Обхват (теория графов) - Girth (graph theory)

В теория графов, то обхват графа - это длина кратчайшего цикл содержится в графике.[1] Если граф не содержит циклов (т.е. это ациклический граф), его обхват определяется как бесконечность.[2]Например, четырехтактный (квадрат) имеет обхват 4. У сетки также есть обхват 4, а у треугольной сетки - обхват 3. График с обхватом четыре или более является без треугольников.

Клетки

А кубический граф (все вершины имеют третью степень) обхвата грамм это как можно меньше известно как грамм-клетка (или как (3,грамм)-клетка). В Граф Петерсена - единственная 5-клетка (это наименьший кубический граф обхвата 5), График Хивуда уникальный 6-клеточный, График Макги уникальный 7-клеточный и Тутте восемь клетка уникальный 8-клеточный.[3] Для данного обхвата может быть несколько клеток. Например, есть три неизоморфные 10-клетки, каждая по 70 вершин: Балабан 10-клеточный, то Граф Харриса и График Харриса – Вонга.

Обхват и раскраска графика

Для любых положительных целых чисел грамм и χ, существует граф с обхватом не менее грамм и хроматическое число по меньшей мере χ; например, График Грёча не содержит треугольников, имеет хроматическое число 4 и повторяет Микельский Конструкция, используемая для формирования графа Грёча, производит графы без треугольников произвольно большого хроматического числа. Пол Эрдёш был первым, кто доказал общий результат, используя вероятностный метод.[4] Точнее, он показал, что случайный граф на п вершины, сформированные путем независимого выбора, включать ли каждое ребро с вероятностью п(1 − грамм)/грамм, имеет с вероятностью, стремящейся к 1 при п уходит в бесконечность, самое большее п/2 циклы длины грамм или меньше, но не имеет независимый набор размера п/2k. Таким образом, удаление одной вершины из каждого короткого цикла оставляет меньший граф с обхватом больше, чем грамм, в котором каждый цветовой класс раскраски должен быть небольшим и, следовательно, требует как минимум k цвета в любых расцветках.

Явные, хотя и большие, графы с большим обхватом и хроматическим числом могут быть построены как определенные Графики Кэли из линейные группы над конечные поля.[5] Эти замечательные Графики Рамануджана также есть большие коэффициент расширения.

Связанные понятия

В странный обхват и ровный обхват графа - это длины кратчайшего нечетного цикла и самого короткого четного цикла соответственно.

В длина окружности графа - это длина самый длинный (простой) цикл, а не самый короткий.

Рассматриваемый как наименьшая длина нетривиального цикла, обхват допускает естественные обобщения в виде 1-систолы или более высоких систол в систолическая геометрия.

Обхват - это двойное понятие граничное соединение, в том смысле, что обхват планарный граф это граничное соединение его двойственный граф, наоборот. Эти концепции объединены в теория матроидов посредством обхват матроида, размер наименьшего зависимого набора в матроиде. Для графический матроид, обхват матроида равен обхвату нижележащего графа, а для графического матроида он равен связности ребер.[6]

Рекомендации

  1. ^ Р. Дистель, Теория графов, стр.8. 3-е издание, Springer-Verlag, 2005 г.
  2. ^ Обхват - Wolfram MathWorld
  3. ^ Брауэр, Андрис Э., Клетки. Электронное приложение к книге Дистанционно-регулярные графики (Брауэр, Коэн и Ноймайер, 1989, Springer-Verlag).
  4. ^ Эрдеш, Пол (1959), «Теория графов и вероятность», Канадский математический журнал, 11: 34–38, Дои:10.4153 / CJM-1959-003-9.
  5. ^ Гилиана Давыдов, Питер Сарнак, Ален Валетт, Элементарная теория чисел, теория групп и графы Рамануджана, Издательство Кембриджского университета, 2003.
  6. ^ Чо, Чон Джин; Чен, Юн; Дин Ю (2007), «О (ко) обхвате связного матроида», Дискретная прикладная математика, 155 (18): 2456–2470, Дои:10.1016 / j.dam.2007.06.015, МИСТЕР  2365057.