Правильный многоугольник - Regular polygon

Множество выпуклых правильных n-угольников
Правильные многоугольники
Края и вершины	п
Символ Шлефли	{п}
Диаграмма Кокстера – Дынкина
Группа симметрии	D_п, порядок 2n
Двойной многоугольник	Самодвойственный
Площадь (с длиной стороны, s)	${ displaystyle A = { tfrac {1} {4}} ns ^ {2} cot left ({ frac { pi} {n}} right)}$
Внутренний угол	${ Displaystyle (п-2) раз { гидроразрыва {180 ^ { circ}} {п}}}$
Сумма внутренних углов	${ Displaystyle влево (п-2 вправо) раз 180 ^ { circ}}$
Диаметр вписанной окружности	${ displaystyle d _ { text {IC}} = s cot left ({ frac { pi} {n}} right)}$
Диаметр описанной окружности	${ displaystyle d _ { text {OC}} = s csc left ({ frac { pi} {n}} right)}$
Характеристики	Выпуклый, циклический, равносторонний, изогональный, изотоксальный

В Евклидова геометрия, а правильный многоугольник это многоугольник то есть равносторонний (все углы равны по мере) и равносторонний (все стороны одинаковой длины). Правильные многоугольники могут быть либо выпуклый или же звезда. в предел, последовательность правильных многоугольников с увеличивающимся числом сторон приближает круг, если периметр или же площадь фиксированный, или обычный апейрогон (фактически прямая линия ), если длина ребра фиксированная.

Общие свойства

Правильные выпуклые и звездчатые многоугольники с 3–12 вершинами, помеченные символами Шлефли.

Эти свойства применяются ко всем правильным многоугольникам, выпуклым или выпуклым. звезда.

Обычный п-сторонний многоугольник имеет вращательная симметрия порядка п.

Все вершины правильного многоугольника лежат на общей окружности (точка описанный круг ); т.е. они конциклические точки. То есть правильный многоугольник - это циклический многоугольник.

Вместе со свойством сторон равной длины это означает, что каждый правильный многоугольник также имеет вписанную окружность или окружать это касается каждой стороны в средней точке. Таким образом, правильный многоугольник - это касательный многоугольник.

Обычный п-сторонний многоугольник может быть построен с компас и линейка если и только если странный основной факторы п отличны Простые числа Ферма. Видеть конструктивный многоугольник.

Симметрия

В группа симметрии из п-сторонний правильный многоугольник группа диэдра D_п (порядка 2п): D₂, D₃, D₄, ... Он состоит из вращений в C_п, вместе с симметрия отражения в п оси, проходящие через центр. Если п даже тогда половина этих осей проходит через две противоположные вершины, а другая половина - через середины противоположных сторон. Если п нечетно, то все оси проходят через вершину и середину противоположной стороны.

Правильные выпуклые многоугольники

Все обычные простые многоугольники (простой многоугольник - это такой, который нигде не пересекает себя) выпуклые. Те, у кого одинаковое количество сторон, также похожий.

An п-сторонний выпуклый правильный многоугольник обозначается его Символ Шлефли {п}. За п <3, имеем два выродиться случаи:

Моногон {1}: Вырождаться в обычное пространство. (Большинство авторитетов не рассматривают моногон как истинный многоугольник, отчасти из-за этого, а также из-за того, что приведенные ниже формулы не работают, а его структура не соответствует ни одной абстрактный многоугольник.)
Дигон {2}; "двойной отрезок": Вырождаться в обычное пространство. (Из-за этого некоторые авторитеты не считают двуугольник настоящим многоугольником.)

В определенных контекстах все рассматриваемые полигоны будут правильными. В таких условиях приставка обычная принято опускать. Например, все лица равномерные многогранники должны быть правильными, а грани будут описаны просто как треугольник, квадрат, пятиугольник и т. д.

Углы

Для правильной выпуклой п-угольник, каждый внутренний угол имеет размер:

{ displaystyle { frac {180 (n-2)} {n}}}

градусы;

{ Displaystyle { гидроразрыва {(п-2) pi} {п}}}

радианы; или же

{ displaystyle { frac {(n-2)} {2n}}}

полный повороты,

и каждый внешний угол (т.е. дополнительный к внутреннему углу) имеет меру ${ displaystyle { tfrac {360} {n}}}$ градусов, при этом сумма внешних углов равна 360 градусам или 2π радианам или одному полному обороту.

Поскольку количество сторон n приближается к бесконечности, внутренний угол приближается к 180 градусам. Для правильного многоугольника с 10000 сторон (a мириагон ) внутренний угол составляет 179,964 °. По мере увеличения количества сторон внутренний угол может приближаться к 180 °, а форма многоугольника приближается к форме круга. Однако многоугольник никогда не может стать кругом. Значение внутреннего угла никогда не может стать точно равным 180 °, поскольку окружность фактически превратилась бы в прямую линию. По этой причине круг - это не многоугольник с бесконечным числом сторон.

Диагонали

За п > 2, количество диагонали является ${ Displaystyle { tfrac {1} {2}} п (п-3)}$ ; то есть 0, 2, 5, 9, ..., для треугольника, квадрата, пятиугольника, шестиугольника, .... Диагонали делят многоугольник на 1, 4, 11, 24, ... части. OEIS: A007678.

Для регулярного п-угольник, вписанный в окружность единичного радиуса, произведение расстояний от данной вершины до всех других вершин (включая соседние вершины и вершины, соединенные диагональю) равно п.

Очки в плоскости

Для обычного простого п-гон с по окружности р и расстояния d_я из произвольной точки на плоскости к вершинам имеем^[1]

{ displaystyle { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {4}} {n}} + 3R ^ {4} = left ({ frac { sum _ { i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2}} {n}} + R ^ {2} right) ^ {2}.}

Для больших расстояний ${ displaystyle d_ {i}}$ из произвольной точки на плоскости в вершины правильного ${ displaystyle n}$ -угольник, если

{ displaystyle S_ {n} ^ {(2m)} = { frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2m}}

,

тогда^[2]

{ Displaystyle S_ {n} ^ {(2m)} = (S_ {n} ^ {(2)}) ^ {m} + sum _ {k = 1} ^ { lfloor { frac {m} { 2}} rfloor} { binom {m} {2k}} { binom {2k} {k}} R ^ {2k} (S_ {n} ^ {(2)} - R ^ {2}) ^ {k} (S_ {n} ^ {(2)}) ^ {m-2k}}

,

и

{ Displaystyle S_ {n} ^ {(2m)} = (S_ {n} ^ {(2)}) ^ {m} + sum _ {k = 1} ^ { lfloor { frac {m} { 2}} rfloor} { frac {1} {2 ^ {k}}} { binom {m} {2k}} { binom {2k} {k}} (S_ {n} ^ {(4) } - (S_ {n} ^ {(2)}) ^ {2}) ^ {k} (S_ {n} ^ {(2)}) ^ {m-2k}}

,

куда ${ displaystyle m}$ положительное целое число меньше, чем ${ displaystyle n}$ .

Если ${ displaystyle L}$ - расстояние от произвольной точки на плоскости до центра тяжести правильного ${ displaystyle n}$ -угольник с радиусом описанной окружности ${ displaystyle R}$ , тогда ^[2]

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2m} = n ((R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {m} + sum _ {k = 1} ^ { lfloor { frac {m} {2}} rfloor} { binom {m} {2k}} { binom {2k} {k}} R ^ {2k} L ^ {2k} ( R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {m-2k})}

,

куда ${ displaystyle m}$ = 1,2,…, ${ displaystyle n}$ -1.

Внутренние точки

Для регулярного п-угольник, сумма перпендикулярных расстояний от любой внутренней точки до п стороны п раз апофема^[3]^{:п. 72} (апофема - это расстояние от центра до любой стороны). Это обобщение Теорема Вивиани для п= 3 случая.^[4]^[5]

Circumradius

Обычный пятиугольник (п = 5) с сторона s, по окружности р и апофема а

Графики сторона, s ; апофема, а и площадь, А из правильные многоугольники из п стороны и по окружности 1, с основание, б из прямоугольник с такой же площадью - зеленая линия показывает корпус п = 6

В по окружности р от центра правильного многоугольника до одной из вершин зависит от длины стороны s или в апофема а к

{ displaystyle R = { frac {s} {2 sin left ({ frac { pi} {n}} right)}} = { frac {a} { cos left ({ frac { pi} {n}} right)}}}

За конструктивные многоугольники, алгебраические выражения ибо эти отношения существуют; видеть Бицентрический многоугольник # Правильные многоугольники.

Сумма перпендикуляров от правильного п-угольника к любой прямой, касающейся описанной окружности, равно п умноженное на радиус описанной окружности.^[3]^{:п. 73}

Сумма квадратов расстояний от вершин правильного п-угольник в любую точку его описанной окружности равно 2nR² куда р это радиус описанной окружности.^[3]^:стр.73

Сумма квадратов расстояний от середин сторон правильного п-угольник в любую точку описанной окружности равен 2nR² − нс²/4, куда s это длина стороны и р это радиус описанной окружности.^[3]^{:п. 73}

Если ${ displaystyle d_ {i}}$ - расстояния от вершин правильного ${ displaystyle n}$ -угольник в любую точку описанной окружности, тогда ^[2]

{ displaystyle 3 ( sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2}) ^ {2} = 2n sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ { 4}}

.

Расслоения

Coxeter заявляет, что каждый зоногон (а 2м-угольник, противоположные стороны которого параллельны и равной длины) можно разрезать на ${ Displaystyle { tbinom {п} {2}}}$ или же м(м-1) / 2 параллелограмма. Эти мозаики содержатся в виде подмножеств вершин, ребер и граней в ортогональных проекциях. м-кубы.^[6]В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. OEIS: A006245 дает количество решений для меньших полигонов.

Пример сечения для выбранных правильных четных многоугольников
2м	6	8	10	12	14	16	18	20	24	30	40	50
Изображение
Ромбы	3	6	10	15	21	28	36	45	66	105	190	300

Площадь

Площадь А выпуклой регулярной п-сторонний многоугольник, имеющий сторона s, по окружности р, апофема а, и периметр п дан кем-то^[7]^[8]

{ displaystyle A = { tfrac {1} {2}} nsa = { tfrac {1} {2}} pa = { tfrac {1} {4}} ns ^ {2} cot left ({ tfrac { pi} {n}} right) = na ^ {2} tan left ({ tfrac { pi} {n}} right) = { tfrac {1} {2}} nR ^ {2} sin left ({ tfrac {2 pi} {n}} right)}

Для правильных многоугольников со стороной s = 1, радиус описанной окружности р = 1, или апофема а = 1, получается следующая таблица:^[9] (Обратите внимание, что поскольку ${ displaystyle cot x rightarrow 1 / x}$ в качестве ${ displaystyle x rightarrow 0}$ ,^[10] область, когда ${ displaystyle s = 1}$ стремится к ${ Displaystyle п ^ {2} / 4 pi}$ в качестве ${ displaystyle n}$ становится большим.)

Число сторон	Площадь, когда сбоку s = 1		Площадь окружности радиуса р = 1			Площадь при апофеме а = 1
Число сторон	Точный	Приближение	Точный	Приближение	В качестве (приблизительного) доля описанный круг площадь	Точный	Приближение	В качестве (приблизительного) несколько из окружать площадь
п	${ displaystyle { tfrac {n} {4}} cot left ({ tfrac { pi} {n}} right)}$		${ displaystyle { tfrac {n} {2}} sin left ({ tfrac {2 pi} {n}} right)}$		${ displaystyle { tfrac {n} {2 pi}} sin left ({ tfrac {2 pi} {n}} right)}$	${ Displaystyle п загар влево ({ tfrac { pi} {п}} вправо)}$		${ displaystyle { tfrac {n} { pi}} tan left ({ tfrac { pi} {n}} right)}$
3	${ displaystyle { tfrac { sqrt {3}} {4}}}$	0.433012702	${ displaystyle { tfrac {3 { sqrt {3}}} {4}}}$	1.299038105	0.4134966714	${ displaystyle 3 { sqrt {3}}}$	5.196152424	1.653986686
4	1	1.000000000	2	2.000000000	0.6366197722	4	4.000000000	1.273239544
5	${ displaystyle { tfrac {1} {4}} { sqrt {25 + 10 { sqrt {5}}}}}$	1.720477401	${ displaystyle { tfrac {5} {4}} { sqrt {{ tfrac {1} {2}} left (5 + { sqrt {5}} right)}}}$	2.377641291	0.7568267288	${ displaystyle 5 { sqrt {5-2 { sqrt {5}}}}}$	3.632712640	1.156328347
6	${ displaystyle { tfrac {3 { sqrt {3}}} {2}}}$	2.598076211	${ displaystyle { tfrac {3 { sqrt {3}}} {2}}}$	2.598076211	0.8269933428	${ displaystyle 2 { sqrt {3}}}$	3.464101616	1.102657791
7		3.633912444		2.736410189	0.8710264157		3.371022333	1.073029735
8	${ displaystyle 2 + 2 { sqrt {2}}}$	4.828427125	${ displaystyle 2 { sqrt {2}}}$	2.828427125	0.9003163160	${ displaystyle 8 left ({ sqrt {2}} - 1 right)}$	3.313708500	1.054786175
9		6.181824194		2.892544244	0.9207254290		3.275732109	1.042697914
10	${ displaystyle { tfrac {5} {2}} { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}}}$	7.694208843	${ displaystyle { tfrac {5} {2}} { sqrt {{ tfrac {1} {2}} left (5 - { sqrt {5}} right)}}}$	2.938926262	0.9354892840	${ displaystyle 2 { sqrt {25-10 { sqrt {5}}}}}$	3.249196963	1.034251515
11		9.365639907		2.973524496	0.9465022440		3.229891423	1.028106371
12	${ displaystyle 6 + 3 { sqrt {3}}}$	11.19615242	3	3.000000000	0.9549296586	${ displaystyle 12 left (2 - { sqrt {3}} right)}$	3.215390309	1.023490523
13		13.18576833		3.020700617	0.9615188694		3.204212220	1.019932427
14		15.33450194		3.037186175	0.9667663859		3.195408642	1.017130161
15	^[11]	17.64236291	^[12]	3.050524822	0.9710122088	^[13]	3.188348426	1.014882824
16	^[14]	20.10935797	${ displaystyle 4 { sqrt {2 - { sqrt {2}}}}}$	3.061467460	0.9744953584	^[15]	3.182597878	1.013052368
17		22.73549190		3.070554163	0.9773877456		3.177850752	1.011541311
18		25.52076819		3.078181290	0.9798155361		3.173885653	1.010279181
19		28.46518943		3.084644958	0.9818729854		3.170539238	1.009213984
20	^[16]	31.56875757	^[17]	3.090169944	0.9836316430	^[18]	3.167688806	1.008306663
100		795.5128988		3.139525977	0.9993421565		3.142626605	1.000329117
1000		79577.20975		3.141571983	0.9999934200		3.141602989	1.000003290
10,000		7957746.893		3.141592448	0.9999999345		3.141592757	1.000000033
1,000,000		79577471545		3.141592654	1.000000000		3.141592654	1.000000000

Сравнение размеров правильных многоугольников с одинаковой длиной ребра, от три к шестьдесят стороны. Размер неограниченно увеличивается по мере приближения числа сторон к бесконечности.

Из всех п-угольники с заданным периметром, тот, у которого наибольшая площадь, правильный.^[19]

Конструируемый многоугольник

Некоторые правильные многоугольники легко строить с циркулем и линейкой; другие правильные многоугольники вообще невозможно построить. древнегреческие математики умел построить правильный многоугольник с 3, 4 или 5 сторонами,^[20]^{:п. xi} и они знали, как построить правильный многоугольник с удвоенным числом сторон данного правильного многоугольника.^[20]^{:стр. 49–50} В связи с этим возник вопрос: можно ли построить все обычный п-угольники с циркулем и линейкой? Если нет, то какой п-угольники можно построить, а какие нет?

Карл Фридрих Гаусс доказал конструктивность регулярного 17-угольник в 1796 году. Пятью годами позже он разработал теорию Гауссовские периоды в его Disquisitiones Arithmeticae. Эта теория позволила ему сформулировать достаточное условие для конструктивности правильных многоугольников:

Обычный п-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки, если п является произведением степени двойки и любого количества различных Простые числа Ферма (в том числе ни одного).

(Простое число Ферма - это простое число формы ${ displaystyle 2 ^ {(2 ^ {n})} + 1.}$ ) Гаусс без доказательства заявил, что это условие также необходимо, но никогда не публиковал свое доказательство. Полное доказательство необходимости было предоставлено Пьер Ванцель в 1837 году. Результат известен как Теорема Гаусса – Вантцеля..

Эквивалентно обычный п-gon можно построить тогда и только тогда, когда косинус ее общего угла - это конструктивное число - то есть может быть записано в терминах четырех основных арифметических операций и извлечения квадратных корней.

Правильные косые многоугольники

В куб содержит перекос регулярный шестиугольник, видно как 6 красных краев, зигзагообразных между двумя плоскостями, перпендикулярными диагональной оси куба.	Зигзагообразные боковые края п-антипризма представляют собой правильный перекос 2п-угольник, как показано на этой 17-угольной антипризме.

А обычный наклонный многоугольник в 3-м пространстве можно рассматривать как неплоские пути, зигзагообразные между двумя параллельными плоскостями, определяемые как боковые края однородной антипризма. Все края и внутренние углы равны.

В Платоновы тела (в тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, и икосаэдр ) имеют многоугольники Петри, показанные здесь красным, со сторонами 4, 6, 6, 10 и 10 соответственно.

В более общем смысле правильные косые многоугольники можно определить в п-Космос. Примеры включают Полигоны Петри, многоугольные пути ребер, разделяющих правильный многогранник на две половины и выглядит как правильный многоугольник в ортогональной проекции.

В бесконечном пределе правильные косые многоугольники стать перекосом апейрогоны.

Правильные звездчатые многоугольники

2 <2q gcd (p, q) = 1

{5/2}	{7/2}	{7/3}...

{p / q}

п

q

Группа симметрии

Двугранный (D_п)

Двойной многоугольник

Самодвойственный

Внутренний угол
(градусы )

{ displaystyle { frac {180 (p-2q)} {p}}}

^[21]

Невыпуклый правильный многоугольник - это правильный звездный многоугольник. Самый распространенный пример - это пентаграмма, имеющая те же вершины, что и пятиугольник, но соединяет чередующиеся вершины.

Для п-сторонний звездный многоугольник Символ Шлефли изменен, чтобы указать плотность или "звездность" м многоугольника, как {п/м}. Если м равно 2, например, каждая вторая точка присоединяется. Если м равно 3, то присоединяется каждая третья точка. Граница многоугольника огибает центр м раз.

(Невырожденные) правильные звезды с числом сторон до 12:

Пентаграмма – {5/2}
Гептаграмма - {7/2} и {7/3}
Октаграмма – {8/3}
Эннеаграмма - {9/2} и {9/4}
Декаграмма – {10/3}
Хендекаграмма - {11/2}, {11/3}, {11/4} и {11/5}
Додекаграмма – {12/5}

м и п должно быть совмещать, иначе фигура выродится.

Вырожденные правильные звезды с числом сторон до 12:

Тетрагон - {4/2}
Шестиугольники - {6/2}, {6/3}
Октагоны - {8/2}, {8/4}
Эннеагон - {9/3}
Декагоны - {10/2}, {10/4} и {10/5}
Додекагоны - {12/2}, {12/3}, {12/4} и {12/6}

Две интерпретации {6/2}
Грюнбаум {6/2} или 2 {3}^[22]	Coxeter 2{3} или {6} [2 {3}] {6}

Шестигранник с двойной обмоткой	Гексаграмма как соединение двух треугольников

В зависимости от точного происхождения символа Шлефли мнения разнятся относительно природы вырожденной фигуры. Например, {6/2} можно лечить одним из двух способов:

На протяжении большей части 20-го века (см., Например, Кокстер (1948) ), мы обычно использовали / 2 для обозначения соединения каждой вершины выпуклого {6} с ее ближайшими соседями на расстоянии двух шагов, чтобы получить регулярный сложный двух треугольников, или гексаграмма.
Кокстер поясняет это обычное соединение с помощью обозначения {kp} [k {p}] {kp} для соединения {p / k}, поэтому гексаграмма представлен как {6} [2 {3}] {6}.^[23] Более компактно Кокстер также пишет 2{n / 2}, нравится 2{3} для гексаграммы составной как чередования правильных четных многоугольников с курсивом по ведущему фактору, чтобы отличить его от совпадающей интерпретации.^[24]
Многие современные геометры, такие как Грюнбаум (2003),^[22] считаю это неправильным. Они используют / 2 для обозначения перемещения на два места вокруг {6} на каждом шаге, получая треугольник "с двойной обмоткой", у которого две вершины наложены друг на друга в каждой угловой точке и два ребра вдоль каждого сегмента линии. Это не только лучше согласуется с современными теориями абстрактные многогранники, но он также более точно копирует способ, которым Пуансо (1809) создал свои звездные многоугольники - взяв один отрезок проволоки и согнув его в последовательных точках под тем же углом, пока фигура не сомкнется.

Двойственность правильных многоугольников

Все правильные многоугольники самодвойственны для конгруэнтности, а для нечетных п они самодвойственны идентичности.

Кроме того, правильные звездные фигуры (соединения), состоящие из правильных многоугольников, также самодуальны.

Правильные многоугольники как грани многогранников

А равномерный многогранник имеет правильные многоугольники как грани, так что для каждых двух вершин существует изометрия отображение одного в другой (точно так же, как для правильного многоугольника).

А квазирегулярный многогранник представляет собой равномерный многогранник, у каждой вершины которого чередуются грани двух типов.

А правильный многогранник представляет собой равномерный многогранник с одной гранью.

Остальные (неоднородные) выпуклые многогранники с правильными лицами известны как Твердые тела Джонсона.

Многогранник с правильными треугольниками гранями называется многогранником. дельтаэдр.

Смотрите также

Евклидовы мозаики выпуклыми правильными многоугольниками
Платоново твердое тело
Апейрогон - Многоугольник с бесконечными сторонами также может быть правильным, {∞}.
Список правильных многогранников и соединений
Равносторонний многоугольник
Карлайл круг

Примечания

^ Парк, Пу-Сун. "Расстояния регулярных многогранников", Форум Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
^ ^а ^б ^c Месхишвили, Мамука (2020). «Средние циклические правильные многоугольники и платоновы тела». Коммуникации в математике и приложениях. 11: 335–355.
^ ^а ^б ^c ^d Джонсон, Роджер А., Продвинутая евклидова геометрия, Dover Publ., 2007 (ориг. 1929 г.).
^ Пиковер, Клиффорд А, Книга по математике, Стерлинг, 2009: с. 150
^ Чен, Чжибо, и Лян, Тянь. «Обратное к теореме Вивиани», Математический журнал колледжа 37 (5), 2006, стр. 390–391.
^ Coxeter, Математические развлечения и эссе, тринадцатое издание, с.141
^ «Открытый справочник по математике». Получено 4 февраля 2014.
^ "Математические слова".

^ Результаты для р = 1 и а = 1, полученное с помощью Клен, используя определение функции:

ж := proc (п)опции оператор, стрелка;[ [конвертировать(1/4*п*детская кроватка(число Пи/п), радикальный), конвертировать(1/4*п*детская кроватка(число Пи/п), плавать)], [конвертировать(1/2*п*грех(2*число Пи/п), радикальный), конвертировать(1/2*п*грех(2*число Пи/п), плавать), конвертировать(1/2*п*грех(2*число Пи/п)/число Пи, плавать)], [конвертировать(п*загар(число Пи/п), радикальный), конвертировать(п*загар(число Пи/п), плавать), конвертировать(п*загар(число Пи/п)/число Пи, плавать)]]конец proc

Выражения для п= 16 получаются двойным применением формула касательного полуугла загорать (π / 4)

^ Тригонометрические функции
^ ${ displaystyle { tfrac {15} {8}} left ({ sqrt {15}} + { sqrt {3}} + { sqrt {2 left (5 + { sqrt {5}} верно-верно)}$
^ ${ displaystyle { tfrac {15} {16}} left ({ sqrt {15}} + { sqrt {3}} - { sqrt {10-2 { sqrt {5}}}}} right )}$
^ ${ displaystyle { tfrac {15} {2}} left (3 { sqrt {3}} - { sqrt {15}} - { sqrt {2 left (25-11 { sqrt {5}) }верно-верно)}$
^ ${ displaystyle 4 left (1 + { sqrt {2}} + { sqrt {2 left (2 + { sqrt {2}} right)}} right)}$
^ ${ displaystyle 16 left (1 + { sqrt {2}} right) left ({ sqrt {2 left (2 - { sqrt {2}} right)}} - 1 right)}$
^ ${ displaystyle 5 left (1 + { sqrt {5}} + { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} right)}$
^ ${ displaystyle { tfrac {5} {2}} left ({ sqrt {5}} - 1 right)}$
^ ${ displaystyle 20 left (1 + { sqrt {5}} - { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} right)}$
^ Чакериан Г.Д. "Искаженное представление о геометрии". Гл. 7 дюйм Математические сливы (Р. Хонсбергер, редактор). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979: 147.
^ ^а ^б Смелый, Бенджамин. Известные задачи геометрии и способы их решения, Dover Publications, 1982 (начало 1969 г.).
^ Каппрафф, Джей (2002). За гранью: экскурсия по природе, мифам и числам. World Scientific. п. 258. ISBN 978-981-02-4702-7.
^ ^а ^б Ваши многогранники такие же, как мои многогранники? Бранко Грюнбаум (2003), рис.
^ Правильные многогранники, стр.95
^ Кокстер, Плотности правильных многогранников, II, 1932, стр.53.

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. "Правильный многоугольник". MathWorld.
Описание регулярного многоугольника С интерактивной анимацией
Вписанная окружность правильного многоугольника С интерактивной анимацией
Площадь правильного многоугольника Три разные формулы с интерактивной анимацией
Построения правильных многоугольников художниками эпохи Возрождения в Конвергенция

Фундаментальный выпуклый обычный и однородные многогранники в размерах 2–10
Семья	А_п	B_п	я₂(п) / D_п	E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / грамм₂	ЧАС_п
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Равномерный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный 4-многогранник	5-элементный	16 ячеек • Тессеракт	Demitesseract	24-элементный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-полукуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-полукуб	1₂₂ • 2₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукруглый	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-полукруглый	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-полукруглый
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
Униформа п-многогранник	п-симплекс	п-ортоплекс • п-куб	п-полукуб	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	п-пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений

[1] Парк, Пу-Сун. "Расстояния регулярных многогранников", Форум Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf

[Mamuka-2] а ^б ^c Месхишвили, Мамука (2020). «Средние циклические правильные многоугольники и платоновы тела». Коммуникации в математике и приложениях. 11: 335–355.

[Johnson-3] а ^б ^c ^d Джонсон, Роджер А., Продвинутая евклидова геометрия, Dover Publ., 2007 (ориг. 1929 г.).

[4] Пиковер, Клиффорд А, Книга по математике, Стерлинг, 2009: с. 150

[5] Чен, Чжибо, и Лян, Тянь. «Обратное к теореме Вивиани», Математический журнал колледжа 37 (5), 2006, стр. 390–391.

[6] Coxeter, Математические развлечения и эссе, тринадцатое издание, с.141

[7] «Открытый справочник по математике». Получено 4 февраля 2014.

[8] "Математические слова".

[9] Результаты для р = 1 и а = 1, полученное с помощью Клен, используя определение функции:
ж := proc (п)опции оператор, стрелка;[ [конвертировать(1/4*п*детская кроватка(число Пи/п), радикальный), конвертировать(1/4*п*детская кроватка(число Пи/п), плавать)], [конвертировать(1/2*п*грех(2*число Пи/п), радикальный), конвертировать(1/2*п*грех(2*число Пи/п), плавать), конвертировать(1/2*п*грех(2*число Пи/п)/число Пи, плавать)], [конвертировать(п*загар(число Пи/п), радикальный), конвертировать(п*загар(число Пи/п), плавать), конвертировать(п*загар(число Пи/п)/число Пи, плавать)]]конец proc
Выражения для п= 16 получаются двойным применением формула касательного полуугла загорать (π / 4)

[10] Тригонометрические функции

[11] ${ displaystyle { tfrac {15} {8}} left ({ sqrt {15}} + { sqrt {3}} + { sqrt {2 left (5 + { sqrt {5}} верно-верно)}$

[12] ${ displaystyle { tfrac {15} {16}} left ({ sqrt {15}} + { sqrt {3}} - { sqrt {10-2 { sqrt {5}}}}} right )}$

[13] ${ displaystyle { tfrac {15} {2}} left (3 { sqrt {3}} - { sqrt {15}} - { sqrt {2 left (25-11 { sqrt {5}) }верно-верно)}$

[14] ${ displaystyle 4 left (1 + { sqrt {2}} + { sqrt {2 left (2 + { sqrt {2}} right)}} right)}$

[15] ${ displaystyle 16 left (1 + { sqrt {2}} right) left ({ sqrt {2 left (2 - { sqrt {2}} right)}} - 1 right)}$

[16] ${ displaystyle 5 left (1 + { sqrt {5}} + { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} right)}$

[17] ${ displaystyle { tfrac {5} {2}} left ({ sqrt {5}} - 1 right)}$

[18] ${ displaystyle 20 left (1 + { sqrt {5}} - { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} right)}$

[19] Чакериан Г.Д. "Искаженное представление о геометрии". Гл. 7 дюйм Математические сливы (Р. Хонсбергер, редактор). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979: 147.

[Bold-20] а ^б Смелый, Бенджамин. Известные задачи геометрии и способы их решения, Dover Publications, 1982 (начало 1969 г.).

[21] Каппрафф, Джей (2002). За гранью: экскурсия по природе, мифам и числам. World Scientific. п. 258. ISBN 978-981-02-4702-7.

[Branko-22] а ^б Ваши многогранники такие же, как мои многогранники? Бранко Грюнбаум (2003), рис.

[23] Правильные многогранники, стр.95

[24] Кокстер, Плотности правильных многогранников, II, 1932, стр.53.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

Полигоны (Список )
Треугольники	Острый Равносторонний Идеально Равнобедренный Тупой Правильно
Четырехугольники	Антипараллелограмм Бицентрический Циклический Равдиагональный Эксантангенциальный Гармонический Равнобедренная трапеция летающий змей Ламберт Ортодиагональный Параллелограмм Прямоугольник Правый змей Ромб Саккери Квадрат Тангенциальный Тангенциальная трапеция Трапеция
По количеству сторон	Моногон (1) Дигон (2) Треугольник (3) Четырехугольник (4) Пентагон (5) Шестиугольник (6) Гептагон (7) Восьмиугольник (8) Нонагон (Эннеагон, 9) Десятиугольник (10) Хендекагон (11) Додекагон (12) Трехугольник (13) Тетрадекагон (14) Пентадекагон (15) Шестиугольник (16) Гептадекагон (17) Восьмиугольник (18) Эннеадекагон (19) Икосагон (20) Икосидигон (22) Икоситетракон (24) Икозигексагон (26) Икозиоктагон (28) Триаконтагон (30) Триаконтадигон (32) Триаконтатетрагон (34) Тетраконтагон (40) Тетраконтадигон (42) Тетраконтаоктагон (48) Пентаконтагон (50) Шестиугольник (60) Гексаконтатетрагон (64) Гептаконтагон (70) Октаконтагон (80) Эннаконтагон (90) Эннеаконтагексагон (96) Гектогон (100) 120-угольник 257-угольник 360-угольник Чилигон (1000) Мириагон (10,000) 65537-угольник Мегагон (1000000) Апейрогон (∞)
Звездные многоугольники	Пентаграмма Гексаграмма Гептаграмма Октаграмма Эннеаграмма Декаграмма Хендекаграмма Додекаграмма
Классы	Вогнутый Выпуклый Циклический Равносторонний Равносторонний Изогональный Изотоксал Псевдотреугольник Обычный Простой Перекос В форме звезды Тангенциальный