Фигура вершины - Vertex figure

"Полуребро" вершинная фигура куба

В геометрия, а вершина фигура, вообще говоря, обнажается ли фигура, когда угол многогранник или же многогранник отрезан.

Определения

Фигура вершины куба "целое ребро"
Сферическая вершинная фигура куба
Фигура вершины куба с точками

Возьмите какой-нибудь угол или вершина из многогранник. Отметьте точку где-нибудь вдоль каждого соединенного края. Нарисуйте линии через соединенные грани, соединяя соседние точки вокруг лица. Когда это сделано, эти линии образуют законченный контур, то есть многоугольник вокруг вершины. Этот многоугольник является фигурой вершины.

Более точные формальные определения могут довольно широко варьироваться в зависимости от обстоятельств. Например Coxeter (например, 1948, 1954) изменяет свое определение, чтобы оно было удобно для текущей области обсуждения. Большинство следующих определений вершинной фигуры одинаково хорошо применимы к бесконечным мозаики или, соответственно, в заполнение тесселяцией с многогранник клетки и другие многомерные многогранники.

Как плоский ломтик

Сделайте разрез через угол многогранника, разрезая все ребра, соединенные с вершиной. Поверхность среза - это фигура вершины. Это, пожалуй, наиболее распространенный и наиболее понятный подход. Разные авторы делают срез в разных местах. Веннингер (2003) обрезает каждое ребро на единицу расстояния от вершины, как это делает Коксетер (1948). Для равномерных многогранников Дорман Люк конструкция обрезает каждое соединенное ребро в средней точке. Другие авторы прорезают вершину на другом конце каждого ребра.[1][2]

Для неправильного многогранника разрезание всех ребер, входящих в данную вершину, на равных расстояниях от вершины, может дать фигуру, которая не лежит на плоскости. Более общий подход, применимый для произвольных выпуклых многогранников, состоит в том, чтобы сделать разрез по любой плоскости, которая отделяет данную вершину от всех других вершин, но в остальном является произвольным. Эта конструкция определяет комбинаторную структуру фигуры вершины, подобную множеству связанных вершин (см. Ниже), но не ее точную геометрию; это может быть обобщено на выпуклые многогранники в любом измерении. Однако для невыпуклых многогранников вблизи вершины может не существовать плоскости, которая пересекает все грани, инцидентные вершине.

Как сферический многоугольник

Кромвель (1999) формирует фигуру вершины, пересекая многогранник со сферой с центром в вершине, достаточно малой, чтобы пересекать только ребра и грани, инцидентные вершине. Это можно представить в виде сферического надреза или совка с центром в вершине. Таким образом, разрезанная поверхность или вершина представляет собой сферический многоугольник, нанесенный на эту сферу. Одним из преимуществ этого метода является то, что форма вершины фигуры фиксирована (вплоть до масштаба сферы), тогда как метод пересечения с плоскостью может создавать различные формы в зависимости от угла плоскости. Кроме того, этот метод работает для невыпуклых многогранников.

Как множество связанных вершин

Многие комбинаторные и вычислительные подходы (например, Skilling, 1975) рассматривают фигуру вершины как упорядоченный (или частично упорядоченный) набор точек всех соседних (связанных ребром) вершин с данной вершиной.

Абстрактное определение

В теории абстрактные многогранники, фигура вершины в данной вершине V содержит все элементы, инцидентные вершине; ребра, грани и т. д. Более формально это (п−1) -сечение Fп/V, куда Fп это величайшее лицо.

Этот набор элементов в другом месте известен как вершина звезды. Геометрическую фигуру вершины и звезду вершины можно понимать как различные реализации того же абстрактного раздела.

Общие свойства

Вершинная фигура п-полигон - это (п−1) -многогранник. Например, фигура вершины многогранник это многоугольник, а фигура вершины 4-многогранник многогранник.

В общем, фигура вершины не обязательно должна быть плоской.

Для невыпуклых многогранников фигура вершины также может быть невыпуклой. Например, однородные многогранники могут иметь звездные многоугольники для граней и / или вершинных фигур.

Изогональные фигуры

Фигуры вершин особенно важны для униформа и другие изогональный (вершинно-транзитивные) многогранники, потому что одна фигура вершины может определять весь многогранник.

Для многогранников с правильными гранями фигура вершины может быть представлена ​​в виде конфигурация вершины обозначение, путем перечисления граней в последовательности вокруг вершины. Например, 3.4.4.4 - это вершина с одним треугольником и тремя квадратами, и она определяет равномерную ромбокубооктаэдр.

Если многогранник изогонален, фигура вершины будет существовать в гиперплоскость поверхность п-Космос.

Конструкции

Из соседних вершин

Рассматривая связность этих соседних вершин, можно построить фигуру вершины для каждой вершины многогранника:

  • Каждый вершина из вершина фигура совпадает с вершиной исходного многогранника.
  • Каждый край из вершина фигура существует на или внутри грани исходного многогранника, соединяющего две альтернативные вершины исходной грани.
  • Каждый лицо из вершина фигура существует в ячейке оригинала или внутри нее п-полигон (для п > 3).
  • ... и так далее до элементов более высокого порядка в многогранниках более высокого порядка.

Строительство Дормана Люка

Для равномерного многогранника грань двойственный многогранник можно найти по фигуре вершины исходного многогранника с помощью символа "Дорман Люк " строительство.

Правильные многогранники

Вершинная фигура большой икосаэдр регулярный пентаграмма или же звездный многоугольник {5/2}.

Если многогранник правильный, его можно представить в виде Символ Шлефли и оба клетка и фигура вершины может быть тривиально извлечена из этих обозначений.

В общем случае правильный многогранник с символом Шлефли {а,б,c,...,y,z} имеет ячейки как {а,б,c,...,y}, и фигуры вершин в качестве {б,c,...,y,z}.

  1. Для правильный многогранник {п,q} фигура вершины {q}, а q-гон.
    • Например, фигура вершины куба {4,3} - это треугольник {3}.
  2. Для правильный 4-многогранник или же заполнение тесселяцией {п,q,р} фигура вершины {q,р}.
    • Например, фигура вершины гиперкуба {4,3,3}, фигура вершины - правильный тетраэдр {3,3}.
    • Также фигура вершины для кубические соты {4,3,4}, фигура вершины - правильный октаэдр {3,4}.

Поскольку двойственный многогранник регулярного многогранника также является регулярным и представлен индексами символов Шлефли, перевернутыми, легко видеть, что двойственная фигура вершины является ячейкой двойственного многогранника. Для правильных многогранников это частный случай Строительство Дормана Люка.

Пример вершины соты

усеченные кубические соты (частичные).

Вершинная фигура усеченные кубические соты является неоднородным квадратная пирамида. Один октаэдр и четыре усеченных куба встречаются в каждой вершине, образуя заполнение пространства. мозаика.

Фигура вершины: Неоднородный квадратная пирамидаУсеченные кубические соты verf.png
Диаграмма Шлегеля		VF-truncated cubic.png
Перспектива
Создано как квадрат база из октаэдрОктаэдр vertfig.png
(3.3.3.3)
И четыре равнобедренный треугольник стороны от усеченные кубикиУсеченный куб vertfig.png
(3.8.8)

Край фигура

В усеченные кубические соты имеет два типа кромок, один с четырьмя усеченные кубики, а остальные с одним октаэдром и двумя усеченными кубами. Их можно рассматривать как два типа крайние фигуры. Они видны как вершины вершина фигура.

Связанный с вершина фигура, край фигуры это вершина фигура из вершина фигура.[3] Фигуры ребер полезны для выражения отношений между элементами в пределах правильных и однородных многогранников.

An край фигуры будет (п−2) -многогранник, представляющий собой расположение грани вокруг заданного края. Обычные и однокольчатые диаграмма Кокстера однородные многогранники будут иметь один тип ребра. В общем, однородный многогранник может иметь столько типов ребер, сколько активных зеркал в конструкции, поскольку каждое активное зеркало создает одно ребро в фундаментальной области.

Правильные многогранники (и соты) имеют один край фигуры что тоже регулярно. Для правильного многогранника {п,q,р,s,...,z}, край фигуры является {р,s,...,z}.

В четырех измерениях край фигуры 4-многогранник или же 3-соты многоугольник, представляющий расположение набора граней вокруг края. Например, край фигуры для регулярного кубические соты {4,3,4} - это квадрат, а для правильного 4-многогранника {п,q,р} - многоугольник {р}.

Менее тривиально усеченные кубические соты т0,1{4,3,4}, имеет квадратная пирамида фигура вершины, с усеченный куб и октаэдр клетки. Здесь есть два типа крайние фигуры. Один - фигура с квадратным краем на вершине пирамиды. Это представляет четыре усеченные кубики по краю. Остальные четыре ребра представляют собой равнобедренные треугольники в базовых вершинах пирамиды. Они представляют собой расположение двух усеченных кубов и одного октаэдра вокруг других краев.

Смотрите также

Рекомендации

Примечания

  1. ^ Coxeter, H. et al. (1954).
  2. ^ Скиллинг, Дж. (1975).
  3. ^ Клитцинг: фигуры вершин и т. Д.

Библиография

  • Х. С. М. Кокстер, Правильные многогранники, Hbk (1948), ppbk (1973).
  • H.S.M. Кокстер (и др.), Однородные многогранники, Фил. Транс. 246 А (1954) стр. 401–450.
  • П. Кромвель, Многогранники, CUP pbk. (1999).
  • H.M. Канди и А.П. Роллетт, Математические модели, Oxford Univ. Пресс (1961).
  • Дж. Скиллинг, Полный набор однородных многогранников, Фил. Транс. 278 А (1975) стр. 111–135.
  • М. Веннингер, Двойные модели, CUP hbk (1983) ppbk (2003).
  • Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, ISBN  978-1-56881-220-5 (стр.289 Вершинные фигуры)

внешняя ссылка