Дельтоидный икоситетраэдр - Deltoidal icositetrahedron

Дельтоидный икоситетраэдр
(вращающийся и 3D модель )
Тип	Каталонский
Обозначение Конвея	oC или deC
Диаграмма Кокстера
Многоугольник лица	летающий змей
Лица	24
Края	48
Вершины	26 = 6 + 8 + 12
Конфигурация лица	V3.4.4.4
Группа симметрии	О_час, ДО Н.Э₃, [4,3], *432
Группа вращения	О, [4,3]⁺, (432)
Двугранный угол	138°07′05″ arccos (-7 + 4√2/17)
Двойной многогранник	ромбокубооктаэдр
Характеристики	выпуклый, лицо переходный
Сеть

D. i. как произведение искусства и умереть

D. i. проецируется на куб и октаэдр в Perspectiva Corporum Regularium

Додекаэдр Дьякиса модель кристалла и проекция на октаэдр

В геометрия, а дельтовидный икоситетраэдр (также трапециевидный икоситетраэдр, тетрагональный икосикаитетраэдр,^[1] тетрагональный тризоктаэдр^[2] и стромбический икозитетраэдр) это Каталонский твердый. Его двойственный многогранник это ромбокубооктаэдр.

Декартовы координаты

Декартовы координаты для дельтовидного икоситетраэдра подходящего размера с центром в начале координат:

(±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1)
(0, ±1/2√2, ±1/2√2), (±1/2√2, 0, ±1/2√2), (±1/2√2, ±1/2√2, 0)
(±(2√2+1)/7, ±(2√2+1)/7, ±(2√2+1)/7)

Длинные ребра этого дельтовидного икосаэдра имеют длину √(2-√2) ≈ 0.765367.

Размеры

24 лица воздушные змеи.^[3] Короткие и длинные края каждого змея находятся в соотношении 1: (2 -1/√2) ≈ 1:1.292893... Если его самые маленькие края имеют длину а, его площадь поверхности и объем равны

{ displaystyle { begin {align} A & = 6 { sqrt {29-2 { sqrt {2}}}} , a ^ {2} V & = { sqrt {122 + 71 { sqrt { 2}}}} , a ^ {3} end {выравнивается}}}

Воздушные змеи имеют три равных острых угла со значением ${ displaystyle arccos ({ frac {1} {2}} - { frac {1} {4}} { sqrt {2}}) приблизительно 81.578 , 941 , 881 , 85 ^ { circ}}$ и один тупой угол (между короткими краями) со значением ${ displaystyle arccos (- { frac {1} {4}} - { frac {1} {8}} { sqrt {2}}) приблизительно 115.263 , 174 , 354 , 45 ^ { circ}}$ .

Встречи в природе и культуре

Дельтовидный икоситетраэдр - это кристальная привычка часто образуется минералом анальцим а иногда гранат. В минеральном контексте форму часто называют трапецоэдром, хотя в сплошная геометрия это имя имеет другое значение.

Ортогональные проекции

В дельтовидный икоситетраэдр имеет три положения симметрии, все центрированные на вершинах:

Ортогональные проекции
Проективный симметрия	[2]	[4]	[6]
Изображение
Двойной изображение

Связанные многогранники

Проекция твердого тела на куб делит свои квадраты на квадранты. Проекция на октаэдр делит свои треугольники на грани змея. В Обозначения многогранника Конвея это представляет собой орто операция с кубом или октаэдром.

Твердый (двойной из малый ромбокубооктаэдр ) похож на disdyakis додекаэдр (двойной из большой ромбокубооктаэдр ).
Основное отличие состоит в том, что последний также имеет ребра между вершинами на осях симметрии третьего и четвертого порядка. (между желтой и красной вершинами на изображениях ниже).


Дельтовидный икоситетраэдр	Disdyakis додекаэдр	Дьякис додекаэдр	Тетартоид

Додекаэдр Дьякиса

Вариант с пиритоэдрическая симметрия называется дякис додекаэдр^[4]^[5] или же диплоид.^[6] Это распространено в кристаллография.
Его можно создать, увеличив 24 из 48 граней додекаэдра дисьякиса. В тетартоид можно создать, увеличив 12 из 24 граней. ^[7]

Звездчатость

В большой триакис октаэдр представляет собой звездчатую форму дельтовидного икоситетраэдра.

Связанные многогранники и мозаики

Дельтоидальный икоситетраэдр является одним из семейства двойственных однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

При проецировании на сферу (см. Справа) видно, что края составляют ребра октаэдра и куба расположены в своих двойных положениях. Также можно видеть, что тройные углы и четверные углы могут иметь одинаковое расстояние до центра. В этом случае полученный икоситетраэдр больше не будет иметь ромбокубооктаэдра для дуального, так как для ромбокубооктаэдра центры его квадратов и его треугольников находятся на разном расстоянии от центра.

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	т {4,3}	г {4,3} г {3^1,1}	т {3,4} т {3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	рр {4,3} s₂{3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	ч {4,3} {3,3}	час₂{4,3} т {3,3}	с {3,4} с {3^1,1}

		=	=	=				= или же	= или же	=

Двойники к однородным многогранникам
V4³	V3.8²	V (3,4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

Этот многогранник топологически связан как часть последовательности дельтоидальных многогранников с гранью (V3.4.п.4) и продолжается как мозаика гиперболическая плоскость. Эти лицо переходный цифры имеют (*п32) Reflectional (отражающий) симметрия.

*п42 мутации симметрии двойных расширенных мозаик: V3.4.п.4
Симметрия *п32 [n, 3]	Сферический				Евклид.	Компактная гиперболия.		Paraco.
Симметрия *п32 [n, 3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Фигура Конфиг.	V3.4.2.4	V3.4.3.4	V3.4.4.4	V3.4.5.4	V3.4.6.4	V3.4.7.4	V3.4.8.4	V3.4.∞.4