Октаэдрическая симметрия - Octahedral symmetry

Группы точек в трех измерениях
Группа полиэдров, [n, 3], (* n32)
Инволюционная симметрия C_s, (*) [ ] =	Циклическая симметрия C_NV, (* nn) [n] =	Двугранная симметрия D_нэ, (* n22) [n, 2] =
Тетраэдрическая симметрия Т_d, (*332) [3,3] =	Октаэдрическая симметрия О_час, (*432) [4,3] =	Икосаэдрическая симметрия я_час, (*532) [5,3] =

График цикла
Четыре шестиугольных цикла имеют общую инверсию (черный узел наверху). Шестиугольники симметричны, поэтому, например, 3 и 4 находятся в одном цикле.

Обычный октаэдр имеет 24 симметрии вращения (или сохраняющие ориентацию) и всего 48 симметрий. К ним относятся преобразования, сочетающие отражение и вращение. А куб имеет тот же набор симметрий, так как многогранник двойной в октаэдр.

Группа симметрий, сохраняющих ориентацию, есть S₄, то симметричная группа или группа перестановок четырех объектов, поскольку существует ровно одна такая симметрия для каждой перестановки четырех пар противоположных граней октаэдра.

Подробности

Хиральный и полный (или же ахиральный) октаэдрическая симметрия являются дискретные точечные симметрии (или эквивалентно, симметрии на сфере ) с наибольшим группы симметрии совместим с поступательная симметрия. Они среди кристаллографические точечные группы из кубическая кристаллическая система.

Классы сопряженности
Элементы O		Обращения элементов O
личность	0	инверсия	0'
3 × поворот на 180 ° вокруг 4-х кратной оси	7, 16, 23	3-кратное отражение в плоскости, перпендикулярной оси 4-го порядка	7', 16', 23'
8-кратное вращение на 120 ° вокруг 3-х кратной оси	3, 4, 8, 11, 12, 15, 19, 20	8 × вращательное отражение на 60 °	3', 4', 8', 11', 12', 15', 19', 20'
6 × поворот на 180 ° вокруг 2-х кратной оси	1', 2', 5', 6', 14', 21'	6 × отражение в плоскости, перпендикулярной оси 2-го порядка	1, 2, 5, 6, 14, 21
6 × поворот на 90 ° вокруг 4-х кратной оси	9', 10', 13', 17', 18', 22'	6 × вращательное отражение на 90 °	9, 10, 13, 17, 18, 22

Примеры
${ displaystyle (0,0) = 0}$	${ displaystyle (3,0) = 7}$	${ displaystyle (0,3) = 3}$	${ Displaystyle (7,1) = 1 '}$	${ displaystyle (4,5) = 9 '}$
${ displaystyle (7,0) = 0 '}$	${ displaystyle (4,0) = 7 '}$	${ Displaystyle (7,3) = 3 '}$	${ Displaystyle (0,1) = 1}$	${ Displaystyle (3,5) = 9}$
Полный список можно найти в статья Викиверситета.

Поскольку гипероктаэдрическая группа размерности 3 полная октаэдрическая группа - это венок ${ Displaystyle S_ {2} wr S_ {3} simeq S_ {2} ^ {3} rtimes S_ {3}}$ ,
и естественный способ идентифицировать его элементы - это пары ${ Displaystyle (м, п)}$ с ${ displaystyle m in [0,2 ^ {3})}$ и ${ displaystyle n in [0,3!)}$ .
Но поскольку это также прямой продукт ${ displaystyle S_ {4} times S_ {2}}$ , можно просто идентифицировать элементы тетраэдрической подгруппы Т_d в качестве ${ displaystyle a in [0,4!)}$ и их инверсии как ${ displaystyle a '}$ .

Так, например, личность ${ displaystyle (0,0)}$ представлен как ${ displaystyle 0}$ и инверсия ${ displaystyle (7,0)}$ в качестве ${ displaystyle 0 '}$ .
${ Displaystyle (3,1)}$ представлен как ${ displaystyle 6}$ и ${ Displaystyle (4,1)}$ в качестве ${ displaystyle 6 '}$ .

А вращательное отражение представляет собой сочетание вращения и отражения.

Иллюстрация вращающихся отражений
Отражение ${ displaystyle 7 '}$ применяется при повороте на 120 ° ${ displaystyle 4}$ дает вращательное отражение 60 ° ${ displaystyle 8 '}$ . ${ displaystyle 7 ' circ 4 = 8'}$
Отражение ${ displaystyle 7 '}$ применяется при повороте на 90 ° ${ displaystyle 22 '}$ дает вращательное отражение 90 ° ${ displaystyle 17}$ . ${ displaystyle 7 ' circ 22' = 17}$

Хиральная октаэдрическая симметрия

Оси вращения
C₄	C₃	C₂
3	4	6

О, 432, или [4,3]⁺ порядка 24, является хиральная октаэдрическая симметрия или же вращательная октаэдрическая симметрия . Эта группа похожа на хиральную тетраэдрическая симметрия Т, но C₂ оси теперь C₄ осей, и дополнительно есть 6 C₂ оси, через середины краев куба. Т_d и О изоморфны как абстрактные группы: они обе соответствуют S₄, то симметричная группа на 4 объекта. Т_d это союз Т и набор, полученный объединением каждого элемента О \ Т с инверсией. О группа вращения куб и регулярный октаэдр.

Хиральная октаэдрическая симметрия
Ортогональная проекция	Стереографическая проекция
2-кратный	4-кратный	3-кратный	2-кратный

Полная октаэдрическая симметрия

О_час, *432, [4,3] или м3м порядка 48 - ахиральная октаэдрическая симметрия или же полная октаэдрическая симметрия. Эта группа имеет те же оси вращения, что и О, но с зеркальными плоскостями, включающими обе зеркальные плоскости Т_d и Т_час. Эта группа изоморфна S₄.C₂, а - полная группа симметрии куб и октаэдр. Это гипероктаэдрическая группа за п = 3. См. Также изометрии куба.

Соединение куба и октаэдра

Каждое лицо disdyakis додекаэдр является фундаментальной областью.

Октаэдрическая группа О_час с фундаментальной областью

С осями 4-го порядка в качестве координатных осей основная область О_час дается 0 ≤ Икс ≤ у ≤ z. Объект с этой симметрией характеризуется частью объекта в фундаментальной области, например, куб дан кем-то z = 1, а октаэдр к Икс + у + z = 1 (или соответствующие неравенства, чтобы вместо поверхности получить твердое тело).топор + к + cz = 1 дает многогранник с 48 гранями, например додекаэдр дисдякиса.

Лица 8 на 8 объединяются в большие лица для а = б = 0 (куб) и 6 на 6 для а = б = c (октаэдр).

9 зеркальных линий полной октаэдрической симметрии можно разделить на две подгруппы 3 и 6 (нарисованные фиолетовым и красным цветом), представляющие собой две ортогональные подсимметрии: D_2ч, и Т_d. D_2ч симметрию можно удвоить до D_4ч восстановив 2 зеркала с одной из трех ориентаций.

Октаэдрическая симметрия и отражающие подгруппы

Орфографический проекция	Стереографическая проекция
Орфографический проекция	4-кратный	3-кратный	2-кратный
О_час, [4,3], , полная октаэдрическая симметрия (3 + 6 зеркал)

Т_d, [3,3]=[1⁺,4,3], = , тетраэдрическая подгруппа (6 зеркал)

C_3в, [3], , двугранная подгруппа (3 зеркала)

Орфографический проекция	Стереографическая проекция
Орфографический проекция	4-кратный	3-кратный	2-кратный
D_4ч, [4,2], диэдральная подгруппа (1 + 2 + 2 зеркала)

D_2ч, [2,2]=[4,3*], = диэдральная подгруппа (1 + 1 + 1 зеркала)

C_4в, [4], , двугранная подгруппа (2 + 2 зеркала)

Матрицы вращения

Возьмите набор всех 3x3 матрицы перестановок и назначьте знак «+» или «-» каждой из трех единиц. Всего имеется 6 перестановок x 8 комбинаций знаков = 48 матриц, дающих полную группу октаэдра. Имеется ровно 24 матрицы с детерминант = +1 и это матрицы вращения киральной октаэдрической группы. Остальные 24 матрицы соответствуют отражению или инверсии.

Для октаэдрической симметрии необходимы три отражательных матрицы генератора, которые представляют собой три зеркала Диаграмма Кокстера-Дынкина. Продукт отражений производят 3 вращающихся генератора.

[4,3],
	Размышления			Вращения
Имя	р₀	р₁	р₂	р₀р₁	р₁р₂	р₀р₂
Группа
Заказ	2	2	2	4	3	2
Матрица	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & -1 & 0 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 end {smallmatrix}} right]}$

Подгруппы полной октаэдрической симметрии

О

Т_d

Т_час

Циклические графы подгрупп порядка 24

Подгруппы, упорядоченные на диаграмме Хассе

Вращательные подгруппы

Светоотражающие подгруппы

Подгруппы, содержащие инверсию

Schoe.	Coxeter	Сфера.	H-M	Структура	Заказ	Индекс
О_час	[4,3]	*432	м3м	S₄ × S₂	48	1
Т_d	[3,3]	*332	43м	S₄	24	2
D_4ч	[2,4]	*224	4 / ммм	Dih₁× Ди₄	16	3
D_2ч	[2,2]	*222	М-м-м	Dih₁³= Dih₁× Ди₂	8	6
C_4в	[4]	*44	4мм	Dih₄	8	6
C_3в	[3]	*33	3м	Dih₃= S₃	6	8
C_2v	[2]	*22	мм2	Dih₂	4	12
C_s= C_1v	[ ]	*	2 или м	Dih₁	2	24
Т_час	[3⁺,4]	3*2	м3	А₄ × S₂	24	2
C_4ч	[4⁺,2]	4*	4 / м	Z₄ × Ди₁	8	6
D_3D	[2⁺,6]	2*3	3м	Dih₆= Z₂× Ди₃	12	4
D_2d	[2⁺,4]	2*2	42м	Dih₄	8	6
C_2ч = D_1д	[2⁺,2]	2*	2 / м	Z₂× Ди₁	4	12
S₆	[2⁺,6⁺]	3×	3	Z₆= Z₂× Z₃	6	8
S₄	[2⁺,4⁺]	2×	4	Z₄	4	12
S₂	[2⁺,2⁺]	×	1	S₂	2	24
О	[4,3]⁺	432	432	S₄	24	2
Т	[3,3]⁺	332	23	А₄	12	4
D₄	[2,4]⁺	224	422	Dih₄	8	6
D₃	[2,3]⁺	223	322	Dih₃= S₃	6	8
D₂	[2,2]⁺	222	222	Dih₂= Z₂²	4	12
C₄	[4]⁺	44	4	Z₄	4	12
C₃	[3]⁺	33	3	Z₃= А₃	3	16
C₂	[2]⁺	22	2	Z₂	2	24
C₁	[ ]⁺	11	1	Z₁	1	48

Октаэдрические подгруппы в Обозначение Кокстера^[1]

Изометрии куба

48 элементов симметрии куба

Куб имеет 48 изометрий (элементов симметрии), образующих группа симметрии О_час, изоморфный S₄ × C₂. Их можно разделить на следующие категории:

О (тождество и 23 собственных вращения) со следующими классы сопряженности (в скобках даны перестановки диагоналей тела и единичное представление кватерниона ):
- личность (личность; 1)
- вращение вокруг оси от центра грани к центру противоположной грани на угол 90 °: 3 оси, по 2 на каждую ось, вместе 6 ((1 2 3 4) и т.д .; ((1 ±я )/√2, так далее.)
- то же самое на угол 180 °: 3 оси, по 1 на ось, вместе 3 ((1 2) (3 4) и т.д .; я, j, k)
- вращение вокруг оси от центра кромки до центра противоположной кромки на угол 180 °: 6 осей, по 1 на каждую ось, вместе 6 ((1 2) и т. д .; ((я ± j )/√2, так далее.)
- вращение вокруг диагонали тела на угол 120 °: 4 оси, по 2 на каждую ось, вместе 8 ((1 2 3) и т.д .; (1 ±я ± j ± k)/2)
То же самое с инверсия (Икс отображается на -Икс) (также 24 изометрии). Обратите внимание, что поворот на угол 180 ° вокруг оси в сочетании с инверсией - это просто отражение в перпендикулярной плоскости. Комбинация инверсии и вращения вокруг диагонали тела на угол 120 ° представляет собой вращение вокруг диагонали тела на угол 60 ° в сочетании с отражением в перпендикулярной плоскости (само вращение не отображает куб сам на себя; пересечение плоскости отражения с кубом является регулярным шестиугольник ).

Изометрию куба можно определить по-разному:

гранями три заданные смежные грани (скажем, 1, 2 и 3 на кубике) отображаются в
по изображению куба с несимметричной маркировкой на одной грани: грань с маркировкой, нормальная или зеркальная, и ориентация
путем перестановки четырех диагоналей тела (возможна каждая из 24 перестановок) в сочетании с переключателем для инверсии куба, или нет

Для кубиков с цветами или маркировкой (например, игральная кость имеют), группа симметрии является подгруппой О_час.

Примеры:

C_4v, [4], (* 422): если одна грань имеет другой цвет (или две противоположные грани имеют цвета, отличные друг от друга и от других четырех), куб имеет 8 изометрий, как квадрат в 2D.
D_2час, [2,2], (* 222): если противоположные грани имеют одинаковые цвета, разные для каждого набора из двух, куб имеет 8 изометрий, например кубовид.
D_4час, [4,2], (* 422): если две противоположные грани одного цвета, а все остальные грани одного другого цвета, куб имеет 16 изометрий, как квадрат призма (квадратная коробка).
C_2v, [2], (*22):
- если две смежные грани одного цвета, а все остальные грани одного другого цвета, куб имеет 4 изометрии.
- если три грани, две из которых противоположны друг другу, имеют один цвет, а три других - другого цвета, куб имеет 4 изометрии.
- если две противоположные грани имеют один и тот же цвет, а две другие противоположные грани тоже, а последние две имеют разные цвета, куб имеет 4 изометрии, как лист чистой бумаги с формой с зеркальной симметрией.
C_s, [ ], (*):
- если две смежные грани имеют цвета, отличные друг от друга, а четыре других имеют третий цвет, куб имеет 2 изометрии.
- если две противоположные грани имеют один и тот же цвет, а все остальные грани имеют разные цвета, куб имеет 2 изометрии, как асимметричный лист чистой бумаги.
C_3v, [3], (* 33): если три грани, ни одна из которых не противоположна друг другу, имеют один цвет, а три другие - другого цвета, куб имеет 6 изометрий.

Для некоторых более крупных подгрупп куб с этой группой в качестве группы симметрии невозможно с простой окраской целых граней. На лицах нужно нарисовать какой-то узор.

Примеры:

D_2d, [2⁺, 4], (2 * 2): если на одной грани есть отрезок, разделяющий грань на два равных прямоугольника, а на противоположной - в перпендикулярном направлении, куб имеет 8 изометрий; существует плоскость симметрии и 2-кратная ось симметрии вращения с осью под углом 45 ° к этой плоскости, и, как следствие, существует также другая плоскость симметрии, перпендикулярная первой, и другая ось 2-кратной симметрии вращения перпендикулярно первому.
Т_час, [3⁺, 4], (3 * 2): если каждая грань имеет отрезок линии, разделяющий грань на два равных прямоугольника, так что отрезки смежных граней нет встречаются на краю, куб имеет 24 изометрии: четные перестановки диагоналей тела и такие же в сочетании с инверсией (Икс отображается на -Икс).
Т_d, [3,3], (* 332): если куб состоит из восьми меньших кубиков, четырех белых и четырех черных, соединенных поочередно во всех трех стандартных направлениях, куб снова имеет 24 изометрии: на этот раз четные перестановки диагонали тела и обратные Другой правильные вращения.
Т, [3,3]⁺, (332): если каждая грань имеет одинаковый узор с 2-кратной вращательной симметрией, скажем, буквой S, так что на всех краях вершина одной S пересекает сторону другой S, куб имеет 12 изометрий: четные перестановки диагоналей тела.

Полная симметрия куба, О_час, [4,3], (* 432), сохраняется если и только если все грани имеют одинаковый узор, так что полная симметрия квадрат сохраняется, а для квадрата - группа симметрии, Dih₄, [4], порядка 8.

Полная симметрия куба при правильном вращении, О, [4,3]⁺, (432), сохраняется тогда и только тогда, когда все грани имеют одинаковый узор с 4-х кратная вращательная симметрия, С₄, [4]⁺.

Октаэдрическая симметрия поверхности Больца

В Риманова поверхность теория, Поверхность Больца, иногда называемая кривой Больца, получается как разветвленное двойное покрытие сферы Римана с местом ветвления на множестве вершин правильного вписанного октаэдра. Его группа автоморфизмов включает гиперэллиптическую инволюцию, переворачивающую два листа покрытия. Фактор по подгруппе порядка 2, порожденной гиперэллиптической инволюцией, дает в точности группу симметрий октаэдра. Среди многих замечательных свойств поверхности Больца - то, что она максимизирует систола среди всех гиперболических поверхностей рода 2.

Твердые тела с октаэдрической киральной симметрией

Учебный класс	Имя	Рисунок	Лица	Края	Вершины	Двойное имя	Рисунок
Архимедово твердое тело (Каталонский твердый )	курносый куб		38	60	24	пятиугольный икоситетраэдр

Твердые тела с полной октаэдрической симметрией

Учебный класс	Имя	Лица	Края	Вершины	Двойное имя
Платоново твердое тело	Куб	6	12	8	Октаэдр
Архимедово твердое тело (двойной Каталонский твердый )	Кубооктаэдр	14	24	12	Ромбический додекаэдр
	Усеченный куб	14	36	24	Октаэдр Триаки
	Усеченный октаэдр	14	36	24	Шестигранник Тетракис
	Ромбокубооктаэдр	26	48	24	Дельтоидный икоситетраэдр
	Усеченный кубооктаэдр	26	72	48	Додекаэдр Дисдякиса
Обычный сложный многогранник	Стелла октангула	8	12	8	Самодвойственный
Обычный сложный многогранник	Куб и октаэдр	14	24	14	Самодвойственный