Зоноэдр - Zonohedron

А зоноэдр это выпуклый многогранник это центрально-симметричный, каждое лицо которого - центрально-симметричный многоугольник. Любой зоноэдр может быть эквивалентно описан как Сумма Минковского набора линейных сегментов в трехмерном пространстве или как трехмерное проекция из гиперкуб. Зоноэдры были первоначально определены и изучены Федоров Е.С., русский кристаллограф. В более общем смысле, в любом измерении сумма Минковского отрезков прямых образует многогранник известный как зонотоп.

Зоноэдры, что пространство плитки

Первоначальная мотивация изучения зоноэдров состоит в том, что Диаграмма Вороного любой решетка образует выпуклые однородные соты в котором клетки являются зоноэдрами. Любой образованный таким образом зоноэдр может мозаика 3-мерное пространство и называется первичный параллелоэдр. Каждый первичный параллелоэдр комбинаторно эквивалентен одному из пяти типов: ромбоэдр (в том числе куб ), шестиугольная призма, усеченный октаэдр, ромбический додекаэдр, а ромбо-шестиугольный додекаэдр.

Зоноэдры из сумм Минковского

Зонотоп - это сумма отрезков Минковского. Шестнадцать темно-красных точек (справа) образуют сумму Минковского четырех невыпуклых множеств (слева), каждое из которых состоит из пары красных точек. Их выпуклые корпуса (заштрихованные розовым цветом) содержат знаки плюса (+): правый знак плюса - это сумма левых знаков плюса.

Пусть {v₀, v₁, ...} быть набором трехмерных векторов. С каждым вектором v_я мы можем связать отрезок {Икс_яv_я| 0≤x_я≤1}. В Сумма Минковского {Σx_яv_я| 0≤x_я≤1} образует зоноэдр, и все зоноэдры, содержащие начало координат, имеют эту форму. Векторы, из которых образован зоноэдр, называются его генераторы. Эта характеристика позволяет обобщить определение зоноэдров на более высокие измерения, давая зонотопы.

Каждое ребро зоноэдра параллельно хотя бы одному из образующих и имеет длину, равную сумме длин образующих, которым оно параллельно. Следовательно, выбирая набор генераторов без параллельных пар векторов и задавая одинаковые длины всех векторов, мы можем сформировать равносторонний вариант любого комбинаторного типа зоноэдра.

Выбирая наборы векторов с высокими степенями симметрии, мы можем сформировать таким образом зоноэдры, по крайней мере, с такой же симметрией. Например, образующие, равномерно расположенные вокруг экватора сферы, вместе с другой парой образующих через полюса сферы образуют зоноэдры в виде призма сверх обычного ${ displaystyle 2k}$ -угольники: куб, шестиугольная призма, восьмиугольная призма, десятиугольная призма, двенадцатигранная призма и др. образующие, параллельные ребрам октаэдра, образуют усеченный октаэдр, а образующие, параллельные длинным диагоналям куба, образуют ромбический додекаэдр.^[1]

Сумма Минковского любых двух зоноэдров - это еще один зоноэдр, порожденный объединением образующих двух данных зоноэдров. Таким образом, сумма Минковского куба и усеченного октаэдра образует усеченный кубооктаэдр, а сумма Минковского куба и ромбического додекаэдра образует усеченный ромбический додекаэдр. Оба этих зоноэдра являются просто (три грани встречаются в каждой вершине), как и усеченный малый ромбокубооктаэдр образован из суммы Минковского куба, усеченного октаэдра и ромбического додекаэдра.^[1]

Зоноэдры из аранжировок

В Карта Гаусса любого выпуклого многогранника отображает каждую грань многоугольника в точку на единичной сфере и отображает каждое ребро многоугольника, разделяющего пару граней, в точку большой круг дуга, соединяющая две соответствующие точки. В случае зоноэдра ребра, окружающие каждую грань, могут быть сгруппированы в пары параллельных ребер, и при преобразовании через карту Гаусса любая такая пара становится парой смежных сегментов на одном большом круге. Таким образом, ребра зоноэдра можно сгруппировать в зоны параллельных ребер, которые соответствуют сегментам большого общего круга на карте Гаусса, и 1-скелет зоноэдра можно рассматривать как плоский дуальный граф расположению больших кругов на сфере. И наоборот, любое расположение больших окружностей может быть сформировано из карты Гаусса зоноэдра, порожденного векторами, перпендикулярными плоскостям, проходящим через окружности.

Таким образом, любому простому зоноэдру соответствует симплициальное расположение, в котором каждая грань представляет собой треугольник. Симплициальные расположения больших окружностей соответствуют через центральную проекцию симплициальным расположение линий в проективная плоскость. Известно три бесконечных семейства симплициальных расположений, одно из которых приводит к призмам при преобразовании в зоноэдры, а два других соответствуют дополнительным бесконечным семействам простых зоноэдров. Есть также много единичных примеров, которые не вписываются в эти три семейства.^[2]

Это следует из соответствия зоноэдров расположениям, а также из соотношения Теорема Сильвестра – Галлаи который (в своем проективный дуальный form) доказывает существование пересечения только двух прямых в любом расположении, что каждый зоноэдр имеет хотя бы одну пару противоположных параллелограмм лица. (Квадраты, прямоугольники и ромбы считаются частными случаями параллелограммов.) Более того, каждый зоноэдр имеет по крайней мере шесть граней параллелограмма, и каждый зоноэдр имеет ряд граней параллелограмма, линейный по количеству образующих.^[3]

Типы зоноэдров

Любые призма над правильным многоугольником с четным числом сторон образует зоноэдр. Эти призмы могут быть сформированы так, чтобы все грани были правильными: две противоположные грани равны правильному многоугольнику, из которого была образована призма, и они соединены последовательностью квадратных граней. Зоноэдры этого типа являются куб, шестиугольная призма, восьмиугольная призма, десятиугольная призма, двенадцатигранная призма, так далее.

В дополнение к этому бесконечному семейству зоноэдров с правильными гранями существует еще три Архимедовы тела, все омниусечение обычных форм:

В усеченный октаэдр, с 6 квадратными и 8 шестиугольными гранями. (Омноусеченный тетраэдр)
В усеченный кубооктаэдр, с 12 квадратами, 8 шестиугольниками и 6 восьмиугольниками. (Омноусеченный куб)
В усеченный икосододекаэдр, с 30 квадратами, 20 шестиугольниками и 12 декагонами. (Омноусеченный додекаэдр)

Кроме того, некоторые Каталонские твердые вещества (двойники архимедовых тел) снова являются зоноэдрами:

Ромбический додекаэдр Кеплера является двойником кубооктаэдр.
В ромбический триаконтаэдр является двойником икосододекаэдр.

Другие с конгруэнтными ромбическими гранями:

Существует бесконечно много зоноэдров с ромбическими гранями, которые не все конгруэнтны друг другу. Они включают:

Ромбический эннеконтаэдр

зоноэдр	количество генераторы	обычное лицо	лицо переходный	край переходный	вершина переходный	Параллелоэдр (заполнение пробелов)	просто
Куб 4.4.4	3	да	да	да	да	да	да
Гексагональная призма 4.4.6	4	да	Нет	Нет	да	да	да
2п-призма (п > 3) 4.4.2n	п + 1	да	Нет	Нет	да	Нет	да
Усеченный октаэдр 4.6.6	6	да	Нет	Нет	да	да	да
Усеченный кубооктаэдр 4.6.8	9	да	Нет	Нет	да	Нет	да
Усеченный икосододекаэдр 4.6.10	15	да	Нет	Нет	да	Нет	да
Параллелепипед	3	Нет	да	Нет	Нет	да	да
Ромбический додекаэдр V3.4.3.4	4	Нет	да	да	Нет	да	Нет
Додекаэдр Билинского	4	Нет	Нет	Нет	Нет	да	Нет
Ромбический икосаэдр	5	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет
Ромбический триаконтаэдр V3.5.3.5	6	Нет	да	да	Нет	Нет	Нет
Ромбо-гексагональный додекаэдр	5	Нет	Нет	Нет	Нет	да	Нет
Усеченный ромбический додекаэдр	7	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	да

Рассечение зоноэдров

Хотя в целом неверно, что любой многогранник имеет рассечение в любой другой многогранник того же объема (см. Третья проблема Гильберта ), известно, что любые два зоноэдра равного объема можно разрезать друг на друга.^{[нужна цитата ]}

Зоноэдрификация

Зоноэдрификация - это процесс, определяемый Джордж У. Харт для создания зоноэдра из другого многогранника.^[4]^[5]

Сначала вершины любого многогранника считаются векторами из центра многогранника. Эти векторы создают зоноэдр, который мы называем зоноэдрификацией исходного многогранника. Для любых двух вершин исходного многогранника существуют две противоположные плоскости зоноэдрификации, каждая из которых имеет по два ребра, параллельных векторам вершин.

Примеры
Многогранник		Зоноэдрификация
	Октаэдр		Куб
	Кубооктаэдр		6-зонный усеченный октаэдр
	Куб		Ромбический додекаэдр
	Ромбокубооктаэдр		Ромбический 132-гранник
	Додекаэдр		10-зонный ромбический эннеконтаэдр
	Икосаэдр		6-зонный ромбический триаконтаэдр
	Икосододекаэдр		15-зонный усеченный икосододекаэдр

Зонотопы

В Сумма Минковского из отрезки линии в любом измерении образует тип многогранник называется зонотоп. Эквивалентно зонотоп ${ displaystyle Z}$ генерируется векторами ${ displaystyle v_ {1}, ..., v_ {k} in mathbb {R} ^ {n}}$ дан кем-то ${ Displaystyle Z = {a_ {1} v_ {1} + cdots + a_ {k} v_ {k} | ; forall (j) a_ {j} in [0,1] }}$ . Обратите внимание, что в частном случае, когда ${ Displaystyle к Leq п}$ , зонотоп ${ displaystyle Z}$ является (возможно, вырожденным) параллелотоп.

Грани любого зонотопа сами являются зонотопами одного более низкого измерения; например, грани зоноэдров равны зоногоны. Примеры четырехмерных зонотопов включают тессеракт (Суммы Минковского d взаимно перпендикулярные отрезки равной длины), омниусеченный 5-элементный, а усеченный 24-элементный. Каждые пермутоэдр это зонотоп.

Зонотопы и матроиды

Исправить зонотоп ${ displaystyle Z}$ определяется из множества векторов ${ displaystyle V = {v_ {1}, dots, v_ {n} } in mathbb {R} ^ {d}}$ и разреши ${ displaystyle M}$ быть ${ displaystyle d times n}$ матрица, столбцы которой являются ${ displaystyle v_ {i}}$ . Тогда вектор матроид ${ displaystyle { underline { mathcal {M}}}}$ на колоннах ${ displaystyle M}$ кодирует огромное количество информации о ${ displaystyle Z}$ , то есть многие свойства ${ displaystyle Z}$ имеют чисто комбинаторный характер.

Например, пары противоположных граней ${ displaystyle Z}$ естественно индексируются кокцепциями ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ и если мы рассмотрим ориентированный матроид ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ представлена ${ displaystyle {M}}$ , то мы получаем биекцию между фасетами ${ displaystyle Z}$ и подписанные кокетства ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ который продолжается до посета антиизоморфизма между лицевая решетка из ${ displaystyle Z}$ и ковекторы ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ упорядочено покомпонентным расширением ${ Displaystyle 0 Prec +, -}$ . В частности, если ${ displaystyle M}$ и ${ displaystyle N}$ две матрицы, которые отличаются проективное преобразование то их соответствующие зонотопы комбинаторно эквивалентны. Обратное предыдущему утверждению неверно: отрезок ${ Displaystyle [0,2] подмножество mathbb {R}}$ является зонотопом и порождается обоими ${ Displaystyle {2 mathbf {е} _ {1} }}$ и по ${ Displaystyle { mathbf {е} _ {1}, mathbf {е} _ {1} }}$ соответствующие матрицы ${ displaystyle [2]}$ и ${ displaystyle [1 ~ 1]}$ , не отличаются проективным преобразованием.

Плитки

Тайловые свойства зонотопа ${ displaystyle Z}$ также тесно связаны с ориентированным матроидом ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ связанный с ним. Сначала рассмотрим свойство замощения пространства. Зонотоп ${ displaystyle Z}$ говорят плитка ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ если есть набор векторов ${ displaystyle Lambda subset mathbb {R} ^ {d}}$ так что объединение всех переводит ${ displaystyle Z + lambda}$ ( ${ displaystyle lambda in Lambda}$ ) является ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ и любые два сдвига пересекаются по (возможно, пустой) грани каждого. Такой зонотоп называется пространственно-мозаичный зонотоп. Следующая классификация зонотопов, разбивающих пространство, принадлежит Макмаллену:^[6] Зонотоп ${ displaystyle Z}$ порожденные векторами ${ displaystyle V}$ пространство плиток тогда и только тогда, когда соответствующий ориентированный матроид регулярный. Таким образом, внешне геометрическое состояние зонотопа, разбивающего пространство, на самом деле зависит только от комбинаторной структуры порождающих векторов.

Еще одно семейство мозаик, связанных с зонотопом ${ displaystyle Z}$ являются зонотопальные мозаики из ${ displaystyle Z}$ . Набор зонотопов - это зонотопическая мозаика ${ displaystyle Z}$ если это многогранный комплекс с опорой ${ displaystyle Z}$ , то есть, если объединение всех зонотопов в коллекции ${ displaystyle Z}$ и любые два пересекаются по общей (возможно, пустой) грани каждого. Многие изображения зоноэдров на этой странице можно рассматривать как зонотопные мозаики двухмерного зонотопа, просто рассматривая их как плоские объекты (в отличие от плоских представлений трехмерных объектов). Теорема Бона-Дресс утверждает, что существует биекция между зонотопными мозаиками зонотопа ${ displaystyle Z}$ и одноэлементные подъемники ориентированного матроида ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ связаны с ${ displaystyle Z}$ .^[7]^[8]

Объем

Зоноэдры и п-мерные зонотопы вообще, примечательны тем, что допускают простую аналитическую формулу для их объема.^[9]

Позволять ${ Displaystyle Z (S)}$ быть зонотопом ${ Displaystyle Z = {a_ {1} v_ {1} + cdots + a_ {k} v_ {k} | ; forall (j) a_ {j} in [0,1] }}$ порожденный набором векторов ${ Displaystyle S = {v_ {1}, dots, v_ {k} in mathbb {R} ^ {n} }}$ . Тогда n-мерный объем ${ Displaystyle Z (S)}$ дан кем-то ${ Displaystyle сумма _ {T подмножество S ;: ; | T | = n} | det (Z (T)) |}$ .

Определитель в этой формуле имеет смысл, потому что (как отмечалось выше), когда множество ${ displaystyle T}$ имеет мощность, равную размерности ${ displaystyle n}$ окружающего пространства зонотоп представляет собой параллелоэдр.

Обратите внимание, что когда ${ Displaystyle к <п}$ , эта формула просто утверждает, что зонотоп имеет нулевой объем n.

использованная литература

^ ^а ^б Эппштейн, Дэвид (1996). «Зоноэдры и зонотопы». Математика в образовании и исследованиях. 5 (4): 15–21.
^ Грюнбаум, Бранко (2009). «Каталог симплициальных расположений в реальной проективной плоскости». Ars Mathematica Contemporanea. 2 (1): 1–25. Дои:10.26493 / 1855-3974.88.e12. HDL:1773/2269. Г-Н 2485643.
^ Шепард, Г.С. (1968). «Двадцать задач о выпуклых многогранниках, часть I». Математический вестник. 52 (380): 136–156. Дои:10.2307/3612678. JSTOR 3612678. Г-Н 0231278.
^ http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/zonohedrification.html
^ Зоноэдрификация, Джордж У. Харт, Журнал Mathematica, 1999, том: 7, выпуск: 3, с. 374-389 [1] [2]
^ Макмаллен, Питер, 1975. Зонотопы мозаичного пространства. Математика, 22 (2), стр.202-211.
^ J. Bohne, Eine kombinatorische Analyze zonotopaler Raumaufteilungen, Диссертация, Билефельд, 1992; Препринт 92-041, SFB 343, Universität Bielefeld 1992, 100 страниц.
^ Рихтер-Геберт, Дж., И Зиглер, Г. М. (1994). Зонотопные мозаики и теорема Бона-Дресса. Современная математика, 178, 211-211.
^ Макмаллен, Питер (1984-05-01). «Объемы проекций единичных кубов». Бюллетень Лондонского математического общества. 16 (3): 278–280. Дои:10.1112 / blms / 16.3.278. ISSN 0024-6093.

Кокстер, Х. С. М (1962). «Классификация зоноэдров с помощью проективных диаграмм». J. Math. Pures Appl. 41: 137–156. Перепечатано в Кокстер, Х. С. М (1999). Красота геометрии. Минеола, Нью-Йорк: Дувр. С. 54–74. ISBN 0-486-40919-8.
Федоров, Э. С. (1893). "Elemente der Gestaltenlehre". Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie. 21: 671–694.
Рольф Шнайдер, Глава 3.5 «Зоноиды и другие классы выпуклых тел» в Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1993.
Шепард, Г. К. (1974). «Зонотопы, заполняющие космос». Математика. 21 (2): 261–269. Дои:10.1112 / S0025579300008652.
Тейлор, Джин Э. (1992). «Зоноэдры и обобщенные зоноэдры». Американский математический ежемесячный журнал. 99 (2): 108–111. Дои:10.2307/2324178. JSTOR 2324178.
Бек, М .; Робинс, С. (2007). Вычисление непрерывного дискретного. Springer Science + Business Media, LLC.

внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. "Зоноэдр". MathWorld.
Эппштейн, Дэвид. «Свалка геометрии: зоноэдры и зонотопы».
Харт, Джордж У. «Виртуальные многогранники: зоноэдры».
Вайсштейн, Эрик В. «Первичный параллелоэдр». MathWorld.
Булатов, Владимир. «Завершение зоноэдральных многогранников».
Сенторе, Пол. "Глава 2 Геометрии цвета" (PDF).

[e96-1] а ^б Эппштейн, Дэвид (1996). «Зоноэдры и зонотопы». Математика в образовании и исследованиях. 5 (4): 15–21.

[2] Грюнбаум, Бранко (2009). «Каталог симплициальных расположений в реальной проективной плоскости». Ars Mathematica Contemporanea. 2 (1): 1–25. Дои:10.26493 / 1855-3974.88.e12. HDL:1773/2269. Г-Н 2485643.

[3] Шепард, Г.С. (1968). «Двадцать задач о выпуклых многогранниках, часть I». Математический вестник. 52 (380): 136–156. Дои:10.2307/3612678. JSTOR 3612678. Г-Н 0231278.

[4] ttp://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/zonohedrification.html

[5] Зоноэдрификация, Джордж У. Харт, Журнал Mathematica, 1999, том: 7, выпуск: 3, с. 374-389 [1] [2]

[6] Макмаллен, Питер, 1975. Зонотопы мозаичного пространства. Математика, 22 (2), стр.202-211.

[7] J. Bohne, Eine kombinatorische Analyze zonotopaler Raumaufteilungen, Диссертация, Билефельд, 1992; Препринт 92-041, SFB 343, Universität Bielefeld 1992, 100 страниц.

[8] Рихтер-Геберт, Дж., И Зиглер, Г. М. (1994). Зонотопные мозаики и теорема Бона-Дресса. Современная математика, 178, 211-211.

[9] Макмаллен, Питер (1984-05-01). «Объемы проекций единичных кубов». Бюллетень Лондонского математического общества. 16 (3): 278–280. Дои:10.1112 / blms / 16.3.278. ISSN 0024-6093.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]