Гиперкуб - Hypercube

Перспективные прогнозы
Куб (3-куб)	Тессеракт (4-куб)

В геометрия, а гиперкуб является п-размерный аналог квадрат (п = 2) и куб (п = 3). Это закрыто, компактный, выпуклый фигура, 1-скелет состоит из групп противоположных параллельно отрезки линии выровнен в каждом из пространств размеры, перпендикуляр друг к другу и одинаковой длины. Самая длинная диагональ единичного гиперкуба в п размеры равны ${displaystyle {sqrt {n}}}$ .

An п-мерный гиперкуб чаще называют п-куб или иногда как п-мерный куб. Период, термин мерный многогранник (первоначально из Элте, 1912 г.)^[1] также используется, особенно в работе Х. С. М. Коксетер который также называет гиперкубы γп многогранники.^[2]

Гиперкуб - это частный случай гипер прямоугольник (также называемый н-ортотоп).

А единичный гиперкуб - гиперкуб, сторона которого равна единице единица измерения. Часто гиперкуб, углы которого (или вершины) являются 2^п указывает в р^п с каждой координатой, равной 0 или 1, называется то единичный гиперкуб.

Строительство

Схема, показывающая, как создать тессеракт из точки.

Анимация, показывающая, как создать тессеракт из точки.

Гиперкуб можно определить, увеличив количество измерений формы:

0 - Точка - это гиперкуб нулевой размерности.

1 - Если переместить эту точку на одну единицу длины, она выметет линейный сегмент, который представляет собой единичный гиперкуб размерности один.

2 - Если переместить этот отрезок линии на перпендикуляр направление от себя; он выметает двумерный квадрат.

3 - Если переместить квадрат на одну единицу длины в направлении, перпендикулярном плоскости, на которой он лежит, то получится трехмерный куб.

4 - Если переместить куб на одну единицу длины в четвертое измерение, он создаст четырехмерный единичный гиперкуб (единичный тессеракт ).

Это можно обобщить на любое количество измерений. Этот процесс выметания объемов можно формализовать математически как Сумма Минковского: the d-мерный гиперкуб - это сумма Минковского d взаимно перпендикулярные линейные сегменты единичной длины, и поэтому является примером зонотоп.

1-скелет гиперкуба есть граф гиперкуба.

Координаты

Единичный гиперкуб п размеры - это выпуклый корпус точек, заданных всеми перестановками знаков Декартовы координаты ${displaystyle left (pm {frac {1} {2}}, pm {frac {1} {2}}, cdots, pm {frac {1} {2}} ight)}$ . Он имеет длину края 1 и п-размерный объем 1.

An п-мерный гиперкуб также часто рассматривается как выпуклая оболочка всех знаковых перестановок координат ${displaystyle (pm 1, pm 1, cdots, pm 1)}$ . Эту форму часто выбирают из-за простоты записи координат. Длина его края равна 2, а его п-размерный объем 2^п.

Элементы

Каждый п-куб n> 0 состоит из элементов, или п-кубики меньшей размерности на (п−1) -мерная поверхность на родительском гиперкубе. Сторона - это любой элемент (п−1) -размерность родительского гиперкуба. Гиперкуб измерения п имеет 2п сторон (1-мерная линия имеет 2 конца; 2-мерный квадрат имеет 4 стороны или ребра; 3-мерный куб имеет 6 2-мерных граней; 4-мерный тессеракт имеет 8 ячеек). Количество вершин (точек) гиперкуба равно ${displaystyle 2 ^ {n}}$ (куб имеет ${displaystyle 2 ^ {3}}$ вершины, например).

Количество м-мерные гиперкубы (называемые также м-куб отсюда) на границе п-куб

{displaystyle E_ {m, n} = 2 ^ {n-m} {n выберите m}}

,^[3] куда

{displaystyle {n choose m} = {frac {n!} {m!, (n-m)!}}}

и п! обозначает факториал из п.

Например, граница 4-куба (n = 4) содержит 8 кубов (3-кубы), 24 квадрата (2-кубы), 32 линии (1-кубы) и 16 вершин (0-кубы).

Это тождество можно доказать комбинаторными аргументами; каждый из ${displaystyle 2 ^ {n}}$ вершины определяют вершину в м-мерная граница. Есть ${displaystyle {n выбрать m}}$ способы выбора линий («сторон»), определяющих подпространство, в котором находится граница. Но каждая сторона считается ${displaystyle 2 ^ {m}}$ раз, поскольку у него столько вершин, нам нужно разделить на это число.

Этот идентификатор также можно использовать для создания формулы для п-мерная площадь поверхности куба. Площадь поверхности гиперкуба равна: ${displaystyle 2ns ^ {n-1}}$ .

Эти числа также могут быть получены линейным отношение повторения

{displaystyle E_ {m, n} = 2E_ {m, n-1} + E_ {m-1, n-1}!}

, с

{displaystyle E_ {0,0} = 1!}

, и неопределенные элементы (где

{displaystyle n

,

{displaystyle n <0}

, или же

{displaystyle m <0}

)

{displaystyle = 0}

.

Например, расширение квадрата через его 4 вершины добавляет одну дополнительную линию (ребро) на вершину, а также добавляет последний второй квадрат, чтобы сформировать куб, давая ${displaystyle E_ {1,3}!}$ = Всего 12 строк.

Элементы гиперкуба ${displaystyle E_ {m, n}!}$ (последовательность A038207 в OEIS )
			м	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
п	n-куб	Имена	Schläfli Coxeter	Вершина 0-лицо	Край 1 лицо	Лицо 2-гранный	Клетка 3-гранный	4-гранный	5-гранный	6-гранный	7-гранный	8-гранный	9-гранный	10-гранный
0	0-куб	Точка Монон	( )	1
1	1-куб	Отрезок Дион^[4]	{}	2	1
2	2-куб	Квадрат Четырехугольник	{4}	4	4	1
3	3-куб	Куб Шестигранник	{4,3}	8	12	6	1
4	4-куб	Тессеракт Октахорон	{4,3,3}	16	32	24	8	1
5	5-куб	Penteract Дека-5-топ	{4,3,3,3}	32	80	80	40	10	1
6	6-куб	Гексеракт Додека-6-топе	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	1
7	7-куб	Hepteract Тетрадека-7-топ	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	1
8	8-куб	Octeract Гексадека-8-топе	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	9-куб	Enneract Octadeca-9-топе	{4,3,3,3,3,3,3,3}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1
10	10-куб	Dekeract Икоса-10-топ	{4,3,3,3,3,3,3,3,3}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

Графики

An п-куб может быть спроектирован внутри обычного 2п-угольный многоугольник косая ортогональная проекция, показанный здесь от отрезка линии до 15-куба.

Многоугольник Петри Ортографические проекции
Отрезок	Квадрат	Куб	Тессеракт	5-куб
6-куб	7-куб	8-куб	9-куб	10-куб
11-куб	12-куб	13-куб	14-куб	15-куб

Проекция вращающийся тессеракт.

Связанные семейства многогранников

Гиперкубы - одно из немногих семейств правильные многогранники которые представлены в любом количестве измерений.

В гиперкуб (смещение) семья одна из трех правильный многогранник семьи, помеченные Coxeter в качестве γ_п. Два других - двойственное семейство гиперкубов, кросс-многогранники, помеченный как β_п, и симплексы, помеченный как α_п. Четвертая семья, бесконечные мозаики гиперкубов, он обозначил как δ_п.

Другое родственное семейство полуправильных и однородные многогранники это полугиперкубы, которые построены из гиперкубов с удаленными альтернативными вершинами и симплекс фасеты добавлены в промежутки, помеченные как hγ_п.

п-кубики можно комбинировать со своими двойниками ( кросс-многогранники ) для образования составных многогранников:

В двух измерениях мы получаем октаграмматический звездочка {8/2},
В трех измерениях мы получаем соединение куба и октаэдра,
В четырех измерениях мы получаем соединение тессеракта и 16 ячеек.

Отношении (п−1) -симплексы

График пребра гиперкуба изоморфный к Диаграмма Хассе из (п−1)-симплекс с лицевая решетка. В этом можно убедиться, сориентировав п-гиперкуб так, чтобы две противоположные вершины лежали вертикально, что соответствует (п-1) -симплекс и нуль-многогранник соответственно. Каждая вершина, соединенная с верхней вершиной, затем однозначно отображается в одну из (п-1) фасеты -симплекса (п-2 грани), и каждая вершина, связанная с этими вершинами, отображается в одну из вершин симплекса. п-3 грани и так далее, а вершины, соединенные с нижней вершиной, отображаются на вершины симплекса.

Это соотношение может быть использовано для генерации решетки граней (п-1) -симплексом эффективно, поскольку алгоритмы перебора решеток граней, применимые к многогранникам общего вида, более затратны в вычислительном отношении.

Обобщенные гиперкубы

Обычный сложные многогранники можно определить в сложный Гильбертово пространство называется обобщенные гиперкубы, γ^п
_п = _п{4}₂{3}...₂{3}₂, или же ... Реальные решения существуют с п= 2, т.е. γ²
_п = γ_п = ₂{4}₂{3}...₂{3}₂ = {4,3, .., 3}. За п> 2, они существуют в ${displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ . Фасеты обобщенные (п-1) -куб и вершина фигуры регулярно симплексы.

В правильный многоугольник периметр, видимый в этих ортогональных проекциях, называется многоугольник петри. Обобщенные квадраты (n = 2) показаны с краями, обведенными чередующимися красным и синим цветом. п-ребра, а верхние n-кубы нарисованы черным контуром п-ребра.

Количество м-лицевые элементы в п-обобщенный п-куб бывают: ${displaystyle p ^ {n-m} {n выберите m}}$ . Это п^п вершины и пн грани.^[5]

Обобщенные гиперкубы
	п=2		п=3	п=4	п=5	п=6	п=7	п=8
${displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$	γ² ₂ = {4} = 4 вершины	${displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$	γ³ ₂ = 9 вершин	γ⁴ ₂ = 16 вершин	γ⁵ ₂ = 25 вершин	γ⁶ ₂ = 36 вершин	γ⁷ ₂ = 49 вершин	γ⁸ ₂ = 64 вершины
${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$	γ² ₃ = {4,3} = 8 вершин	${displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	γ³ ₃ = 27 вершин	γ⁴ ₃ = 64 вершины	γ⁵ ₃ = 125 вершин	γ⁶ ₃ = 216 вершин	γ⁷ ₃ = 343 вершины	γ⁸ ₃ = 512 вершин
${displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$	γ² ₄ = {4,3,3} = 16 вершин	${displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$	γ³ ₄ = 81 вершина	γ⁴ ₄ = 256 вершин	γ⁵ ₄ = 625 вершин	γ⁶ ₄ = 1296 вершин	γ⁷ ₄ = 2401 вершина	γ⁸ ₄ = 4096 вершин
${displaystyle mathbb {R} ^ {5}}$	γ² ₅ = {4,3,3,3} = 32 вершины	${displaystyle mathbb {C} ^ {5}}$	γ³ ₅ = 243 вершины	γ⁴ ₅ = 1024 вершины	γ⁵ ₅ = 3125 вершин	γ⁶ ₅ = 7776 вершин	γ⁷ ₅ = 16,807 вершин	γ⁸ ₅ = 32,768 вершин
${displaystyle mathbb {R} ^ {6}}$	γ² ₆ = {4,3,3,3,3} = 64 вершины	${displaystyle mathbb {C} ^ {6}}$	γ³ ₆ = 729 вершин	γ⁴ ₆ = 4096 вершин	γ⁵ ₆ = 15625 вершин	γ⁶ ₆ = 46 656 вершин	γ⁷ ₆ = 117,649 вершин	γ⁸ ₆ = 262 144 вершины
${displaystyle mathbb {R} ^ {7}}$	γ² ₇ = {4,3,3,3,3,3} = 128 вершин	${displaystyle mathbb {C} ^ {7}}$	γ³ ₇ = 2187 вершин	γ⁴ ₇ = 16 384 вершины	γ⁵ ₇ = 78,125 вершин	γ⁶ ₇ = 279 936 вершин	γ⁷ ₇ = 823,543 вершины	γ⁸ ₇ = 2,097,152 вершины
${displaystyle mathbb {R} ^ {8}}$	γ² ₈ = {4,3,3,3,3,3,3} = 256 вершин	${displaystyle mathbb {C} ^ {8}}$	γ³ ₈ = 6561 вершина	γ⁴ ₈ = 65 536 вершин	γ⁵ ₈ = 390,625 вершин	γ⁶ ₈ = 1,679,616 вершин	γ⁷ ₈ = 5,764,801 вершина	γ⁸ ₈ = 16,777,216 вершин

Смотрите также

Сеть межсоединений Hypercube компьютерной архитектуры
Гипероктаэдрическая группа, группа симметрии гиперкуба
Гиперсфера
Симплекс
Распятие (Corpus Hypercubus) (известное произведение искусства)

Примечания

^ Элте, Э. Л. (1912). «IV, Пятимерный полуправильный многогранник». Полурегулярные многогранники гиперпространств. Нидерланды: Гронингенский университет. ISBN 141817968X.
^ Кокстер 1973, pp. 122-123, §7.2 см. иллюстрацию Рис. 7.2C.
^ Кокстер 1973, п. 122, §7 · 25.
^ Джонсон, Норман У .; Геометрии и преобразования, Cambridge University Press, 2018, стр.224.
^ Кокстер, Х. С. М. (1974), Правильные сложные многогранники, Лондон и Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, п. 180, МИСТЕР 0370328.

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Гиперкуб». MathWorld.
Вайсштейн, Эрик В. «Графики гиперкуба». MathWorld.
www.4d-screen.de (Вращение 4D - 7D-куба)
Вращение гиперкуба Энрике Зелени, Вольфрам Демонстрационный проект.
Стереоскопический анимированный гиперкуб
Загрузки гиперкуба Руди Ракера и Фариде Дормишян

Фундаментальный выпуклый обычный и однородные многогранники в размерах 2–10
Семья	А_п	B_п	я₂(п) / D_п	E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / грамм₂	ЧАС_п
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Равномерный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный 4-многогранник	5-элементный	16 ячеек • Тессеракт	Demitesseract	24-элементный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-полукруглый
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-полукуб	1₂₂ • 2₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукруглый	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-полукруглый	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-полукруглый
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
Униформа п-многогранник	п-симплекс	п-ортоплекс • п-куб	п-полукуб	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	п-пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений

[1] Элте, Э. Л. (1912). «IV, Пятимерный полуправильный многогранник». Полурегулярные многогранники гиперпространств. Нидерланды: Гронингенский университет. ISBN 141817968X.

[FOOTNOTECoxeter1973122-123§7.2_see_illustration_Fig_7.2<small>C</small>-2] Кокстер 1973, pp. 122-123, §7.2 см. иллюстрацию Рис. 7.2C.

[FOOTNOTECoxeter1973122§7·25-3] Кокстер 1973, п. 122, §7 · 25.

[4] Джонсон, Норман У .; Геометрии и преобразования, Cambridge University Press, 2018, стр.224.

[5] Кокстер, Х. С. М. (1974), Правильные сложные многогранники, Лондон и Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, п. 180, МИСТЕР 0370328.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Измерение
Размерные пространства	Векторное пространство Евклидово пространство Аффинное пространство Проективное пространство Бесплатный модуль Многообразие Алгебраическое многообразие Пространство-время
Другие размеры	Krull Покрытие Лебега Индуктивный Хаусдорф Минковский Фрактал Степени свободы
Многогранники и формы	Гиперплоскость Гиперповерхность Гиперкуб Гиперсфера Гиперпрямоугольник Демигиперкуб Кросс-многогранник Симплекс
Размеры по номеру	Нуль Один Два Три Четыре Пять Шесть Семь 8 9 п-размеры Отрицательные размеры
Категория