Двойной многогранник - Dual polyhedron

Двойник куб является октаэдр. Вершины одного соответствуют граням другого, а ребра соответствуют друг другу.

В геометрия, любой многогранник связан со вторым двойной фигура, где вершины одного соответствуют лица другого, а ребра между парами вершин одного соответствуют ребрам между парами граней другого.^[1] Такие двойственные фигуры остаются комбинаторными или абстрактные многогранники, но не все также являются геометрическими многогранниками.^[2] Начиная с любого данного многогранника, двойственный к нему является исходным многогранником.

Двойственность сохраняет симметрии многогранника. Следовательно, для многих классов многогранников, определяемых их симметриями, двойственные также принадлежат симметрическому классу. Таким образом, правильные многогранники - (выпуклые) Платоновы тела и (звезда) Многогранники Кеплера – Пуансо - образуют дуальные пары, где регулярные тетраэдр является самодвойственный. Двойственный к изогональному многограннику, имеющий эквивалентные вершины, является изоэдром, имеющим эквивалентные грани. Двойник изотоксальный многогранник (имеющий эквивалентные ребра) также изотоксален.

Двойственность тесно связана с взаимность или же полярность, геометрическое преобразование, которое, когда применяется к выпуклому многограннику, реализует двойственный многогранник как другой выпуклый многогранник.

Виды двойственности

Двойник Платоново твердое тело можно построить, соединив центры граней. В целом это создает только топологический двойственный.
Изображения из Кеплер с Harmonices Mundi (1619)

Есть много видов двойственности. Наиболее подходящими для элементарных многогранников являются полярная взаимность и топологическая или абстрактная двойственность.

Полярное возвратно-поступательное движение

Двойник многогранника ${displaystyle P}$ часто определяется в терминах полярное возвратно-поступательное движение о сфере. Здесь каждая вершина (полюс) связана с плоскостью грани (полярной плоскостью или просто полярной), так что луч от центра к вершине перпендикулярен плоскости, а произведение расстояний от центра до каждой равно квадрат радиуса.^[3]

Когда сфера имеет радиус ${displaystyle r}$ и имеет центр в начале координат, т.е. определяется уравнением ${displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2},}$ и ${displaystyle P}$ является выпуклым многогранником, то его полярный двойственный определяется как

${displaystyle P ^ {circ} = {qin mathbb {R} ^ {3} mid qcdot pleq r ^ {2} {ext {for all}} pin P}}$

куда ${displaystyle qcdot p}$ обозначает стандарт скалярное произведение из ${displaystyle q}$ и ${displaystyle p}$.

Обычно, когда в конструкции дуального не указана сфера, используется единичная сфера, что означает ${displaystyle r = 1}$ в приведенных выше определениях.^[4]

Для каждого лица ${displaystyle P}$ описывается линейным уравнением

${displaystyle x_ {0} x + y_ {0} y + z_ {0} z = r ^ {2},}$

двойственный многогранник ${displaystyle P ^ {circ}}$ будет вершина ${displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$. Аналогично, каждая вершина ${displaystyle P}$ соответствует лицу ${displaystyle P ^ {circ}}$, и каждый край ${displaystyle P}$ соответствует краю ${displaystyle P ^ {circ}}$. Соответствие вершин, ребер и граней ${displaystyle P}$ и ${displaystyle P ^ {circ}}$ отменяет включение. Например, если край ${displaystyle P}$ содержит вершину, соответствующее ребро ${displaystyle P ^ {circ}}$ будет содержаться в соответствующей грани.

Для симметричных многогранников с очевидным центром тяжести многогранник и сферу обычно делают концентрическими, как в конструкции Дормана Люка, описанной ниже. Если присутствует несколько осей симметрии, они обязательно будут пересекаться в одной точке, и это обычно считается центроидом. В противном случае обычно используется описанная сфера, вписанная сфера или средняя сфера (одна со всеми краями в качестве касательных).

Однако можно вращать многогранник по любой сфере, и результирующая форма двойственного будет зависеть от размера и положения сферы; как сфера, так и двойственная форма. Выбор центра сферы достаточен для определения двойственного с точностью до подобия.

Если многогранник в Евклидово пространство имеет элемент, проходящий через центр сферы, соответствующий элемент его дуального уходит в бесконечность. Поскольку евклидово пространство никогда не достигает бесконечности, проективный эквивалент, называемый расширенным евклидовым пространством, может быть сформирован путем добавления требуемой «плоскости на бесконечности». Некоторые теоретики предпочитают придерживаться евклидова пространства и заявляют, что двойственного не существует. Тем временем, Веннингер (1983) нашел способ изобразить эти бесконечные двойники способом, пригодным для создания моделей (некоторой конечной части).

Концепция чего-либо двойственность здесь тесно связано с двойственность в проективная геометрия, где линии и края меняются местами. Проективная полярность достаточно хорошо работает для выпуклых многогранников. Но для невыпуклых фигур, таких как звездные многогранники, когда мы стремимся строго определить эту форму многогранной двойственности в терминах проективной полярности, возникают различные проблемы.^[5] Из-за проблем с определением геометрической двойственности невыпуклых многогранников, Грюнбаум (2007) утверждает, что любое правильное определение невыпуклого многогранника должно включать понятие двойственного многогранника.

Канонические двойники

Канонический двойное соединение кубооктаэдра (светлый) и ромбический додекаэдр (темный). Пары ребер встречаются на общих средняя сфера.

Любой выпуклый многогранник можно превратить в каноническая форма, в котором единица средняя сфера (или межсфера) существует касательная к каждому ребру и такая, что среднее положение точек касания является центром сферы. Эта форма уникальна с точностью до конгруэнций.

Если мы будем перемещать такой канонический многогранник относительно его средней сферы, двойственный многогранник будет иметь одни и те же точки касания ребер и, следовательно, также должен быть каноническим. Это каноническая двойственная пара, и вместе они образуют каноническую двойственную пару.^[6]

Топологическая двойственность

Даже если пару многогранников нельзя получить взаимным движением друг от друга, их можно назвать двойственными друг другу, если вершины одного соответствуют граням другого, а ребра одного соответствуют ребрам другого. , с сохранением заболеваемости. Такие пары многогранников по-прежнему топологически или абстрактно двойственны.

Вершины и ребра выпуклого многогранника образуют график (в 1-скелет многогранника), вложенный в топологическую сферу, поверхность многогранника. Тот же граф можно спроецировать, чтобы образовать Диаграмма Шлегеля на плоской плоскости. Граф, образованный ребрами и вершинами двойственного многогранника, является его двойственный граф. В более общем смысле, для любого многогранника, грани которого образуют замкнутую поверхность, вершины и ребра многогранника образуют граф, вложенный в эту поверхность, а вершины и ребра (абстрактного) двойственного многогранника образуют дуальный граф.

An абстрактный многогранник это определенный вид частично заказанный набор (poset) элементов, так что смежности или связи между элементами набора соответствуют смежности между элементами (гранями, ребрами и т. д.) многогранника. Каждый такой poset имеет двойное poset, образованное изменением всех отношений порядка. Если позет визуализируется как Диаграмма Хассе, двойственное положение может быть визуализировано, просто перевернув диаграмму Хассе вверх ногами. Каждый геометрический многогранник соответствует абстрактному многограннику таким образом и имеет абстрактный двойственный многогранник. Однако для некоторых типов невыпуклых геометрических многогранников двойственный многогранник не может быть реализован геометрически.

Строительство Дормана Люка

Для равномерный многогранник, грань двойного многогранника может быть найдена из исходного многогранника вершина фигуры с использованием Дорман Люк строительство.^[7]

В качестве примера на рисунке ниже показана фигура вершины (красная) кубооктаэдр используется для получения лица (синего) ромбический додекаэдр.

Перед началом строительства вершина фигуры ABCD получается путем разрезания каждого связного ребра (в данном случае) его середины.

Затем продолжается строительство Дормана Люка:

1. Нарисуйте фигуру вершины ABCD
2. Нарисуйте описанную окружность (касательную к каждому углу А, B, C и D).
3. Нарисуйте линии, касающиеся описанной окружности, в каждом углу. А, B, C, D.
4. Отметьте точки E, F, грамм, ЧАС, где каждая касательная пересекает смежную касательную.
5. Многоугольник EFGH является гранью двойственного многогранника.

В этом примере размер вершины фигуры был выбран так, чтобы ее описанная окружность лежала на межсфера кубооктаэдра, который также становится межсферой двойного ромбического додекаэдра.

Конструкцию Дормана Люка можно использовать только в том случае, если многогранник имеет такую ​​межсферу, а фигура вершины - циклическая. Например, это можно применить к равномерные многогранники.

Самодвойственные многогранники

Топологически самодвойственный многогранник - это многогранник, двойственный многогранник которого имеет точно такую ​​же связь между вершинами, ребрами и гранями. Абстрактно они имеют одну и ту же диаграмму Хассе.

Геометрически самодвойственный многогранник не только топологически самодвойственен, но и его полярная обратность относительно определенной точки, обычно его центроид, является аналогичной фигурой. Например, двойственный к правильному тетраэдру - это другой правильный тетраэдр, отраженный через происхождение.

Каждый многоугольник топологически самодвойственен (у него такое же количество вершин, как и у ребер, и они переключаются двойственностью), но в целом не будет геометрически самодвойственным (например, вплоть до жесткого движения). Каждый многоугольник имеет обычная форма который геометрически самодуален относительно своей межсферы: все углы конгруэнтны, как и все ребра, поэтому при двойственности эти конгруэнции меняются местами.

Точно так же любой топологически самодвойственный выпуклый многогранник может быть реализован эквивалентным геометрически самодуальным многогранником, его канонический многогранник, обратно относительно центра средняя сфера.

Геометрически самодвойственных многогранников бесконечно много. Самыми простыми бесконечными семействами являются канонические пирамиды из п стороны. Еще одна бесконечная семья, удлиненные пирамиды, состоит из многогранников, которые можно приблизительно описать как пирамиду, сидящую на вершине призма (с таким же количеством сторон). Добавление усеченной пирамиды (пирамиды с обрезанной вершиной) под призмой порождает еще одно бесконечное семейство и так далее.

Есть много других выпуклых самодуальных многогранников. Например, есть 6 разных с 7 вершинами и 16 с 8 вершинами.^[8]

Самодвойственный^{[требуется разъяснение ]} невыпуклый икосаэдр с шестиугольными гранями был идентифицирован Брюкнером в 1900 году.^[9][10][11] Другие невыпуклые самодвойственные многогранники были найдены при определенных определениях невыпуклых многогранников и их двойственных.^{[требуется разъяснение ]}

Семья пирамид

3

4

5

6

Семья удлиненные пирамиды

3

4

5

Семья уменьшенные трапецоэдры

3

4

5

6

7

Двойные многогранники и мозаики

Двойственность может быть обобщена на п-мерное пространство и двойной многогранники; в двух измерениях они называются двойные многоугольники.

Вершины одного многогранника соответствуют (п - 1) -мерные элементы или грани другого и j точки, определяющие (j - 1) -мерный элемент будет соответствовать j гиперплоскости, которые пересекаются, чтобы дать (п − j) -мерный элемент. Двойник п-мерная тесселяция или соты можно определить аналогично.

В общем случае фасеты двойственного многогранника будут топологическими двойниками фигур вершин многогранника. Для полярных величин, обратных обычный и униформа многогранники, двойные грани будут полярными обратными фигуре вершины оригинала. Например, в четырех измерениях вершинная фигура 600 ячеек это икосаэдр; двойная 600-ячеечная - это 120 ячеек, чьи грани додекаэдр, которые являются двойными икосаэдру.

Самодвойственные многогранники и мозаики

В квадратная черепица, {4,4}, самодуальна, как показано этими красными и синими мозаиками

В Апейрогональная мозаика бесконечного порядка, {∞, ∞} красным, а его двойственное положение синим

Первичный класс самодвойственных многогранников: правильные многогранники с палиндромный Символы Шлефли. Все правильные многоугольники {a} самодвойственны, многогранники вида {a, a}, 4-многогранники вида {a, b, a}, 5-многогранники вида {a, b, b, a} и т. д.

Самодвойственные правильные многогранники:

• Все правильные многоугольники, {а}.
• Обычный тетраэдр: {3,3}
• В общем все штатные п-симплексы, {3,3,...,3}
• Регулярный 24-элементный в 4-х измерениях, {3,4,3}.
• В отличный 120-элементный {5,5 / 2,5} и большой звездчатый 120-элементный {5/2,5,5/2}

Самодуальный (бесконечный) регулярный евклидов соты находятся:

• Апейрогон: {∞}
• Квадратная плитка: {4,4}
• Кубические соты: {4,3,4}
• В общем все штатные п-мерное евклидово гиперкубические соты: {4,3,...,3,4}.

Самодуальный (бесконечный) регулярный гиперболический соты бывают:

• Компактные гиперболические мозаики: {5,5}, {6,6}, ... {p, p}.
• Паракомпактная гиперболическая черепица: {∞,∞}
• Компактные гиперболические соты: {3,5,3}, {5,3,5}, и {5,3,3,5}
• Паракомпактные гиперболические соты: {3,6,3}, {6,3,6}, {4,4,4}, и {3,3,4,3,3}

Смотрите также

• Обозначения многогранника Конвея
• Двойной многоугольник
• Самодуальный граф
• Самодвойственный многоугольник

Рекомендации

Примечания

Библиография

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В., «Двойной многогранник», MathWorld
• Вайсштейн, Эрик В., «Двойная тесселяция», MathWorld
• Вайсштейн, Эрик В., «Самодвойственный многогранник», MathWorld