Действие Намбу – Гото - Nambu–Goto action

Теория струн
Фундаментальные объекты
Нить Brane D-брана
Теория возмущений
Бозонный Суперструна (Тип I, Тип II, Гетеротический )
Непертурбативные результаты
S-дуальность Т-дуальность U-дуальность М-теория F-теория AdS / CFT корреспонденция
Феноменология
Феноменология Космология Пейзаж
Математика
Зеркальная симметрия Чудовищный самогон
Связанные понятия Теория всего Конформная теория поля Квантовая гравитация Суперсимметрия Супергравитация Твисторная теория струн N = 4 суперсимметричная теория Янга – Миллса Теория Калуцы – Клейна Мультивселенная Голографический принцип
Теоретики Аганагич Аркани-Хамед Атья банки Беренштейн Буссо Тесак Curtright Dijkgraaf Дистлер Дуглас Дафф Феррара Фишлер Фридан Ворота Глиоцци Гопакумар Зеленый Грин Валовой Губсер Гуков Guth Hanson Харви Горжава Гиббонс Качру Каку Kallosh Калуца Капустин Клебанов Книжник Концевич Кляйн Linde Мальдасена Мандельштам Марольф Мартинек Минвалла Мур Motl Мухи Майерс Нанопулос Нэстасе Некрасов Невеу Nielsen van Nieuwenhuizen Новиков Оливковое Ooguri Оврут Полчинский Поляков Раджараман Рамон Randall Ранджбар-Дэми Рочек Ром Scherk Шварц Зайберг Сен Шенкер Сигель Сильверштейн Сын Staudacher Steinhardt Strominger Сундрам Сасскинд 'т Хофт Townsend Триведи Турок Вафа Венециано Верлинде Верлинде Wess Виттен Яу Йонея Замолодчиков Замолодчиков Заслоу Зумино Zwiebach
История Глоссарий

В Действие Намбу – Гото простейший инвариант действие в бозонная теория струн, а также используется в других теориях, исследующих струнные объекты (например, космические струны ). Это отправная точка анализа поведения струны нулевой толщины (бесконечно тонкой) с использованием принципов Лагранжева механика. Так же, как действие для свободной точечной частицы пропорционально ее действию. подходящее время — т.е., «длина» ее мировой линии - действие релятивистской струны пропорционально площади листа, который струна отслеживает во время своего путешествия в пространстве-времени.

Назван в честь японских физиков. Ёитиро Намбу и Тецуо Гото.^[1]

Фон

Релятивистская лагранжева механика

Основной принцип лагранжевой механики - принцип стационарного действия, заключается в том, что объект, подверженный внешнему влиянию, «выберет» путь, который составляет определенную величину, действие, экстремум. Действие - это функциональный, математическая связь, которая проходит весь путь и дает одно число. В физический путь, то, по которому объект фактически следует, является путем, для которого действие является «стационарным» (или экстремальным): любое небольшое отклонение пути от физического не меняет существенно действия. (Часто это эквивалентно тому, что физический путь - это тот, для которого действие минимально.) Действия обычно записываются с использованием лагранжианов, формул, которые зависят от состояния объекта в определенной точке пространства и / или времени. В нерелятивистской механике, например, лагранжиан точечной частицы - это разница между кинетической и потенциальной энергией: ${ Displaystyle L = K-U}$. Действие, часто написанное ${ displaystyle S}$, тогда является интегралом этой величины от времени начала до времени окончания:

${ Displaystyle S = int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} L , dt.}$

(Обычно при использовании лагранжианов мы предполагаем, что знаем начальную и конечную позиции частицы, и нас интересует дорожка которую частица перемещает между этими позициями.)

Такой подход к механике имеет то преимущество, что он легко расширяется и обобщается. Например, мы можем написать лагранжиан для релятивистский Частица, которая будет действительна, даже если частица движется со скоростью, близкой к скорости света. Сохранять Лоренц-инвариантность, действие должно зависеть только от величин, одинаковых для всех (лоренцевых) наблюдателей, т.е. действие должно быть Скаляр Лоренца. Самым простым таким количеством является подходящее время, время, измеренное часами, которые несет частица. Согласно специальной теории относительности, все наблюдатели Лоренца, наблюдающие за движением частицы, будут вычислять одно и то же значение для величины

${ displaystyle -ds ^ {2} = - (c , dt) ^ {2} + dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}, }$

и ${ displaystyle ds / c}$ тогда будет бесконечно малым собственным временем. Для точечной частицы, не подверженной внешним силам (т.е., движущийся по инерции) релятивистское действие является

${ Displaystyle S = -mc int ds.}$

Мировые листы

Точно так же, как нульмерная точка очерчивает мировую линию на диаграмме пространства-времени, одномерная струна представлена мировой лист. Все мировые листы являются двумерными поверхностями, поэтому нам нужны два параметра, чтобы указать точку на мировом листе. Теоретики струн используют символы ${ Displaystyle тау}$ и ${ displaystyle sigma}$ по этим параметрам. Оказывается, теории струн включают в себя пространства более высоких измерений, чем привычный нам трехмерный мир; Теория бозонных струн требует 25 пространственных измерений и одной оси времени. Если ${ displaystyle d}$ - количество пространственных измерений, точку можно представить вектором

${ displaystyle x = (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, ldots, x ^ {d}).}$

Мы описываем строку с помощью функций, которые отображают позицию в пространство параметров (${ Displaystyle тау}$, ${ displaystyle sigma}$) до точки в пространстве-времени. Для каждого значения ${ Displaystyle тау}$ и ${ displaystyle sigma}$эти функции определяют уникальный вектор пространства-времени:

${ Displaystyle Икс ( тау, сигма) = (Икс ^ {0} ( тау, сигма), Х ^ {1} ( тау, сигма), Х ^ {2} ( тау, сигма ), ldots, X ^ {d} ( tau, sigma)).}$

Функции ${ Displaystyle Х ^ { му} ( тау, сигма)}$ определить форму, которую принимает мировой лист. Различные наблюдатели Лоренца будут расходиться во мнениях относительно координат, которые они присваивают конкретным точкам на мировом листе, но все они должны прийти к общему мнению. правильная область который есть на мировом листе. Действие Намбу – Гото выбрано пропорционально этой общей надлежащей площади.

Позволять ${ displaystyle eta _ { mu nu}}$ быть метрикой на ${ displaystyle (d + 1)}$-мерное пространство-время. Потом,

${ displaystyle g_ {ab} = eta _ { mu nu} { frac { partial X ^ { mu}} { partial y ^ {a}}} { frac { partial X ^ { ню}} { partial y ^ {b}}} }$

это индуцированная метрика на мировом листе, где ${ displaystyle a, b = 0,1}$ и ${ Displaystyle у ^ {0} = тау, у ^ {1} = sigma}$.

Для площадь ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ мирового листа выполняется следующее:

${ Displaystyle mathrm {d} { mathcal {A}} = mathrm {d} ^ {2} Sigma { sqrt {-g}}}$

куда ${ Displaystyle mathrm {d} ^ {2} Sigma = mathrm {d} sigma , mathrm {d} tau}$ и ${ displaystyle g = mathrm {det} left (g_ {ab} right) }$

Используя обозначения, которые:

${ displaystyle { dot {X}} = { frac { partial X} { partial tau}}}$

и

${ displaystyle X '= { frac { partial X} { partial sigma}},}$

можно переписать метрика ${ displaystyle g_ {ab}}$:

${ displaystyle g_ {ab} = left ({ begin {array} {cc} { dot {X}} ^ {2} & { dot {X}} cdot X ' X' cdot { dot {X}} & X '^ {2} end {array}} right) }$

${ displaystyle g = { dot {X}} ^ {2} X '^ {2} - ({ dot {X}} cdot X') ^ {2}}$

действие Намбу – Гото определяется как^[2]

${ Displaystyle { mathcal {S}} }$

${ displaystyle = - { frac {T_ {0}} {c}} int d { mathcal {A}}}$

${ displaystyle = - { frac {T_ {0}} {c}} int mathrm {d} ^ {2} Sigma { sqrt {-g}}}$

${ displaystyle = - { frac {T_ {0}} {c}} int mathrm {d} ^ {2} Sigma { sqrt {({ dot {X}} cdot X ') ^ { 2} - ({ dot {X}}) ^ {2} (X ') ^ {2}}}, }$

куда ${ Displaystyle X cdot Y: = eta _ { mu nu} X ^ { mu} Y ^ { nu}}$.Множители перед интегралом дают действию правильные единицы, энергию, умноженную на время. ${ displaystyle T_ {0}}$ натяжение струны, а ${ displaystyle c}$ это скорость света. Обычно теоретики струн работают в «натуральных единицах», где ${ displaystyle c}$ установлен в 1 (вместе с постоянной Планка ${ displaystyle hbar}$ и постоянная Ньютона ${ displaystyle G}$). Также, отчасти по историческим причинам, они используют «параметр наклона». ${ displaystyle alpha '}$ вместо ${ displaystyle T_ {0}}$. С этими изменениями действие Намбу – Гото становится

${ displaystyle { mathcal {S}} = - { frac {1} {2 pi alpha '}} int mathrm {d} ^ {2} Sigma { sqrt {({ dot {X }} cdot X ') ^ {2} - ({ dot {X}}) ^ {2} (X') ^ {2}}}.}.}$

Эти две формы, конечно, полностью эквивалентны: выбор одной из них - вопрос условности и удобства.

Еще две эквивалентные формы:

${ displaystyle { mathcal {S}} = - { frac {1} {2 pi alpha '}} int mathrm {d} ^ {2} Sigma { sqrt {{ dot {X}) } ^ {2} - {X '} ^ {2}}},}$

и

${ displaystyle { mathcal {S}} = - { frac {1} {4 pi alpha '}} int mathrm {d} ^ {2} Sigma ({ dot {X}} ^ { 2} - {X '} ^ {2}).}$

Обычно действие Намбу – Гото еще не имеет формы, подходящей для изучения квантовой физики струн. Для этого его нужно модифицировать аналогично действию точечной частицы. Это классически равно минус массе, умноженной на инвариантную длину в пространстве-времени, но должно быть заменено квадратичным выражением с тем же классическим значением.^[3]Для струн аналоговая коррекция предусмотрена Поляков действие, который классически эквивалентен действию Намбу – Гото, но дает «правильную» квантовую теорию. Однако можно развить квантовую теорию из действия Намбу – Гото в световой конус.

Смотрите также

• Мембрана Дирака

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Ортин, Томас, Гравитация и струны, Кембриджские монографии, издательство Кембриджского университета (2004). ISBN  978-0-521-03546-0.