Куб - Cube

Кубический граф
Названный в честь	Q3
Вершины	8
Края	12
Радиус	3
Диаметр	3
Обхват	4
Автоморфизмы	48
Хроматическое число	2
Характеристики	Гамильтониан, обычный, симметричный, дистанционно-регулярный, дистанционно-транзитивный, 3-вершинно-связанный, планарный граф
	Таблица графиков и параметров

Правильный шестигранник
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Платоново твердое тело
Элементы	F = 6, E = 12 V = 8 (χ = 2)
Лица по сторонам	6{4}
Обозначение Конвея	C
Символы Шлефли	{4,3}
Символы Шлефли	t {2,4} или {4} × {} tr {2,2} или {} × {} × {}
Конфигурация лица	V3.3.3.3
Символ Wythoff	3 \| 2 4
Диаграмма Кокстера
Симметрия	О_час, B₃, [4,3], (*432)
Группа вращения	О, [4,3]⁺, (432)
Рекомендации	U₀₆, C₁₈, W₃
Характеристики	обычный, выпуклый зоноэдр
Двугранный угол	90°
4.4.4 (Фигура вершины )	Октаэдр (двойственный многогранник )
Сеть

Сеть куба

3D модель куба

В геометрия, а куб^[1] это трехмерный твердый объект, ограниченный шестью квадрат лица грани или сторон, по три встречи на каждой вершина.

Куб - единственный обычный шестигранник и является одним из пяти Платоновы тела. У него 6 граней, 12 ребер и 8 вершин.

Куб - это тоже квадрат параллелепипед, равносторонний кубовид и право ромбоэдр. Это правильный квадрат призма в трех ориентациях, а треугольный трапецоэдр в четырех направлениях.

Куб это двойной к октаэдр. Имеет кубическую или октаэдрическая симметрия.

Куб - единственный выпуклый многогранник, все грани которого равны квадраты.

Ортогональные проекции

В куб имеет четыре специальных ортогональные проекции по центру, на вершине, ребрах, грани и нормали к ее вершина фигуры. Первый и третий соответствуют A₂ и B₂ Самолеты Кокстера.

Ортогональные проекции
В центре	Лицо	Вершина
Самолеты Кокстера	B₂	А₂
Проективный симметрия	[4]	[6]
Наклонные взгляды

Сферическая черепица

Куб также можно представить в виде сферическая черепица, и проецируется на плоскость через стереографическая проекция. Эта проекция конформный, сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Ортографическая проекция	Стереографическая проекция

Декартовы координаты

Для куба с центром в начале координат, с ребрами, параллельными осям, и с длиной ребра 2, Декартовы координаты вершин

(±1, ±1, ±1)

а интерьер состоит из всех точек (Икс₀, Икс₁, Икс₂) с −1 < Икс_я <1 для всех я.

Уравнение в ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$

В аналитическая геометрия, поверхность куба с центром (Икс₀, у₀, z₀) и длина кромки 2а это локус всех точек (Икс, у, z) такие, что

{displaystyle max {| x-x_ {0} |, | y-y_ {0} |, | z-z_ {0} |} = а.}

Куб также можно рассматривать как предельный случай трехмерного суперэллипсоид поскольку все три показателя стремятся к бесконечности.

Формулы

Для куба с длиной ребра ${displaystyle a}$ :

площадь поверхности	${displaystyle 6a ^ {2},}$	объем	${displaystyle a ^ {3},}$
диагональ лица	${displaystyle {sqrt {2}} a}$	диагональ пространства	${extstyle {sqrt {3}} а}$
радиус ограниченная сфера	${displaystyle {frac {sqrt {3}} {2}} a}$	радиус касательной к краям сферы	${displaystyle {frac {a} {sqrt {2}}}}$
радиус вписанная сфера	${displaystyle {frac {a} {2}}}$	углы между лицами (в радианы )	${displaystyle {frac {pi} {2}}}$

Поскольку объем куба - это третья степень его сторон ${displaystyle a imes a imes a}$ , третьи силы называются кубики, по аналогии с квадраты и вторые силы.

Куб имеет самый большой объем среди кубоиды (прямоугольные коробки) с заданным площадь поверхности. Кроме того, куб имеет самый большой объем среди кубоидов с таким же общим линейным размером (длина + ширина + высота).

Точка в пространстве

Для куба, описывающая сфера которого имеет радиус р, а для данной точки в ее трехмерном пространстве с расстояниями d_я из восьми вершин куба имеем:^[2]

{displaystyle {frac {sum _ {i = 1} ^ {8} d_ {i} ^ {4}} {8}} + {frac {16R ^ {4}} {9}} = left ({frac {sum _ {i = 1} ^ {8} d_ {i} ^ {2}} {8}} + {frac {2R ^ {2}} {3}} ight) ^ {2}.}

Удвоение куба

Удвоение куба, или Делианская проблема, была проблема древнегреческие математики использования только компас и линейка чтобы начать с длины ребра данного куба и построить длину ребра куба с удвоенным объемом исходного куба. Решить эту задачу им не удалось, и в 1837 г. Пьер Ванцель оказалось невозможным, потому что кубический корень из 2 не является конструктивное число.

Равномерная окраска и симметрия

Октаэдрическая симметрия дерево

Куб имеет три одинаковых раскраски, названных цветами квадратных граней вокруг каждой вершины: 111, 112, 123.

Куб имеет четыре класса симметрии, которые могут быть представлены как вершинно-транзитивный раскрашивание лиц. Высшая октаэдрическая симметрия O_час все лица одного цвета. В двугранная симметрия D_4ч происходит от куба, представляющего собой призму, все четыре стороны которой одного цвета. Призматические подмножества D_2d имеет ту же раскраску, что и предыдущий, а D_2ч имеет чередующиеся цвета сторон, всего три цвета, соединенные противоположными сторонами. Каждая форма симметрии имеет разные Символ Wythoff.

Имя	Обычный шестигранник	Квадратная призма	Прямоугольный трапеция	Прямоугольный кубовид	Ромбический призма	Тригональный трапецоэдр
Coxeter диаграмма
Schläfli символ	{4,3}	{4}×{ } rr {4,2}	s₂{2,4}	{ }³ tr {2,2}	{ }×2{ }
Wythoff символ	3 \| 4 2	4 2 \| 2		2 2 2 \|
Симметрия	О_час [4,3] (*432)	D_4ч [4,2] (*422)	D_2d [4,2⁺] (2*2)	D_2ч [2,2] (*222)		D_3D [6,2⁺] (2*3)
Симметрия порядок	24	16	8	8		12
Изображение (униформа окраска)	(111)	(112)	(112)	(123)	(112)	(111), (112)

Геометрические отношения

11 сетей куба.

Эти знакомые шестигранные игральная кость имеют форму куба.

В кубе одиннадцать сети (один показан выше): то есть существует одиннадцать способов сгладить полый куб, разрезав семь граней.^[3] Чтобы раскрасить куб так, чтобы никакие две смежные грани не имели одинаковый цвет, потребуется как минимум три цвета.

Куб - это ячейка единственная регулярная мозаика трехмерного евклидова пространства. Он также уникален среди Платоновых тел тем, что имеет грани с четным числом сторон, и, следовательно, это единственный член этой группы, который является зоноэдр (каждая грань имеет точечную симметрию).

Куб можно разрезать на шесть одинаковых квадратные пирамиды. Если эти квадратные пирамиды затем прикрепить к граням второго куба, ромбический додекаэдр получается (пары копланарных треугольников объединены в ромбические грани).

Другие размеры

Аналог куба в четырехмерном Евклидово пространство имеет особое имя - а тессеракт или же гиперкуб. Вернее, гиперкуб (или п-мерный куб или просто п-куб) является аналогом куба в п-мерное евклидово пространство и тессеракт - это гиперкуб порядка 4. Гиперкуб также называют мерный многогранник.

Есть аналоги куба и в более низких измерениях: точка в размерности 0, a отрезок в одном измерении и квадрат в двух измерениях.

Связанные многогранники

Двойник куба - это октаэдр, здесь вершины находятся в центре квадратных граней куба.

В гемикуб является отношением куба 2 к 1.

Частное куба на противоположный карта дает проективный многогранник, то гемикуб.

Если исходный куб имеет длину ребра 1, его двойственный многогранник (ан октаэдр ) имеет длину ребра ${displaystyle scriptstyle {sqrt {2}} / 2}$ .

Куб является частным случаем в различных классах общих многогранников:

Имя	Равные длины кромок?	Равные углы?	Прямые углы?
Куб	да	да	да
Ромбоэдр	да	да	Нет
Кубоид	Нет	да	да
Параллелепипед	Нет	да	Нет
четырехсторонний граненый шестигранник	Нет	Нет	Нет

Вершины куба можно сгруппировать в две группы по четыре, каждая из которых образует правильный тетраэдр; в более общем смысле это называется полукуб. Эти двое вместе образуют обычный сложный, то Stella Octangula. Их пересечение образует правильный октаэдр. Симметрии правильного тетраэдра соответствуют симметрии куба, который отображает каждый тетраэдр в себя; другие симметрии куба отображают их друг в друга.

Один такой правильный тетраэдр имеет объем 1/3 этого куба. Оставшееся пространство состоит из четырех равных неправильных тетраэдров объемом 1/6 куба каждый.

В исправленный куб это кубооктаэдр. Если срезать меньшие углы, получится многогранник с шестью восьмиугольный лиц и восемь треугольных. В частности, мы можем получить правильные восьмиугольники (усеченный куб ). В ромбокубооктаэдр получается путем обрезания углов и краев до нужной длины.

Куб можно вписать в додекаэдр так что каждая вершина куба является вершиной додекаэдра, а каждое ребро - диагональю одной из граней додекаэдра; взятие всех таких кубиков дает правильное соединение из пяти кубиков.

Если два противоположных угла куба усечь на глубине трех вершин, непосредственно связанных с ними, получается неправильный октаэдр. Восемь из этих неправильных октаэдров могут быть присоединены к треугольным граням правильного октаэдра, чтобы получить кубооктаэдр.

Куб топологически связан с серией сферических многогранников и мозаик третьего порядка. фигуры вершин.

*п32 изменения симметрии правильных мозаик: {п,3} [ v т е ]
Сферический				Евклидово	Компактная гиперболия.		Paraco.	Некомпактный гиперболический

{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i, 3}	{9i, 3}	{6i, 3}	{3i, 3}

Кубооктаэдр - один из семейства однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	т {4,3}	г {4,3} г {3^1,1}	т {3,4} т {3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	рр {4,3} s₂{3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	ч {4,3} {3,3}	час₂{4,3} т {3,3}	с {3,4} с {3^1,1}

		=	=	=				= или же	= или же	=

Двойники к однородным многогранникам
V4³	V3.8²	V (3,4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

Куб топологически связан как часть последовательности правильных мозаик, простирающейся в гиперболическая плоскость: {4, p}, p = 3,4,5 ...

*п42 мутации симметрии правильных мозаик: {4,п} [ v т е ]
Сферический	Евклидово	Компактный гиперболический				Паракомпакт
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}...	{4,∞}

С двугранная симметрия, Ди₄, куб топологически связан серией однородных многогранников и мозаик 4.2n.2n, простирающихся в гиперболическую плоскость:

*п42 мутации симметрии усеченных мозаик: 4,2п.2п [ v т е ]
Симметрия *п42 [n, 4]	Сферический		Евклидово	Компактный гиперболический				Paracomp.
Симметрия *п42 [n, 4]	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Усеченный цифры
Конфиг.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
н-кис цифры
Конфиг.	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

Все эти цифры имеют октаэдрическая симметрия.

Куб является частью последовательности ромбических многогранников и мозаик с [п,3] Группа Коксетера симметрия. Куб можно рассматривать как ромбический шестигранник, в котором ромбы представляют собой квадраты.

Мутации симметрии двойственных квазирегулярных мозаик: V (3.n)²
* n32	Сферический			Евклидово	Гиперболический
* n32	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Плитка
Конф.	В (3,3)²	V (3,4)²	В (3,5)²	В (3,6)²	В (3,7)²	V (3.8)²	V (3.∞)²

Куб - это квадратная призма:

Семья униформы призмы [ v т е ]
Многогранник
Coxeter
Плитка
Конфиг.	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4

Как треугольный трапецоэдр, куб относится к семейству гексагональной диэдральной симметрии.

Однородные шестиугольные двугранные сферические многогранники
Симметрия: [6,2], (*622)							[6,2]⁺, (622)	[6,2⁺], (2*3)


{6,2}	т {6,2}	г {6,2}	т {2,6}	{2,6}	rr {6,2}	tr {6,2}	sr {6,2}	с {2,6}
Двойники к униформе

V6²	V12²	V6²	V4.4.6	V2⁶	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Регулярные и равномерные соединения кубиков
Соединение трех кубиков	Соединение пяти кубиков

В однородных сотах и полихорах

Это элемент 9 из 28 выпуклые однородные соты:

Кубические соты	Усеченные квадратные призматические соты	Плоские квадратные призматические соты	Удлиненные треугольные призматические соты	Гиро-удлиненные треугольные призматические соты

Cantellated кубические соты	Соты с усеченными кубами	Усеченные кубические соты	Бегунковые чередующиеся кубические соты

Это также элемент пяти четырехмерных однородная полихора:

Тессеракт	Собранный 16-элементный	Бегущий тессеракт	Cantitruncated 16-элементный	Усеченный 16-элементный

Кубический граф

В скелет куба (вершины и ребра) образуют график, с 8 вершинами и 12 ребрами. Это частный случай граф гиперкуба.^[4] Это один из 5 Платоновы графики, каждый - скелет своего Платоново твердое тело.

Расширение - трехмерное k-ари Граф Хэмминга, который для k = 2 - куб-граф. Подобные графы встречаются в теории параллельная обработка в компьютерах.

Смотрите также

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. "Куб". MathWorld.
Куб: интерактивная модель многогранника *
Объем куба, с интерактивной анимацией
Куб (Сайт Роберта Уэбба)

Фундаментальный выпуклый обычный и однородные многогранники в размерах 2–10
Семья	А_п	B_п	я₂(п) / D_п	E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / грамм₂	ЧАС_п
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Равномерный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный 4-многогранник	5-элементный	16 ячеек • Тессеракт	Demitesseract	24-элементный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-полукуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-полукуб	1₂₂ • 2₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукуб	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-полукруглый	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-полукуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
Униформа п-многогранник	п-симплекс	п-ортоплекс • п-куб	п-полукуб	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	п-пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений

[1] английский куб со старофранцузского <латинского куб <Греческий κύβος (Кубос) означает «куб, кубик, позвонок». В свою очередь от ПИРОГ * кеу (б) -, "гнуть, повернуть".

[2] Парк, Пу-Сун. "Расстояния регулярных многогранников", Форум Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf В архиве 2016-10-10 на Wayback Machine

[3] Вайсштейн, Эрик В. "Куб". MathWorld.

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Кубический график». MathWorld.

[1]

[2]

[3]

[4]

Кубический граф

Названный в честь	Q₃
Вершины	8
Края	12
Радиус	3
Диаметр	3
Обхват	4
Автоморфизмы	48
Хроматическое число	2
Характеристики	Гамильтониан, обычный, симметричный, дистанционно-регулярный, дистанционно-транзитивный, 3-вершинно-связанный, планарный граф
Таблица графиков и параметров