Ректификация (геометрия) - Rectification (geometry)

Ректифицированный куб - это кубооктаэдр - ребра уменьшены до вершин, а вершины расширены в новые грани

А двунаправленный куб - это октаэдр - грани уменьшаются до точек, а новые грани центрируются по исходным вершинам.

А ректификованные кубические соты - ребра уменьшились до вершин, а вершины расширились до новых ячеек.

В Евклидова геометрия, исправление, также известный как критическое усечение или же полное усечение это процесс усечения многогранник отметив середины всех его ребер и отрезав вершины в этих точках.^[1] Полученный многогранник будет ограничен вершина фигура грани и исправленные грани исходного многогранника.

Оператор исправления иногда обозначают буквой р с Символ Шлефли. Например, р{4,3} выпрямленный куб, также называемый кубооктаэдр, а также представлен как ${ displaystyle { begin {Bmatrix} 4 3 end {Bmatrix}}}$ . А выпрямленный кубооктаэдр rr {4,3} - это ромбокубооктаэдр, а также представлен как ${ displaystyle r { begin {Bmatrix} 4 3 end {Bmatrix}}}$ .

Обозначения многогранника Конвея использует а за амвон как этот оператор. В теория графов эта операция создает медиальный график.

Исправление любых регулярных самодвойственный многогранник или мозаика приведет к другому правильному многограннику или мозаике с порядок мозаики из 4, например тетраэдр {3,3} становясь октаэдр {3,4}. В частном случае квадратная черепица {4,4} превратится в другую квадратную плитку {4,4} после операции исправления.

Пример исправления как окончательного усечения до края

Исправление - это последняя точка процесса усечения. Например, на кубе эта последовательность показывает четыре шага континуума усечений между регулярной и исправленной формой:

Исправления высшей степени

Выпрямление более высокой степени может быть выполнено на регулярных многогранниках более высокой размерности. Высочайшая степень исправления создает двойственный многогранник. Исправление обрезает края до точек. Биректификация обрезает грани до точек. При триректификации ячейки усекаются до точек и т. Д.

Пример биректификации как окончательного усечения лица

Эта последовательность показывает двояковыпуклый куб в качестве финальной последовательности от куба к двойнику, где исходные грани усекаются до одной точки:

В полигонах

Двойник многоугольника такой же, как его выпрямленная форма. Новые вершины помещаются в центр краев исходного многоугольника.

В многогранниках и плоских мозаиках

Каждый платоническое твердое тело и это двойной имеют такой же выпрямленный многогранник. (Это не относится к многогранникам в более высоких измерениях.)

Выпрямленный многогранник оказывается выраженным как пересечение исходного платонового тела с соответствующей масштабированной концентрической версией его двойственного. По этой причине его название представляет собой комбинацию имен оригинала и двойника:

Исправленный тетраэдр, двойственным к которому является тетраэдр, является тетратраэдр, более известный как октаэдр.
Исправленный октаэдр, дуал которого куб, это кубооктаэдр.
Исправленный икосаэдр, дуал которого додекаэдр, это икосододекаэдр.
Исправленный квадратная черепица это квадратная черепица.
Исправленный треугольная черепица или же шестиугольная черепица это трехгексагональная черепица.

Примеры

Семья	Родитель	Исправление	Двойной
[p, q]
[3,3]	Тетраэдр	Октаэдр	Тетраэдр
[4,3]	Куб	Кубооктаэдр	Октаэдр
[5,3]	Додекаэдр	Икосододекаэдр	Икосаэдр
[6,3]	Шестиугольная черепица	Трехгранная черепица	Треугольная черепица
[7,3]	Орден-3 семиугольная черепица	Тригептагональная черепица	Треугольная черепица Order-7
[4,4]	Квадратная плитка	Квадратная плитка	Квадратная плитка
[5,4]	Пятиугольная черепица Order-4	Тетрапентагональная черепица	Квадратная черепица Order-5

В нерегулярных многогранниках

Если многогранник не правильный, средние точки ребер, окружающие вершину, могут не быть компланарными. Однако и здесь возможна форма выпрямления: каждый многогранник имеет многогранный граф как его 1-скелет, и из этого графа можно составить медиальный график путем размещения вершины в каждой средней точке ребра исходного графа и соединения двух из этих новых вершин ребром, если они принадлежат последовательным ребрам вдоль общей грани. Полученный медиальный граф остается многогранным, поэтому по Теорема Стейница его можно представить в виде многогранника.

В Обозначения многогранника Конвея эквивалент исправления амвон, представлена а. Применяя дважды аа, (исправление исправления) - это Конвей расширять операция е, что такое же, как у Джонсона песня эксплуатация, т_0,2 порожденные правильными многогранниками и мозаиками.

В 4-многогранниках и трехмерных сотовых мозаиках

Каждый Выпуклый правильный 4-многогранник имеет исправленную форму как равномерный 4-многогранник.

В правильном 4-многограннике {p, q, r} есть клетки {p, q}. Его выпрямление будет иметь два типа ячеек: выпрямленный многогранник {p, q}, оставшийся от исходных ячеек, и многогранник {q, r} в виде новых ячеек, образованных каждой усеченной вершиной.

Однако выпрямленный {p, q, r} не то же самое, что выпрямленный {r, q, p}. Дальнейшее усечение, называемое битовое усечение, является симметричным между 4-многогранником и двойственным ему. Видеть Равномерный 4-многогранник # Геометрические производные.

Примеры

Семья	Родитель	Исправление	Биректификация (Двойное выпрямление)	Триректификация (Двойной)
[п,q,р]	{п,q,р}	р{п,q,р}	2r {п,q,р}	3r {п,q,р}
[3,3,3]	5-элементный	выпрямленный 5-элементный	выпрямленный 5-элементный	5-элементный
[4,3,3]	тессеракт	исправленный тессеракт	Выпрямленный 16-элементный (24-элементный )	16 ячеек
[3,4,3]	24-элементный	выпрямленный 24-элементный	выпрямленный 24-элементный	24-элементный
[5,3,3]	120 ячеек	выпрямленный 120-элементный	выпрямленный 600-элементный	600 ячеек
[4,3,4]	Кубические соты	Ректифицированные соты кубической формы	Ректифицированные соты кубической формы	Кубические соты
[5,3,4]	Орден-4 додекаэдр	Выпрямленный додекаэдр порядка 4	Ректифицированный заказ-5 куб.	Порядка-5 куб.

Степени выпрямления

Первое исправление обрезает края до точек. Если многогранник обычный, эта форма представлена расширенным Символ Шлефли обозначение т₁{p, q, ...} или р{p, q, ...}.

Второе исправление, или двунаправленная связь, усекает лица вплоть до очков. Если обычный, то имеет обозначение т₂{p, q, ...} или 2р{p, q, ...}. За многогранники, биректификация создает двойственный многогранник.

Исправления более высокой степени могут быть построены для многогранников более высокой размерности. В общем, n-выпрямление усекает н-лица к точкам.

Если n-многогранник (n-1) -исправлен, его грани сводятся к точкам и многогранник становится его двойной.

Обозначения и грани

Для каждой степени исправления существуют разные эквивалентные обозначения. В этих таблицах показаны имена по размеру и два типа грани для каждого.

Обычный полигоны

Грани ребра, представленные как {2}.

имя {п}	Диаграмма Кокстера	t-запись Символ Шлефли	Вертикальный Символ Шлефли
имя {п}	Диаграмма Кокстера	t-запись Символ Шлефли	Имя	Фасет-1	Фасет-2
Родитель		т₀{п}	{п}	{2}
Исправленный		т₁{п}	{п}		{2}

Обычный многогранники и мозаики

Грани являются правильными многоугольниками.

имя {p, q}	Диаграмма Кокстера	t-запись Символ Шлефли	Вертикальный Символ Шлефли
имя {p, q}	Диаграмма Кокстера	t-запись Символ Шлефли	Имя	Фасет-1	Фасет-2
Родитель	=	т₀{p, q}	{p, q}	{п}
Исправленный	=	т₁{p, q}	г {р, q} = ${ displaystyle { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	{п}	{q}
Двунаправленный	=	т₂{p, q}	{q, p}		{q}

Обычный Равномерные 4-многогранники и соты

Грани - правильные или выпрямленные многогранники.

имя {p, q, r}	Диаграмма Кокстера	t-запись Символ Шлефли	Расширенный Символ Шлефли
имя {p, q, r}	Диаграмма Кокстера	t-запись Символ Шлефли	Имя	Фасет-1	Фасет-2
Родитель		т₀{p, q, r}	{p, q, r}	{p, q}
Исправленный		т₁{p, q, r}	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p q, r end {Bmatrix}}}$ = г {р, д, г}	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$ = г {р, д}	{q, r}
Двунаправленный (Двойное выпрямление)		т₂{p, q, r}	${ displaystyle { begin {Bmatrix} q, p r end {Bmatrix}}}$ = г {г, д, р}	{q, r}	${ displaystyle { begin {Bmatrix} q r end {Bmatrix}}}$ = г {д, г}
Триректифицированный (Двойной)		т₃{p, q, r}	{г, д, р}		{г, д}

Обычный 5-многогранники и 4-х местный соты

Грани являются правильными или выпрямленными 4-многогранниками.

имя {p, q, r, s}	Диаграмма Кокстера	t-запись Символ Шлефли	Расширенный Символ Шлефли
имя {p, q, r, s}	Диаграмма Кокстера	t-запись Символ Шлефли	Имя	Фасет-1	Фасет-2
Родитель		т₀{p, q, r, s}	{p, q, r, s}	{p, q, r}
Исправленный		т₁{p, q, r, s}	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p q, r, s end {Bmatrix}}}$ = r {p, q, r, s}	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p q, r end {Bmatrix}}}$ = г {р, д, г}	{q, r, s}
Двунаправленный (Двунаправленный дуал)		т₂{p, q, r, s}	${ displaystyle { begin {Bmatrix} q, p r, s end {Bmatrix}}}$ = 2r {p, q, r, s}	${ displaystyle { begin {Bmatrix} q, p r end {Bmatrix}}}$ = г {г, д, р}	${ displaystyle { begin {Bmatrix} q r, s end {Bmatrix}}}$ = г {д, г, s}
Триректифицированный (Выпрямленный двойной)		т₃{p, q, r, s}	${ displaystyle { begin {Bmatrix} r, q, p s end {Bmatrix}}}$ = r {s, r, q, p}	{г, д, р}	${ displaystyle { begin {Bmatrix} r, q s end {Bmatrix}}}$ = г {s, r, q}
Quadrirectified (Двойной)		т₄{p, q, r, s}	{s, r, q, p}		{s, r, q}

Смотрите также

внешняя ссылка

Ольшевский, Георгий. «Ректификация». Глоссарий по гиперпространству. Архивировано из оригинал 4 февраля 2007 г.

Операторы многогранников
[
v
т
е
]
Семя	Усечение	Исправление	Bitruncation	Двойной	Расширение	Омнитуркация	Чередования


т₀{p, q} {p, q}	т₀₁{p, q} т {р, д}	т₁{p, q} г {р, д}	т₁₂{p, q} 2t {p, q}	т₂{p, q} 2r {p, q}	т₀₂{p, q} рр {р, q}	т₀₁₂{p, q} tr {p, q}	ht₀{p, q} ч {д, р}	ht₁₂{p, q} s {q, p}	ht₀₁₂{p, q} sr {p, q}

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Ректификация». MathWorld.

[1]