Алгебра Альберта - Albert algebra
В математика, Алгебра Альберта 27-мерный исключительный Йорданова алгебра. Они названы в честь Авраам Адриан Альберт, который первым начал изучение неассоциативные алгебры, обычно работая над действительные числа. Над действительными числами имеется три таких йордановых алгебры вплоть до изоморфизм.[1] Один из них, о котором впервые упомянул Паскуаль Джордан, Джон фон Нейман, и Юджин Вигнер (1934 ) и изучен Альберт (1934), является набором 3 × 3 самосопряженный матрицы над октонионы, оснащенный двоичной операцией
куда обозначает матричное умножение. Другой определяется таким же образом, но с использованием разбить октонионы вместо октонионов. Финал строится из нерасщепленных октонионов с использованием другой стандартной инволюции.
По любому алгебраически замкнутое поле, существует только одна алгебра Альберта и ее группа автоморфизмов грамм это простая разделенная группа типа F4.[2][3] (Например, усложнения трех алгебр Альберта над действительными числами являются изоморфными алгебрами Альберта над комплексными числами.) По этой причине для общего поля F, алгебры Альберта классифицируются Когомологии Галуа группа H1(F,грамм).[4]
В Конструкция Кантора – Кехера – Титса. в применении к алгебре Альберта дает форму E7 алгебра Ли. Расщепленная алгебра Альберта используется при построении 56-мерного структурируемая алгебра группа автоморфизмов которого имеет единичную компоненту односвязную алгебраическую группу типа E6.[5]
Пространство когомологические инварианты алгебр Альберта поле F (характеристики не 2) с коэффициентами в Z/2Z это бесплатный модуль над кольцом когомологий F с основанием 1, ж3, ж5, степеней 0, 3, 5.[6] Когомологические инварианты с коэффициентами 3-кручения имеют базис 1, грамм3 степеней 0, 3.[7] Инварианты ж3 и грамм3 являются основными компонентами Рост-инвариант.
Смотрите также
- Евклидова йорданова алгебра для йордановых алгебр, рассмотренных Иорданом, фон Нейманом и Вигнером
- Евклидова алгебра Гурвица для деталей построения алгебры Альберта для октонионов
Примечания
- ^ Спрингер и Велдкамп (2000) 5.8, стр.153
- ^ Спрингер и Велдкамп (2000) 7,2
- ^ Chevalley C, Schafer RD (февраль 1950 г.). «Исключительные простые алгебры Ли F (4) и E (6)». Proc. Natl. Акад. Sci. СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ. 36 (2): 137–41. Bibcode:1950PNAS ... 36..137C. Дои:10.1073 / pnas.36.2.137. ЧВК 1063148. PMID 16588959.
- ^ Knus et al (1998) стр.517
- ^ Пропустить Гарибальди (2001). «Структурируемые алгебры и группы типов E_6 и E_7». Журнал алгебры. 236 (2): 651–691. arXiv:математика / 9811035. Дои:10.1006 / jabr.2000.8514.
- ^ Гарибальди, Меркурьев, Серр (2003), стр.50
- ^ Гарибальди (2009), стр.20
Рекомендации
- Альберт, А. Адриан (1934), «Об одной алгебре квантовой механики», Анналы математики, Вторая серия, 35 (1): 65–73, Дои:10.2307/1968118, ISSN 0003-486X, JSTOR 1968118
- Гарибальди, Скип; Меркурьев Александр; Серр, Жан-Пьер (2003), Когомологические инварианты в когомологиях Галуа, Серия университетских лекций, 28, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3287-5, МИСТЕР 1999383
- Гарибальди, Скип (2009). Когомологические инварианты: исключительные группы и группы Spin. Мемуары Американского математического общества. 200. Дои:10.1090 / memo / 0937. ISBN 978-0-8218-4404-5.
- Иордания, Паскуаль; Нойман, Джон фон; Вигнер, Юджин (1934), "Об одном алгебраическом обобщении квантово-механического формализма", Анналы математики, 35 (1): 29–64, Дои:10.2307/1968117, JSTOR 1968117
- Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев Александр; Рост, Маркус; Тиньоль, Жан-Пьер (1998), Книга инволюций, Публикации коллоквиума, 44, С предисловием Дж. Титса, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0904-4, Zbl 0955.16001
- МакКриммон, Кевин (2004), Вкус йордановой алгебры, Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / b97489, ISBN 978-0-387-95447-9, МИСТЕР 2014924
- Спрингер, Тонни А.; Велдкамп, Фердинанд Д. (2000) [1963], Октонионы, йордановы алгебры и исключительные группы, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66337-9, МИСТЕР 1763974
дальнейшее чтение
- Petersson, Holger P .; Расин, Мишель Л. (1994), «Альбертовые алгебры», у Каупа, Вильгельма (ред.), Йордановы алгебры. Материалы конференции, состоявшейся в Обервольфахе, Германия, 9-15 августа 1992 г., Берлин: de Gruyter, стр. 197–207, Zbl 0810.17021
- Петерссон, Хольгер П. (2004). «Структурные теоремы для йордановых алгебр степени три над полями произвольной характеристики». Коммуникации в алгебре. 32 (3): 1019–1049. CiteSeerX 10.1.1.496.2136. Дои:10.1081 / AGB-120027965. S2CID 34280968.
- Алгебра Альберта в Энциклопедия математики.