Икосододекаэдр - Icosidodecahedron - Wikipedia

Икосидодекаэдрический граф
	5-кратная симметрия Диаграмма Шлегеля
Вершины	30
Края	60
Автоморфизмы	120
Характеристики	Граф четвертого порядка, Гамильтониан, обычный
	Таблица графиков и параметров

Икосододекаэдр
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Архимедово твердое тело Равномерный многогранник
Элементы	F = 32, E = 60, V = 30 (χ = 2)
Лица по сторонам	20{3}+12{5}
Обозначение Конвея	объявление
Символы Шлефли	г {5,3}
Символы Шлефли	т₁{5,3}
Символ Wythoff	2 \| 3 5
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	я_час, H₃, [5,3], (* 532), заказ 120
Группа вращения	я, [5,3]⁺, (532), заказ 60
Двугранный угол	142.62° ${ displaystyle cos ^ {- 1} left (- { sqrt {{ frac {1} {15}} left (5 + 2 { sqrt {5}} right)}} right)}$
Рекомендации	U₂₄, C₂₈, W₁₂
Характеристики	Полурегулярный выпуклый квазирегулярный
Цветные лица	3.5.3.5 (Фигура вершины )
Ромбический триаконтаэдр (двойственный многогранник )	Сеть

3D модель икосододекаэдра

В геометрия, икосододекаэдр это многогранник с двадцатью (icosi) треугольными гранями и двенадцатью (dodeca) пятиугольными гранями. Икосододекаэдр имеет 30 идентичных вершин, в каждом из которых встречаются два треугольника и два пятиугольника, а также 60 идентичных ребер, каждое из которых отделяет треугольник от пятиугольника. Таким образом, это один из Архимедовы тела и, в частности, квазирегулярный многогранник.

Геометрия

Икосододекаэдр обладает симметрией икосаэдра, и его первый звездчатость это соединение додекаэдр и его двойная икосаэдр, причем вершины икосододекаэдра расположены в серединах ребер каждого из них.

Его двойственный многогранник это ромбический триаконтаэдр. Икосододекаэдр можно разделить по любой из шести плоскостей, образуя пару пятиугольные ротонды, которые принадлежат к Твердые тела Джонсона.

Икосододекаэдр можно считать пятиугольная гиробиротонда, как комбинация двух ротонды (сравнивать пятиугольная ортобиротонда, один из Твердые тела Джонсона ). В таком виде его симметрия D_5d, [10,2⁺], (2 * 5), порядок 20.

В каркасная фигура икосододекаэдра состоит из шести плоские правильные декагоны, встречающиеся попарно в каждой из 30 вершин.

Икосододекаэдр имеет 6 центральных декагоны. Спроецированные в сферу, они определяют 6 большие круги. Бакминстер Фуллер использовал эти 6 больших кругов вместе с 15 и 10 другими в двух других многогранниках, чтобы определить его 31 большой круг сферического икосаэдра.

Декартовы координаты

Удобный Декартовы координаты для вершин икосододекаэдра с единичными ребрами задаются даже перестановки из:^[1]

(0, 0, ±φ)
(±1/2, ±φ/2, ±φ²/2)

куда φ это Золотое сечение, 1 + √5/2.

Ортогональные проекции

Икосододекаэдр имеет четыре особых ортогональные проекции с центром на вершине, ребре, треугольной грани и пятиугольной грани. Последние два соответствуют букве A₂ и H₂ Самолеты Кокстера.

Ортогональные проекции
В центре	Вершина	Край	Лицо Треугольник	Лицо Пентагон
Твердый
Каркас
Проективный симметрия	[2]	[2]	[6]	[10]
Двойной

Площадь и объем поверхности

Площадь поверхности А и объем V икосододекаэдра длины ребра а находятся:

{ displaystyle { begin {align} A & = left (5 { sqrt {3}} + 3 { sqrt {5}} { sqrt {3 + 4 varphi}} right) a ^ {2} && = left (5 { sqrt {3}} + 3 { sqrt {25 + 10 { sqrt {5}}}} right) a ^ {2} && приблизительно 29.3059828a ^ {2} V & = { frac {14 + 17 varphi} {3}} a ^ {3} && = { frac {45 + 17 { sqrt {5}}} {6}} a ^ {3} && приблизительно 13.8355259a ^ {3}. End {align}}}

Сферическая черепица

60 ребер образуют 6 декагоны соответствующий большие круги в сферической плитке.

Икосододекаэдр также можно представить в виде сферическая черепица, и проецируется на плоскость через стереографическая проекция. Эта проекция конформный, сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Ортографическая проекция	Стереографические проекции
	Пентагон -центрированный	Треугольник -центрированный

Ортографические проекции

2-кратные, 3-кратные и 5-кратные оси симметрии

Связанные многогранники

Икосододекаэдр - это исправленный додекаэдр а также исправленный икосаэдр, существующее как усечение по всей кромке между этими правильными телами.

Икосододекаэдр содержит 12 пятиугольников додекаэдр и 20 треугольников икосаэдр:

Семейство однородных икосаэдрических многогранников
Симметрия: [5,3], (*532)							[5,3]⁺, (532)


{5,3}	т {5,3}	г {5,3}	т {3,5}	{3,5}	рр {5,3}	tr {5,3}	ср {5,3}
Двойники к однородным многогранникам

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Икосододекаэдр существует в последовательности симметрий квазирегулярных многогранников и мозаик с конфигурации вершин (3.п)², переходя от мозаики сферы к евклидовой плоскости и к гиперболической плоскости. С орбифолдная запись симметрия *п32 все эти мозаики Wythoff Construction в пределах фундаментальная область симметрии, с образующими точками в правом углу области.^[2]^[3]

*п32 орбифолдные симметрии квазирегулярных мозаик: (3.п)²
Строительство	Сферический			Евклидово	Гиперболический
Строительство	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Квазирегулярный цифры
Вершина	(3.3)²	(3.4)²	(3.5)²	(3.6)²	(3.7)²	(3.8)²	(3.∞)²

5п2 мутации симметрии квазирегулярных мозаик: (5.n)²* v т е
Симметрия *5п2 [n, 5]	Сферический	Гиперболический					Паракомпакт	Некомпактный
Симметрия *5п2 [n, 5]	*352 [3,5]	*452 [4,5]	*552 [5,5]	*652 [6,5]	*752 [7,5]	*852 [8,5]...	*∞52 [∞,5]	[пя, 5]
Цифры
Конфиг.	(5.3)²	(5.4)²	(5.5)²	(5.6)²	(5.7)²	(5.8)²	(5.∞)²	(5.пя)²
Ромбический цифры
Конфиг.	V (5,3)²	V (5,4)²	V (5.5)²	V (5,6)²	V (5,7)²	V (5,8)²	V (5.∞)²	V (5.∞)²

Рассечение

Икосододекаэдр связан с Джонсон солид называется пятиугольная ортобиротонда создан двумя пятиугольная ротонда связаны как зеркальные изображения. В икосододекаэдр поэтому можно назвать пятиугольная гиробиротонда с вращением между верхней и нижней половинами.

(Рассечение)

Икосододекаэдр
(пятиугольная гиробиротонда)

Пятиугольная ортобиротонда

Пятиугольная ротонда

Связанные многогранники

Икосидодекаэдр в усеченном кубе

В усеченный куб можно превратить в икосододекаэдр, разделив восьмиугольники на два пятиугольника и два треугольника. Она имеет пиритоэдрическая симметрия.

8 однородные звездные многогранники разделять то же самое расположение вершин. Двое из них имеют одинаковые расположение кромок: the малый икосигемидодекаэдр (имеющий общие треугольные грани), а малый додекагемидодекаэдр (имеющий общие пятиугольные грани). Расположение вершин также совпадает с соединения из пять октаэдров и из пять тетрагемигексаэдров.

Икосододекаэдр	Малый икосигемидодекаэдр	Малый додекагемидодекаэдр
Большой икосододекаэдр	Большой додекагемидодекаэдр	Большой икосигемидодекаэдр
Додекадодекаэдр	Малый додекагемикосаэдр	Большой додекагемикосаэдр
Соединение пяти октаэдров	Соединение пяти тетрагемигексаэдров

Родственная полихора

В четырехмерной геометрии икосододекаэдр появляется в обычный 600 ячеек как экваториальный срез, который принадлежит первому вершине прохождения 600-ячеек через трехмерное пространство. Другими словами: 30 вершин 600-ячейки, которые лежат на расстоянии 90 градусов по дуге от ее описанной гиперсфера из пары противоположных вершин - вершины икосододекаэдра. Каркас 600-элементного блока состоит из 72 плоских правильных декагонов. Шесть из них являются экваториальными декагонами к паре противоположных вершин. Это в точности шесть декагонов, которые образуют проволочную рамку икосододекаэдра.