Теоремы Силова - Sylow theorems

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро образ прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) г2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

Эта статья включает в себя список общих использованная литература, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшить эта статья введение более точные цитаты. (Ноябрь 2018) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математике, особенно в области теория конечных групп, то Теоремы Силова представляют собой собрание теоремы назван в честь норвежского математика Питер Людвиг Силов (1872 ), которые дают подробную информацию о количестве подгруппы фиксированных порядок что данный конечная группа содержит. Теоремы Силова составляют фундаментальную часть теории конечных групп и имеют очень важные приложения в классификация конечных простых групп.

Для простое число п, а Силовский п-подгруппа (иногда п-Sylow подгруппа) группы г это максимальный п-подгруппа г, т.е. подгруппа г это п-группа (таким образом порядок каждого элемента группы является мощность из п), не являющаяся собственной подгруппой других п-подгруппа г. Набор всех силовских п-подгруппы для данного простого числа п иногда пишется Syl_п(г).

Теоремы Силова утверждают частичное обращение к Теорема Лагранжа. Теорема Лагранжа утверждает, что для любой конечной группы г порядок (количество элементов) каждой подгруппы г делит порядок г. Теоремы Силова утверждают, что для каждого главный фактор п порядка конечной группы гсуществует силовская п-подгруппа г порядка п^п, высшая степень п что делит порядок г. Более того, каждая подгруппа порядка п^п силовский п-подгруппа г, и силовский п-подгруппы группы (для данного простого п) находятся сопрягать друг другу. Кроме того, число силовских п-подгруппы группы для данного простого числа п конгруэнтно 1 мод п.

Теоремы

Коллекции подгрупп, каждая из которых максимальна в том или ином смысле, обычны в теории групп. Удивительный результат заключается в том, что в случае Syl_п(г), все участники на самом деле изоморфный друг к другу и имеют максимально возможный порядок: если |г| = п^пм с участием п > 0 где п не разделяет м, то каждый силовский п-подгруппа п имеет порядок |п| = п^п. Это, п это п-группа и gcd(|г : п|, п) = 1. Эти свойства можно использовать для дальнейшего анализа структуры г.

Следующие теоремы были впервые предложены и доказаны Людвигом Силовым в 1872 году и опубликованы в Mathematische Annalen.

Теорема 1.: Для каждого главный фактор п с участием множественность п порядка конечной группы гсуществует силовская п-подгруппа г, порядка п^п.

Следующая более слабая версия теоремы 1 была впервые доказана Огюстен-Луи Коши, и известен как Теорема Коши.

Следствие: Для конечной группы г и простое число п разделение порядка г, то существует элемент (а значит, и подгруппа) порядка п в г.^[1]

Теорема 2.: Для конечной группы г и простое число п, все Силовский п-подгруппы г находятся сопрягать друг к другу, т.е. если ЧАС и K Силовские п-подгруппы г, то существует элемент г в г с участием г⁻¹Hg = K.

Теорема 3.: Позволять п быть простым множителем с кратностью п порядка конечной группы г, так что порядок г можно записать как п^пм, где п > 0 и п не разделяет м. Позволять п_п быть числом Силова п-подгруппы г. Тогда имеет место следующее:

• п_п разделяет м, какой показатель Силовского п-подгруппа в г.
• п_п ≡ 1 (модп).
• п_п = |г : N_г(п) |, где п какой-нибудь силовский п-подгруппа г и N_г обозначает нормализатор.

Последствия

Из теорем Силова следует, что для простого числа п каждый силов п-подгруппа того же порядка, п^п. Наоборот, если подгруппа имеет порядок п^п, то это силовский п-подгруппа, а значит, изоморфна любой другой силовской п-подгруппа. В силу условия максимальности, если ЧАС есть ли п-подгруппа г, тогда ЧАС является подгруппой п-подгруппа порядка п^п.

Очень важное следствие теоремы 2 состоит в том, что условие п_п = 1 равносильно утверждению, что силовский п-подгруппа г это нормальная подгруппа (есть группы, у которых есть нормальные подгруппы, но нет нормальных силовских подгрупп, например S₄).

Теоремы Силова для бесконечных групп

Имеется аналог теорем Силова для бесконечных групп. Мы определяем силовский п-подгруппа в бесконечной группе быть п-подгруппа (то есть каждый элемент в ней имеет п-степенный порядок), который является максимальным для включения среди всех п-подгруппы в группе. Такие подгруппы существуют Лемма Цорна.

Теорема: Если K силовский п-подгруппа г, и п_п = | Cl (K) | конечно, то каждое силовское п-подгруппа сопряжена с K, и п_п ≡ 1 (модп), где Cl (K) обозначает класс сопряженности K.

Примеры

В D₆ все отражения сопряжены, так как отражения соответствуют силовским 2-подгруппам.

Простая иллюстрация силовских подгрупп и теорем Силова - это группа диэдра из п-угольник, D_2п. Для п нечетное, 2 = 2¹ является высшей степенью двойки, делящей порядок, и, таким образом, подгруппы порядка 2 являются силовскими подгруппами. Это группы, порожденные отражением, из которых п, и все они сопряжены при поворотах; геометрически оси симметрии проходят через вершину и грань.

В D₁₂ отражения больше не соответствуют силовским 2-подгруппам и распадаются на два класса сопряженности.

Напротив, если п четно, то 4 делит порядок группы, и подгруппы порядка 2 больше не являются силовскими подгруппами, и фактически они попадают в два класса сопряженности геометрически в зависимости от того, проходят ли они через две вершины или две грани. Они связаны внешний автоморфизм, который можно представить вращением на π /п, половина минимального вращения в группе диэдра.

Другой пример - силовские p-подгруппы группы GL₂(F_q), где п и q простые числа ≥ 3 и п ≡ 1 (модq), которые все абелевский. Получатель чего-то GL₂(F_q) является (q² − 1)(q² − q) = (q)(q + 1)(q − 1)². поскольку q = п^пм + 1, порядок GL₂(F_q) = п^2п м′. Таким образом, по теореме 1 порядок силовских п-подгруппы п^2п.

Одна такая подгруппа п, - набор диагональных матриц ${ displaystyle { begin {bmatrix} x ^ {im} & 0 0 & x ^ {jm} end {bmatrix}}}$, Икс есть ли первобытный корень из F_q. Поскольку порядок F_q является q - 1, его примитивные корни имеют порядок q - 1, откуда следует, что Икс^{(q − 1)/пп} или Икс^м и все его силы имеют порядок, который является силойп. Так, п - подгруппа, все элементы которой имеют порядки степенейп. Есть п^п выбор для обоих а и б, изготовление |п| = п^2п. Это означает п силовский п-подгруппа, которая является абелевой, поскольку все диагональные матрицы коммутируют, и поскольку теорема 2 утверждает, что все силовские п-подгруппы сопряжены между собой, силовские п-подгруппы GL₂(F_q) все абелевы.

Примеры приложений

Поскольку теорема Силова гарантирует существование p-подгрупп в конечной группе, стоит более внимательно изучить группы порядка мощности простых чисел. Большинство примеров используют теорему Силова для доказательства того, что группа определенного порядка не является просто. Для групп малого порядка условия конгруэнтности теоремы Силова часто достаточно, чтобы заставить существование нормальная подгруппа.

Пример-1

Группы заказа pq, п и q простые числа с п < q.

Пример-2

Группа заказа 30, группы заказа 20, группы заказа п²q, п и q различные простые числа - вот некоторые из приложений.

Пример-3

(Группы порядка 60): Если заказ |г| = 60 и г имеет более одной силовской 5-подгруппы, то г просто.

Циклические групповые заказы

Некоторые непростые числа п таковы, что каждая группа порядка п циклический. Можно показать, что п = 15 является таким числом, используя теоремы Силова: Пусть г - группа порядка 15 = 3 · 5 и п₃ - количество силовских 3-подгрупп. потом п₃ ${ displaystyle mid}$ 5 и п₃ ≡ 1 (мод. 3). Единственное значение, удовлетворяющее этим ограничениям, - 1; следовательно, есть только одна подгруппа порядка 3, и она должна быть нормальный (поскольку у него нет четких конъюгатов). Так же, п₅ должен делить 3, и п₅ должно быть равно 1 (mod 5); таким образом, он также должен иметь единственную нормальную подгруппу порядка 5. Поскольку 3 и 5 являются совмещать, пересечение этих двух подгрупп тривиально, поэтому г должен быть внутренний прямой продукт групп порядка 3 и 5, то есть циклическая группа порядка 15. Таким образом, имеется только одна группа порядка 15 (вплоть до изоморфизм).

Маленькие группы не просты

Более сложный пример включает в себя порядок самых маленьких простая группа это не циклический. Бернсайда п^а q^б теорема заявляет, что если порядок группы является продуктом одного или двух основные силы, то это разрешимый, поэтому группа не простая, либо простого порядка и циклическая. Это исключает каждую группу до 30 человек. (= 2 · 3 · 5).

Если г проста, и |г| = 30, тогда п₃ должен делить 10 (= 2 · 5), и п₃ должно быть равно 1 (mod 3). Следовательно, п₃ = 10, так как ни 4, ни 7 не делят 10, и если п₃ = 1, то, как и выше, г будет иметь нормальную подгруппу порядка 3 и не может быть простой. г тогда имеет 10 различных циклических подгрупп порядка 3, каждая из которых имеет 2 элемента порядка 3 (плюс единица). Это означает г имеет не менее 20 различных элементов 3-го порядка.

Также, п₅ = 6, поскольку п₅ должен делить 6 (= 2 · 3), и п₅ должно быть равно 1 (mod 5). Так г также имеет 24 различных элемента порядка 5. Но порядок г всего 30, поэтому простой группы порядка 30 существовать не может.

Далее предположим |г| = 42 = 2 · 3 · 7. Здесь п₇ должен делить 6 (= 2 · 3) и п₇ должно быть равно 1 (mod 7), поэтому п₇ = 1. Итак, как и раньше, г не может быть простым.

С другой стороны, для |г| = 60 = 2² · 3 · 5, то п₃ = 10 и п₅ = 6 вполне возможно. И действительно, самая маленькая простая нециклическая группа - это А₅, то переменная группа более 5 элементов. Он имеет порядок 60 и имеет 24 циклические перестановки порядка 5 и 20 порядка 3.

Теорема Вильсона

Часть Теорема Вильсона утверждает, что

${ Displaystyle (п-1)! Equiv -1 { pmod {p}}}$

для каждого прайма п. Эту теорему легко доказать с помощью третьей теоремы Силова. В самом деле, обратите внимание, что число п_п Силова п-подгруппы в симметрической группе S_п является (п - 2) !. С другой стороны, п_п ≡ 1 (модп). Следовательно, (п - 2)! ≡ 1 (модп). Так, (п - 1)! ≡ −1 (modп).

Результаты Fusion

Аргумент Фраттини показывает, что силовская подгруппа нормальной подгруппы обеспечивает факторизацию конечной группы. Небольшое обобщение, известное как Теорема слияния Бернсайда заявляет, что если г конечная группа с силовским п-подгруппа п и два подмножества А и B нормализовано п, тогда А и B находятся г-сопряжены тогда и только тогда, когда они N_г(п) -сопряженные. Доказательство представляет собой простое применение теоремы Силова: если B=А^г, то нормализатор B содержит не только п но также п^г (поскольку п^г содержится в нормализаторе А^г). По теореме Силова п и п^г сопряжены не только в г, но в нормализаторе B. Следовательно gh⁻¹ нормализует п для некоторых час это нормализует B, а потом А^gh−1 = B^час−1 = B, так что А и B находятся N_г(п) -сопряженные. Теорема слияния Бернсайда может быть использована для получения более мощной факторизации, называемой полупрямой продукт: если г конечная группа, силовская п-подгруппа п содержится в центре своего нормализатора, то г имеет нормальную подгруппу K порядка взаимно простой с п, г = ПК и п∩K = {1}, то есть г является п-нильпотентный.

Менее тривиальные приложения теорем Силова включают теорема о фокальной подгруппе, который изучает управление силовским п-подгруппа производная подгруппа имеет по структуре всей группы. Этот контроль используется на нескольких этапах классификация конечных простых групп, и, например, определяет деления регистра, используемые в Теорема Альперина – Брауэра – Горенштейна. классификация конечных простые группы силовская 2-подгруппа которой является квазидиэдральная группа. Они полагаются на Дж. Л. Альперин усиление части теоремы Силова о сопряжении, чтобы контролировать, какие типы элементов используются в сопряжении.

Доказательство теорем Силова.

Теоремы Силова доказывались разными способами, и истории самих доказательств посвящено множество статей, в том числе (Уотерхаус 1980 ), (Шарлау 1988 ), (Casadio & Zappa 1990 год ), (Гоу 1994 ) и в некоторой степени (Meo 2004 ).

Одно доказательство теорем Силова использует понятие групповое действие различными творческими способами. Группа г действует на себя или на совокупность своих п-подгруппы по-разному, и каждое такое действие можно использовать для доказательства одной из теорем Силова. Следующие доказательства основаны на комбинаторных аргументах (Виландт 1959 ). В дальнейшем мы используем а ${ displaystyle mid}$ б как обозначение для "a делит b" и а ${ displaystyle nmid}$ б за отрицание этого утверждения.

Теорема 1.: Конечная группа г чей порядок |г| делится на степень простого числа п^k имеет подгруппу порядка п^k.

Доказательство: Пусть |г| = п^km = p^{к + г}ты такой, что п ${ displaystyle nmid}$ ты, и пусть Ω обозначает множество подмножеств г размера п^k. г действует на Ω левым умножением: г⋅ω = { gx | Икс ∈ ω}. Для данного множества ω ∈ Ω запишем г_ω для своего подгруппа стабилизатора {г ∈ г | г⋅ω = ω} и гω для своего орбита {г⋅ω | г ∈ г} в Ω.

Доказательство покажет существование некоторого ω ∈ Ω, для которого г_ω имеет п^k элементы, обеспечивающие желаемую подгруппу. Это максимально возможный размер подгруппы стабилизаторов г_ω, поскольку для любого фиксированного элемента α ∈ ω ⊆ г, образ г_ω под биективным отображением г → г умножения справа на α (г ↦ гα) содержится в ω; поэтому |г_ω| ≤ | ω | знак равно п^k.

Посредством теорема о стабилизаторе орбиты у нас есть |г_ω| |гω | = |г| для каждого ω ∈ Ω, и поэтому используя аддитивная p-адическая оценка ν_п, который считает количество факторов п, надо ν_п(|г_ω|) + ν_п(|гω |) = ν_п(|г|) = k + р. Это означает, что для тех ω с |г_ω| = п^k, те, которые мы ищем, у одного есть ν_п(|гω |) = р, а для любого другого ω ν_п(|гω |)> р (поскольку 0 <|г_ω| < п^k подразумевает ν_п(|гω |) < k). Поскольку | Ω | сумма |гω | по всем различным орбитам гω, можно показать существование ω первого типа, показав, что ν_п(| Ω |) = р (если бы их не было, эта оценка превысила бы р). Это пример Теорема Куммера (поскольку в базе п обозначение число |г| заканчивается точно k + р цифры ноль, вычитая п^k от него требуется перенос р мест), а также может быть показано простым вычислением:

${ displaystyle | Omega | = {p ^ {k} m select p ^ {k}} = prod _ {j = 0} ^ {p ^ {k} -1} { frac {p ^ {k } mj} {p ^ {k} -j}} = m prod _ {j = 1} ^ {p ^ {k} -1} { frac {p ^ {k- nu _ {p} (j )} mj / p ^ { nu _ {p} (j)}} {p ^ {k- nu _ {p} (j)} - j / p ^ { nu _ {p} (j)} }}}$

и нет силы п остается в любом из факторов внутри продукта справа. Следовательно ν_п(| Ω |) = ν_п(м) = р, завершая доказательство.

Можно отметить, что, наоборот, каждая подгруппа ЧАС порядка п^k порождает множества ω ∈ Ω, для которых г_ω = ЧАС, а именно любой из м различные смежные классы Hg.

Лемма: Позволять г быть конечным п-группа, пусть Ω - конечное множество, пусть Ω_г - множество, порожденное действием г на всех элементах Ω, и пусть Ω₀ обозначим множество точек Ω_г которые фиксируются под действием г. Тогда | Ω_г| ≡ | Ω₀| (модп).

Доказательство: написать Ω_г как непересекающуюся сумму его орбит при г. Любой элемент Икс ∈ Ω_г не зафиксировано г будет лежать на орбите порядка |г|/|г_Икс| (где г_Икс обозначает стабилизатор ), который кратен п по предположению. Результат следует немедленно.

Теорема 2.: Если ЧАС это п-подгруппа г и п силовский п-подгруппа г, то существует элемент г в г такой, что г⁻¹Hg ≤ п. В частности, все силовские п-подгруппы г находятся сопрягать друг к другу (и, следовательно, изоморфный ), то есть если ЧАС и K Силовские п-подгруппы г, то существует элемент г в г с участием г⁻¹Hg = K.

Доказательство. Пусть Ω - множество левых смежные классы из п в г и разреши ЧАС действуют на Ω левым умножением. Применяя лемму к ЧАС на Ω, мы видим, что | Ω₀| ≡ | Ω | знак равног : п] (модп). Сейчас же п ${ displaystyle nmid}$ [г : п] по определению так п ${ displaystyle nmid}$ | Ω₀|, поэтому, в частности, | Ω₀| ≠ 0, значит, существует GP ∈ Ω₀. Отсюда следует, что для некоторых г ∈ г и ∀ час ∈ ЧАС у нас есть hgP = GP так г⁻¹HgP = п и поэтому г⁻¹Hg ≤ п. Сейчас если ЧАС силовский п-подгруппа, |ЧАС| = |п| = |gPg⁻¹| так что ЧАС = gPg⁻¹ для некоторых г ∈ г.

Теорема 3.: Позволять q обозначим порядок любого силовского п-подгруппа п конечной группы г. Позволять п_п обозначим число силовских п-подгруппы г. потом п_п = |г : N_г(п)|, п_п ${ displaystyle mid}$ |г|/q и п_п ≡ 1 (модп), где N_г(п) это нормализатор из п

Доказательство. Пусть Ω - множество всех силовских п-подгруппы г и разреши г действуют на Ω сопряжением. Позволять п ∈ Ω - силовская п-подгруппа. По теореме о стабилизаторе орбиты п_п = [г : Удар_г(п)]. Удар_г(п) = { г ∈ г | gPg⁻¹ = п } = N_г (п), нормализатор п в г. Таким образом, п_п = |г : N_г(п) |, откуда следует, что это число является делителем |г|/[г : п].
Теперь позвольте п действуют на Ω сопряжением. Позволять Q ∈ Ω₀ и заметьте, что тогда Q = xQx⁻¹ для всех Икс ∈ п так что п ≤ N_г(Q). По теореме 2 п и Q сопряжены в N_г(Q) в частности, и Q нормально в N_г(Q), так что тогда п = Q. Отсюда следует, что Ω₀ = {п} так что по лемме | Ω | ≡ | Ω₀| = 1 (модп).

Алгоритмы

Проблема поиска силовской подгруппы данной группы является важной задачей в вычислительная теория групп.

Одно доказательство существования Силова п-подгруппы конструктивны: если ЧАС это п-подгруппа г и индекс [г:ЧАС] делится на п, то нормализатор N = N_г(ЧАС) из ЧАС в г также таково, что [N : ЧАС] делится на п. Другими словами, полициклическая порождающая система силовского п-подгруппа может быть найдена, начиная с любого п-подгруппа ЧАС (включая личность) и взяв элементы п- порядок мощности, содержащийся в нормализаторе ЧАС но не в ЧАС сам. Алгоритмическая версия этого (и многие улучшения) описана в виде учебника в (Батлер 1991, Глава 16), включая алгоритм, описанный в (Пушка 1971 г. ). Эти версии до сих пор используются в Система компьютерной алгебры GAP.

В группы перестановок, это было доказано в (Кантор1985a, 1985b, 1990; Кантор и Тейлор 1988 ) что силовский п-подгруппа и ее нормализатор можно найти в полиномиальное время входа (степень группы, умноженная на количество образующих). Эти алгоритмы описаны в учебной форме в (Seress 2003 ), и теперь становятся практическими, поскольку конструктивное распознавание конечных простых групп становится реальностью. В частности, версии этого алгоритма используются в Система компьютерной алгебры Magma.

Смотрите также

Заметки

использованная литература

• Силов, Л. (1872), "Теоремы сюр лес групп замен", Математика. Анна. (На французском), 5 (4): 584–594, Дои:10.1007 / BF01442913, JFM  04.0056.02

Доказательства

• Касадио, Джузеппина; Заппа, Гвидо (1990), "История теоремы Силова и ее доказательства", Болл. Storia Sci. Мат. (на итальянском), 10 (1): 29–75, ISSN  0392-4432, Г-Н  1096350, Zbl  0721.01008
• Гоу, Род (1994), "Силовское доказательство теоремы Силова", Irish Math. Soc. Бык. (33): 55–63, ISSN  0791-5578, Г-Н  1313412, Zbl  0829.01011
• Каммюллер, Флориан; Полсон, Лоуренс К. (1999), «Формальное доказательство теоремы Силова. Эксперимент по абстрактной алгебре с Изабель ХОЛ» (PDF), J. Automat. Причина., 23 (3): 235–264, Дои:10.1023 / А: 1006269330992, ISSN  0168-7433, Г-Н  1721912, Zbl  0943.68149, заархивировано из оригинал (PDF) на 2006-01-03
• Мео, М. (2004), "Математическая жизнь групповой теоремы Коши", Historia Math., 31 (2): 196–221, Дои:10.1016 / S0315-0860 (03) 00003-X, ISSN  0315-0860, Г-Н  2055642, Zbl  1065.01009
• Шарлау, Винфрид (1988), "Die Entdeckung der Sylow-Sätze", Historia Math. (на немецком), 15 (1): 40–52, Дои:10.1016/0315-0860(88)90048-1, ISSN  0315-0860, Г-Н  0931678, Zbl  0637.01006
• Уотерхаус, Уильям С. (1980), «Ранние доказательства теоремы Силова», Arch. Hist. Exact Sci., 21 (3): 279–290, Дои:10.1007 / BF00327877, ISSN  0003-9519, Г-Н  0575718, Zbl  0436.01006
• Виландт, Гельмут (1959), "Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen", Arch. Математика. (на немецком), 10 (1): 401–402, Дои:10.1007 / BF01240818, ISSN  0003-9268, Г-Н  0147529, Zbl  0092.02403

Алгоритмы

• Батлер, Г. (1991), Основные алгоритмы для групп перестановок, Конспект лекций по информатике, 559, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/3-540-54955-2, ISBN  978-3-540-54955-0, Г-Н  1225579, Zbl  0785.20001
• Кэннон, Джон Дж. (1971), "Вычисление локальной структуры больших конечных групп", Компьютеры в алгебре и теории чисел (Proc. SIAM-AMS Sympos. Appl. Математика., Нью-Йорк, 1970), SIAM-AMS Proc., 4, Провиденс, Род-Айленд: AMS, стр. 161–176, ISSN  0160-7634, Г-Н  0367027, Zbl  0253.20027
• Кантор, Уильям М. (1985a), «Полиномиальные алгоритмы поиска элементов простого порядка и силовских подгрупп» (PDF), J. Алгоритмы, 6 (4): 478–514, CiteSeerX  10.1.1.74.3690, Дои:10.1016 / 0196-6774 (85) 90029-X, ISSN  0196-6774, Г-Н  0813589, Zbl  0604.20001
• Кантор, Уильям М. (1985b), «Теорема Силова за полиномиальное время», J. Comput. Syst. Sci., 30 (3): 359–394, Дои:10.1016/0022-0000(85)90052-2, ISSN  1090-2724, Г-Н  0805654, Zbl  0573.20022
• Кантор, Уильям М .; Тейлор, Дональд Э. (1988), "Полиномиальные версии теоремы Силова", J. Алгоритмы, 9 (1): 1–17, Дои:10.1016/0196-6774(88)90002-8, ISSN  0196-6774, Г-Н  0925595, Zbl  0642.20019
• Кантор, Уильям М. (1990), "Нахождение силовских нормализаторов за полиномиальное время", J. Алгоритмы, 11 (4): 523–563, Дои:10.1016/0196-6774(90)90009-4, ISSN  0196-6774, Г-Н  1079450, Zbl  0731.20005
• Seress, Ákos (2003), Алгоритмы группы перестановок, Кембриджские трактаты по математике, 152, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-66103-4, Г-Н  1970241, Zbl  1028.20002

внешние ссылки

• "Теоремы Силова", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Абстрактная алгебра / Теория групп / Теоремы Силова в Викиучебнике
• Вайсштейн, Эрик В. "Силовская p-подгруппа". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Теоремы Силова". MathWorld.