Суперэллипсоид - Superellipsoid

Эта статья включает в себя список общих использованная литература, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшить эта статья введение более точные цитаты. (Февраль 2014 года) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Коллекция суперэллипсоидов с параметрами экспоненты, созданная с использованием Пов-луч. Здесь e = 2 / r и n = 2 / t (эквивалентно, r = 2 / e и t = 2 / n).^[1] В куб, цилиндр, сфера, Штейнмец твердый, биконус и регулярный октаэдр все можно рассматривать как частные случаи.

В математика, а суперэллипсоид или суперэллипсоид твердое тело, горизонтальные сечения которого суперэллипсы (Кривые Ламе) с тем же показатель степени р, вертикальные сечения которых через центр представляют собой суперэллипсы с тем же показателем т.

Суперэллипсоиды как компьютерная графика примитивы были популяризированы Алан Х. Барр (кто использовал имя "суперквадрика "для обозначения как суперэллипсоидов, так и супертороиды ).^[2][3] Однако в то время как некоторые суперэллипсоиды суперквадрика, ни одно семейство не содержится в другом.

Пит Хайн с супер-яйца являются частными случаями суперэллипсоидов.

Формулы

Основная форма

Базовый суперэллипсоид определяется неявное неравенство

${displaystyle left (left | xight | ^ {r} + left | yight | ^ {r} ight) ^ {t / r} + left | zight | ^ {t} leq 1.}$

Параметры р и т являются положительными действительными числами, которые контролируют степень сглаживания на концах и на экваторе. Обратите внимание, что формула становится частным случаем уравнения суперквадрики, если (и только если) т = р.

Любые "параллель широты "суперэллипсоида (горизонтальное сечение при любой постоянной z между -1 и +1) является кривой Ламе с показателем р, масштабируется ${displaystyle a = (1-left | zight | ^ {t}) ^ {1 / t}}$:

${displaystyle left | {frac {x} {a}} ight | ^ {r} + left | {frac {y} {a}} ight | ^ {r} leq 1.}$

Любые "меридиан долготы "(сечение любой вертикальной плоскостью через начало координат) - кривая Ламе с показателем т, растянутый по горизонтали в раз ш это зависит от плоскости сечения. А именно, если Икс = ты потому чтоθ и y = ты грехθ, для фиксированного θ, тогда

${displaystyle left | {frac {u} {w}} ight | ^ {t} + left | zight | ^ {t} leq 1,}$

где

${displaystyle w = (left | cos heta ight | ^ {r} + left | sin heta ight | ^ {r}) ^ {- 1 / r}.}$

В частности, если р равно 2, горизонтальные сечения - кружки, а горизонтальное растяжение ш вертикальных сечений - 1 для всех плоскостей. В этом случае суперэллипсоид представляет собой твердое тело революции, полученная поворотом кривой Ламе с показателем т вокруг вертикальной оси.

Базовая форма выше простирается от -1 до +1 вдоль каждой координатной оси. Общий суперэллипсоид получается путем масштабирования основной формы вдоль каждой оси на множители А, B, C, полудиаметры полученного твердого тела. Неявное неравенство

${displaystyle left (left | {frac {x} {A}} ight | ^ {r} + left | {frac {y} {B}} ight | ^ {r} ight) ^ {t / r} + left | {frac {z} {C}} ight | ^ {t} leq 1.}$

Настройка р = 2, т = 2.5, А = B = 3, C = 4 получаем Суперэгэ Пита Хайна.

Общий суперэллипсоид имеет параметрическое представление по параметрам поверхности -π / 2 < v <π / 2, -π < ты <π.^[3]

${displaystyle x (u, v) = Acleft (v, {frac {2} {t}} ight) cleft (u, {frac {2} {r}} ight)}$

${displaystyle y (u, v) = Bcleft (v, {frac {2} {t}} ight) sleft (u, {frac {2} {r}} ight)}$

${displaystyle z (u, v) = Csleft (v, {frac {2} {t}} ight)}$

где вспомогательные функции

${displaystyle c (omega, m) = имя оператора {sgn} (cos omega) | cos omega | ^ {m}}$

${displaystyle s (omega, m) = имя оператора {sgn} (sin omega) | sin omega | ^ {m}}$

и функция знака sgn (Икс) является

${displaystyle operatorname {sgn} (x) = {egin {case} -1, & x <0 0, & x = 0 + 1, & x> 0.end {case}}}$

Объем внутри этой поверхности можно выразить через бета-функции (и Гамма-функции, поскольку β (м,п) = Γ (м) Γ (п) / Γ (м + п) ), так как:

${displaystyle V = {frac {2} {3}} ABC {frac {4} {rt}} eta left ({frac {1} {r}}, {frac {1} {r}} ight) eta left ( {frac {2} {t}}, {frac {1} {t}} ight).}$

использованная литература

• Алеш Яклич, Алеш Леонардис, Франц Солина, Сегментация и восстановление суперквадрик. Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, 2000.
• Алеш Яклич, Франс Солина (2003) Моменты суперэллипсоидов и их применение для регистрации дальномерных изображений. IEEE TRANSACTIONS ON SYSTEMS, MAN, AND CYBERNETICS, 33 (4). стр. 648–657

внешние ссылки

• Библиография: Суперквадрические представления.
• Суперквадрические тензорные символы
• Эллипсоиды и тороиды SuperQuadric, освещение OpenGL и синхронизация
• Суперквадратики Роберт Краглер, Демонстрационный проект Wolfram.