с окружностей на трехмерные торы, появляющиеся в этом разложении, и гипотеза SYZ утверждает, что зеркальная симметрия эквивалентна одновременному применению T-дуальности к этим трехмерным торам.^[12] Таким образом, гипотеза SYZ дает геометрическую картину того, как зеркальная симметрия действует на многообразии Калаби-Яу.

Смотрите также

• S-дуальность
• Зеркальная симметрия
• AdS / CFT корреспонденция

Примечания

Рекомендации

• Сатиапалан, Бала (1987). «Двойственность в статистической механике и теории струн». Письма с физическими проверками. 58 (16): 1597–9. Дои:10.1103 / PhysRevLett.58.1597. PMID  10034485.
• Канделас, Филипп; Горовиц, Гэри; Строминджер, Эндрю; Виттен, Эдвард (1985). «Вакуумные конфигурации для суперструн». Ядерная физика B. 258: 46–74. Bibcode:1985НуФБ.258 ... 46С. Дои:10.1016/0550-3213(85)90602-9.
• Диксон, Лэнс (1988). «Некоторые мировые свойства компактификаций суперструн на орбифолдах и т. Д.». ICTP Ser. Теорет. Phys. 4: 67–126.
• Грин, Брайан (2000). Элегантная вселенная: суперструны, скрытые измерения и поиски окончательной теории. Случайный дом. ISBN  978-0-9650888-0-0.
• Лерхе, Вольфганг; Вафа, Джумрун; Уорнер, Николас (1989). "Хиральные кольца в ${ Displaystyle N = 2}$ суперконформные теории ». Ядерная физика B. 324 (2): 427–474. Bibcode:1989НуФБ.324..427Л. Дои:10.1016/0550-3213(89)90474-4.
• Зайберг, Натан (2006). «Эмерджентное пространство-время». Квантовая структура пространства и времени: 163–213. arXiv:hep-th / 0601234. Дои:10.1142/9789812706768_0005. ISBN  978-981-256-952-3.
• Строминджер, Эндрю; Яу, Шинг-Тунг; Заслоу, Эрик (1996). «Зеркальная симметрия - это Т-дуальность». Ядерная физика B. 479 (1): 243–259. arXiv:hep-th / 9606040. Bibcode:1996НуФБ.479..243С. Дои:10.1016/0550-3213(96)00434-8.
• Виттен, Эдвард (13–18 марта 1995 г.). «Некоторые проблемы сильной и слабой связи». Proceedings of Strings '95: Будущие перспективы в теории струн. Всемирный научный.
• Виттен, Эдвард (1995). «Динамика теории струн в различных измерениях». Ядерная физика B. 443 (1): 85–126. arXiv:hep-th / 9503124. Bibcode:1995НуФБ.443 ... 85Вт. Дои:10.1016 / 0550-3213 (95) 00158-О.
• Яу, Шинг-Тунг; Надис, Стив (2010). Форма внутреннего пространства: теория струн и геометрия скрытых измерений Вселенной. Базовые книги. ISBN  978-0-465-02023-2.
• Заслоу, Эрик (2008). «Зеркальная симметрия». В Гауэрсе, Тимоти (ред.). Принстонский компаньон математики. ISBN  978-0-691-11880-2.