Квадрат - Square

Квадрат
Правильный четырехугольник
Тип	Правильный многоугольник
Края и вершины	4
Символ Шлефли	{4}
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Двугранный (D4), порядок 2 × 4
Внутренний угол (градусы )	90°
Двойной многоугольник	Я
Свойства	Выпуклый, циклический, равносторонний, изогональный, изотоксальный

В геометрия, а квадрат это регулярный четырехугольник, что означает, что у него четыре равные стороны и четыре равных углы (90-степень углов, или 100-Градиан углы или прямые углы ). Его также можно определить как прямоугольник в котором две соседние стороны имеют одинаковую длину. Квадрат с вершины ABCD будет обозначаться ${ displaystyle square}$ ABCD.^[1][2]

Характеристики

А выпуклый четырехугольник это квадрат если и только если это любое из следующих:^[3][4]

• А прямоугольник с двумя соседними равными сторонами
• А ромб с прямым углом при вершине
• Ромб со всеми равными углами
• А параллелограмм с одним прямым углом при вершине и двумя смежными равными сторонами
• А четырехугольник с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямые углы
• Четырехугольник, в котором диагонали равны и являются серединными перпендикулярами друг друга (т. Е. Ромб с одинаковыми диагоналями).
• Выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами а, б, c, d чья площадь ${ displaystyle A = { tfrac {1} {2}} (a ^ {2} + c ^ {2}) = { tfrac {1} {2}} (b ^ {2} + d ^ {2 }).}$^{[5]:Следствие 15.}

Свойства

Квадрат - это частный случай ромб (равные стороны, противоположные равные углы), a воздушный змей (две пары смежных равных сторон), a трапеция (одна пара противоположных сторон параллельна), a параллелограмм (все противоположные стороны параллельны), a четырехугольник или четырехугольник (четырехсторонний многоугольник), а прямоугольник (противоположные стороны равны, прямые углы), и поэтому обладает всеми свойствами всех этих форм, а именно:^[6]

• В диагонали квадрата делить пополам друг друга и встречаются под углом 90 °.
• Диагонали квадрата делят его углы пополам.
• Противоположные стороны квадрата - это обе параллельно и равной длины.
• Все четыре угла квадрата равны (каждый составляет 360 ° / 4 = 90 °, прямой угол).
• Все четыре стороны квадрата равны.
• Диагонали квадрата равны.
• Квадрат - это случай n = 2 семейств n-гиперкубы и н-ортоплексы.
• Квадрат имеет Символ Шлефли {4}. А усеченный квадрат, t {4}, является восьмиугольник, {8}. An чередовались квадрат, h {4}, является Digon, {2}.

Периметр и площадь

Площадь квадрата - это произведение длины его сторон.

В периметр квадрата, четыре стороны которого имеют длину ${ displaystyle ell}$ является

${ Displaystyle P = 4 ell}$

и площадь А является

${ displaystyle A = ell ^ {2}.}$^[2]

В классические времена, вторая степень была описана как площадь квадрата, как в приведенной выше формуле. Это привело к использованию термина квадрат означать возведение во вторую степень.

Площадь также можно рассчитать по диагонали d согласно с

${ displaystyle A = { frac {d ^ {2}} {2}}.}$

Что касается по окружности р, площадь квадрата равна

${ Displaystyle A = 2R ^ {2};}$

так как площадь круга ${ displaystyle pi R ^ {2},}$ квадрат заполняет примерно 0,6366 его описанный круг.

Что касается inradius р, площадь квадрата равна

${ displaystyle A = 4r ^ {2}.}$

Потому что это правильный многоугольник, квадрат - это четырехугольник с наименьшим периметром, охватывающий заданную площадь. Таким образом, квадрат - это четырехугольник, содержащий наибольшую площадь в пределах данного периметра.^[7] Действительно, если А и п - площадь и периметр, заключенные в четырехугольник, то следующие изопериметрическое неравенство держит:

${ displaystyle 16A leq P ^ {2}}$

с равенством тогда и только тогда, когда четырехугольник является квадратом.

Другие факты

• Диагонали квадрата равны ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ (примерно в 1,414) раз больше длины стороны квадрата. Это значение, известное как квадратный корень из 2 или постоянная Пифагора,^[2] был первым числом, которое оказалось иррациональный.
• Квадрат также можно определить как параллелограмм с равными диагоналями, делящими углы пополам.
• Если фигура представляет собой прямоугольник (прямые углы) и ромб (равные длины ребер), то это квадрат.
• Если круг описан вокруг квадрата, площадь круга равна ${ displaystyle pi / 2}$ (около 1,5708) раз больше площади квадрата.
• Если круг вписан в квадрат, площадь круга равна ${ displaystyle pi / 4}$ (примерно 0,7854) раз больше площади квадрата.
• Квадрат имеет большую площадь, чем любой другой четырехугольник с таким же периметром.^[8]
• А квадратная черепица один из трех правильные мозаики самолета (остальные - равносторонний треугольник и правильный шестиугольник ).
• Квадрат состоит из двух семейств многогранников в двух измерениях: гиперкуб и кросс-многогранник. В Символ Шлефли для квадрата - {4}.
• Квадрат - очень симметричный объект. Есть четыре строки отражательная симметрия и у него есть вращательная симметрия порядка 4 (через 90 °, 180 ° и 270 °). это группа симметрии это группа диэдра D₄.
• Если вписанный круг квадрата ABCD имеет точки касания E на AB, F на до н.э, г на компакт диск, и ЧАС на DA, то для любой точки п на вписанном круге,^[9]

${ displaystyle 2 (PH ^ {2} -PE ^ {2}) = PD ^ {2} -PB ^ {2}.}$

• Если ${ displaystyle d_ {i}}$ - расстояние от произвольной точки на плоскости до я-я вершина квадрата и ${ displaystyle R}$ это по окружности площади, то^[10]

${ displaystyle { frac {d_ {1} ^ {4} + d_ {2} ^ {4} + d_ {3} ^ {4} + d_ {4} ^ {4}} {4}} + 3R ^ {4} = left ({ frac {d_ {1} ^ {2} + d_ {2} ^ {2} + d_ {3} ^ {2} + d_ {4} ^ {2}} {4}) } + R ^ {2} right) ^ {2}.}$

• Если ${ displaystyle L}$ и ${ displaystyle d_ {i}}$ - расстояния от произвольной точки на плоскости до центра тяжести квадрата и его четырех вершин соответственно, то ^[11]

${ displaystyle d_ {1} ^ {2} + d_ {3} ^ {2} = d_ {2} ^ {2} + d_ {4} ^ {2} = 2 (R ^ {2} + L ^ { 2})}$

и

${ displaystyle d_ {1} ^ {2} d_ {3} ^ {2} + d_ {2} ^ {2} d_ {4} ^ {2} = 2 (R ^ {4} + L ^ {4} ),}$

где ${ displaystyle R}$ - радиус описанной окружности квадрата.

Координаты и уравнения

${ displaystyle | x | + | y ​​| = 2}$ нанесенный на Декартовы координаты.

Координаты для вершины квадрата с вертикальной и горизонтальной сторонами, центром в начале координат и длиной стороны 2 равны (± 1, ± 1), а внутренняя часть этого квадрата состоит из всех точек (Икс_я, у_я) с участием −1 < Икс_я < 1 и −1 < у_я < 1. Уравнение

${ Displaystyle макс (х ^ {2}, y ^ {2}) = 1}$

определяет границу этого квадрата. Это уравнение означает "Икс² или у², в зависимости от того, что больше, равно 1. " по окружности этого квадрата (радиус круга, проведенного через вершины квадрата) составляет половину диагонали квадрата и равен ${ displaystyle { sqrt {2}}.}$ Тогда описанный круг имеет уравнение

${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 2.}$

В качестве альтернативы уравнение

${ displaystyle left | x-a right | + left | y-b right | = r.}$

также может использоваться для описания границы квадрата с центром координаты (а, б), а горизонтальный или вертикальный радиус р.

строительство

Следующие анимации показывают, как построить квадрат с помощью компас и линейка. Это возможно как 4 = 2², а сила двух.

Квадрат в данной описанной окружности

Квадрат с заданной длиной стороны,
прямой угол с помощью Теорема Фалеса

Квадрат по заданной диагонали

Симметрия

Диэдральные симметрии разделяются в зависимости от того, проходят ли они через вершины (d для диагонали) или краев (п для перпендикуляров) Циклические симметрии в среднем столбце помечены как г для их приказов центрального вращения. Полная симметрия квадрата r8 и симметрия не помечена а1.

В квадрат есть Dih₄ симметрия порядок 8. Есть 2 диэдральные подгруппы: Dih₂, Ди₁, и 3 циклический подгруппы: Z₄, Z₂, а Z₁.

Квадрат - это частный случай многих четырехугольников нижней симметрии:

• Прямоугольник с двумя смежными равными сторонами
• Четырехугольник с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямые углы
• Параллелограмм с одним прямым углом и двумя смежными равными сторонами
• Ромб с прямым углом
• Ромб со всеми равными углами
• Ромб с равными диагоналями

Эти 6 симметрий выражают 8 различных симметрий на квадрате. Джон Конвей маркирует их буквой и групповым порядком.^[12]

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для нерегулярных четырехугольники. r8 полная симметрия квадрата, и а1 нет симметрии. d4 симметрия прямоугольник, и p4 симметрия ромб. Эти две формы двойники друг друга и имеют половину порядка симметрии квадрата. d2 симметрия равнобедренная трапеция, и p2 симметрия воздушный змей. g2 определяет геометрию параллелограмм.

Только g4 подгруппа не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как квадрат с направленные края.

Квадраты, вписанные в треугольники

Каждые острый треугольник имеет три вписанный квадраты (квадраты внутри, такие, что все четыре вершины квадрата лежат на стороне треугольника, поэтому две из них лежат на одной стороне и, следовательно, одна сторона квадрата совпадает с частью стороны треугольника). В прямоугольный треугольник два квадрата совпадают и имеют вершину в прямом угле треугольника, поэтому прямоугольный треугольник имеет только два отчетливый вписанные квадраты. An тупой треугольник имеет только один вписанный квадрат со стороной, совпадающей с частью самой длинной стороны треугольника.

Доля площади треугольника, заполненная квадратом, не превышает 1/2.

Квадрат круга

Квадрат круга, предложено древний геометры, это задача построения квадрата той же площади, что и заданная круг, используя только конечное число шагов с компас и линейка.

В 1882 году эта задача оказалась невыполнимой из-за Теорема Линдемана – Вейерштрасса, что доказывает, что Пи (π) это трансцендентное число а не алгебраическое иррациональное число; то есть это не корень любой многочлен с участием рациональный коэффициенты.

Неевклидова геометрия

В неевклидовой геометрии квадраты обычно представляют собой многоугольники с 4 равными сторонами и равными углами.

В сферическая геометрия, квадрат - это многоугольник, края которого большой круг дуги равного расстояния, которые встречаются под равными углами. В отличие от квадрата плоской геометрии, углы такого квадрата больше прямого. Большие сферические квадраты имеют больший угол.

В гиперболическая геометрия, квадратов с прямым углом не существует. Скорее, квадраты в гиперболической геометрии имеют углы меньше прямых углов. Большие гиперболические квадраты имеют меньшие углы.

Примеры:

Два квадрата могут замостить сферу по 2 квадрата вокруг каждой вершины и под углом 180 градусов. внутренние углы. Каждый квадрат покрывает всю полусферу, а их вершины лежат вдоль большой круг. Это называется сферическим квадратом. диэдр. В Символ Шлефли равно {4,2}.

Шесть квадратов могут замостить сферу по 3 квадрата вокруг каждой вершины под углом 120 градусов. внутренние углы. Это называется сферическим кубом. В Символ Шлефли равно {4,3}.

Квадраты можно выложить плиткой то Евклидова плоскость по 4 вокруг каждой вершины, причем каждый квадрат имеет внутренний угол 90 °. В Символ Шлефли является {4,4}.

Квадраты можно выложить плиткой то гиперболическая плоскость по 5 вокруг каждой вершины, причем каждый квадрат имеет внутренний угол 72 градуса. В Символ Шлефли является{4,5}. Фактически, для любого n ≥ 5 существует гиперболический замощение с n квадратами вокруг каждой вершины.

Перекрещенная площадь

Перекрещенный квадрат

А перечеркнутый квадрат это огранка квадрата, самопересекающегося многоугольника, созданного удалением двух противоположных краев квадрата и повторным соединением его двумя диагоналями. Он имеет половину симметрии квадрата, Dih₂, порядок 4. Имеет то же расположение вершин как квадрат, и вершинно-транзитивный. Это выглядит как два 45-45-90 треугольник с общей вершиной, но геометрическое пересечение вершиной не считается.

Перекрещенный квадрат иногда сравнивают с галстук-бабочка или бабочка. то скрещенный прямоугольник связано как фасетирование прямоугольника с обоими частными случаями скрещенные четырехугольники.^[13]

Интерьер скрещенного квадрата может иметь плотность полигонов ± 1 в каждом треугольнике, в зависимости от ориентации обмотки по часовой или против часовой стрелки.

Квадрат и скрещенный квадрат обладают следующими общими свойствами:

• Противоположные стороны равны по длине.
• Две диагонали равны по длине.
• Он имеет две линии отражательной симметрии и вращательной симметрии 2-го порядка (до 180 °).

Он существует в вершина фигуры из однородные звездные многогранники, то тетрагемигексаэдр.

Графики

3-симплексный (3D)

K₄ полный график часто изображается в виде квадрата со всеми 6 связанными сторонами, поэтому он выглядит как квадрат с двумя нарисованными диагоналями. Этот график также представляет собой орфографическая проекция четырех вершин и 6 ребер правильного 3-симплекс (тетраэдр ).

Смотрите также

• Куб
• теорема Пифагора
• Квадратная решетка
• Квадратный номер
• Квадратный корень
• Возведение квадрата
• Squircle
• Площадь единицы

использованная литература

внешние ссылки

• Анимационный курс (Строительство, Окружность, Площадь)
• Определение и свойства квадрата С интерактивным апплетом
• Анимированный апплет, показывающий площадь квадрата