Равномерный 6-многогранник - Uniform 6-polytope

Графики трех обычный и связанные однородные многогранники

6-симплекс				Усеченный 6-симплексный				Ректифицированный 6-симплексный
Сквозной 6-симплексный						Ранцинированный 6-симплексный
Стерилизованный 6-симплексный						Пятисторонний 6-симплексный
6-ортоплекс				Усеченный 6-ортоплекс				Ректифицированный 6-ортоплекс
Сквозной 6-ортоплекс				Ранцинированный 6-ортоплекс				Стерилизованный 6-ортоплекс
Скошенный 6-куб						Бегущий 6-куб
Стерилизованный 6 кубов						Пятиугольный 6-куб
6-куб				Усеченный 6-куб				Ректифицированный 6-куб
6-полукуб				Усеченный 6-полукуб				Сквозной 6-полукуб
Runcinated 6-demicube						Стерилизованный 6-сегментный
221						122
Усеченный 221						Усеченный 122

В шестимерный геометрия, а равномерный полипетон^[1][2] (или же униформа 6-многогранник) является шестимерным равномерный многогранник. Равномерный полипетон - это вершинно-транзитивный, и все грани находятся равномерные 5-многогранники.

Полный комплект выпуклая однородная полипета не было определено, но большинство из них можно сделать как Конструкции Wythoff из небольшого набора группы симметрии. Эти строительные работы представлены перестановки из кольца из Диаграммы Кокстера-Дынкина. Каждая комбинация хотя бы одного кольца на каждой связанной группе узлов на диаграмме дает равномерный 6-многогранник.

Самыми простыми однородными полипетами являются правильные многогранники: the 6-симплекс {3,3,3,3,3}, 6-куб (шестигранник) {4,3,3,3,3}, а 6-ортоплекс (гексакросс) {3,3,3,3,4}.

История открытия

• Правильные многогранники: (выпуклые грани)
  • 1852: Людвиг Шлефли доказано в его рукописи Theorie der vielfachen Kontinuität что есть ровно 3 правильных многогранника в 5 или более размеры.
• Выпуклый полуправильные многогранники: (Различные определения до Кокстера униформа категория)
  • 1900: Торольд Госсет перечислил список непризматических полуправильных выпуклых многогранников с правильными фасетами (выпуклые правильные многогранники) в своей публикации О регулярных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений.^[3]
• Выпуклые равномерные многогранники:
  • 1940: Поиск был систематически расширен H.S.M. Coxeter в своей публикации Правильные и полурегулярные многогранники.
• Неправильные однородные звездные многогранники: (аналогично невыпуклые равномерные многогранники )
  • Непрерывный: Известны тысячи невыпуклых однородных полипет, но большинство из них не опубликовано. Предполагается, что список неполный, и нет никакой оценки того, как долго будет полный список, хотя в настоящее время известно более 10000 выпуклых и невыпуклых однородных полипет, в частности 923 с 6-симплексной симметрией. В число участвующих исследователей входят Джонатан Бауэрс, Ричард Клитцинг и Норман Джонсон.^[4]

Равномерные 6-многогранники фундаментальными группами Кокстера

Равномерные 6-многогранники с отражательной симметрией могут быть порождены этими четырьмя группами Кокстера, представленными перестановками колец Диаграммы Кокстера-Дынкина.

Есть четыре фундаментальные группы отражающей симметрии, которые порождают 153 уникальных однородных 6-многогранников.

#	Группа Кокстера		Диаграмма Кокстера-Дынкина
1	А6	[3,3,3,3,3]
2	B6	[3,3,3,3,4]
3	D6	[3,3,3,31,1]
4	E6	[32,2,1]
		[3,32,2]

Соответствия диаграмм Кокстера-Дынкина между семействами и высшая симметрия внутри диаграмм. Узлы одного цвета в каждом ряду представляют собой одинаковые зеркала. Черные узлы в переписке не активны.

Однородные призматические семейства

Равномерная призма

Всего 6 категориальных униформа призмы на основе равномерные 5-многогранники.

#	Группа Кокстера			Примечания
1	А5А1	[3,3,3,3,2]		Семейство призм на основе 5-симплекс
2	B5А1	[4,3,3,3,2]		Семейство призм на основе 5-куб
3а	D5А1	[32,1,1,2]		Семейство призм на основе 5-полукуб

#	Группа Кокстера			Примечания
4	А3я2(p) А1	[3,3,2, п, 2]		Семейство призм на основе четырехгранный -p-gonal дуопризма
5	B3я2(p) А1	[4,3,2, п, 2]		Семейство призм на основе кубический -p-gonal дуопризма
6	ЧАС3я2(p) А1	[5,3,2, п, 2]		Семейство призм на основе додекаэдр -p-gonal дуопризма

Равномерная дуопризма

Всего 11 категориальных униформа дуопризматический семейства многогранников на основе Декартовы произведения однородных многогранников меньшей размерности. Пять образуются как продукт равномерный 4-многогранник с правильный многоугольник, а шесть образованы произведением двух равномерные многогранники:

#	Группа Кокстера			Примечания
1	А4я2(п)	[3,3,3,2, p]		Семья на основе 5-элементный -p-гональные дуопризмы.
2	B4я2(п)	[4,3,3,2, p]		Семья на основе тессеракт -p-гональные дуопризмы.
3	F4я2(п)	[3,4,3,2, п]		Семья на основе 24-элементный -p-гональные дуопризмы.
4	ЧАС4я2(п)	[5,3,3,2, p]		Семья на основе 120 ячеек -p-гональные дуопризмы.
5	D4я2(п)	[31,1,1, 2, п]		Семья на основе demitesseract -p-гональные дуопризмы.

#	Группа Кокстера			Примечания
6	А32	[3,3,2,3,3]		Семья на основе четырехгранный дуопризмы.
7	А3B3	[3,3,2,4,3]		Семья на основе четырехгранный -кубический дуопризмы.
8	А3ЧАС3	[3,3,2,5,3]		Семья на основе четырехгранный -додекаэдр дуопризмы.
9	B32	[4,3,2,4,3]		Семья на основе кубический дуопризмы.
10	B3ЧАС3	[4,3,2,5,3]		Семья на основе кубический -додекаэдр дуопризмы.
11	ЧАС32	[5,3,2,5,3]		Семья на основе додекаэдр дуопризмы.

Равномерная триапризма

Есть одна бесконечная семья униформа триапризматический семейства многогранников, построенные как Декартовы произведения из трех правильных многоугольников. Каждая комбинация хотя бы одного кольца на каждой связной группе дает однородный призматический 6-многогранник.

#	Группа Кокстера			Примечания
1	я2(число Пи2(q) Я2(р)	[p, 2, q, 2, r]		Семейство на основе p, q, r-угольных трипризм

Перечисление выпуклых равномерных 6-многогранников

• Симплекс семья: A₆ [3⁴] -
  • 35 равномерных 6-многогранников как перестановок колец в групповой диаграмме, включая один регулярный:
    1. {3⁴} - 6-симплекс -
• Гиперкуб /ортоплекс семья: B₆ [4,3⁴] -
  • 63 равномерных 6-многогранников как перестановки колец в групповой диаграмме, включая две регулярные формы:
    1. {4,3³} — 6-куб (шестиугольник) -
    2. {3³,4} — 6-ортоплекс, (гексакросс) -
• Демигиперкуб D₆ семья: [3^3,1,1] -
  • 47 равномерных 6-многогранников (16 уникальных) как перестановки колец в групповой диаграмме, в том числе:
    1. {3,3^2,1}, 1₂₁ 6-полукуб (демигексеракт) - ; также как h {4,3³},
    2. {3,3,3^1,1}, 2₁₁ 6-ортоплекс - , полусимметричная форма .
• E₆ семья: [3^3,1,1] -
  • 39 равномерных 6-многогранников (16 уникальных) как перестановок колец в групповой диаграмме, в том числе:
    1. {3,3,3^2,1}, 2₂₁ -
    2. {3,3^2,2}, 1₂₂ -

Эти фундаментальные семейства порождают 153 непризматических выпуклых однородных полипета.

Кроме того, имеется 105 однородных 6-многогранных конструкций на основе призм равномерные 5-многогранники: [3,3,3,3,2], [4,3,3,3,2], [5,3,3,3,2], [3^2,1,1,2].

Кроме того, существует бесконечно много равномерных 6-многогранников, основанных на:

1. Семейства двойных призм: [3,3,2, p, 2], [4,3,2, p, 2], [5,3,2, p, 2].
2. Семейства дуопризм: [3,3,3,2, p], [4,3,3,2, p], [5,3,3,2, p].
3. Семейство триапризмы: [p, 2, q, 2, r].

А₆ семья

Существует 32 + 4−1 = 35 форм, полученных путем маркировки одного или нескольких узлов Диаграмма Кокстера-Дынкина. Все 35 перечислены ниже. Они названы Норман Джонсон из операций построения Wythoff на регулярном 6-симплексе (гептапетон). Названия акронимов в стиле Bowers приведены в скобках для перекрестных ссылок.

А₆ семейство имеет симметрию порядка 5040 (7 факториал ).

Координаты однородных 6-многогранников с 6-симплексной симметрией могут быть сгенерированы как перестановки простых целых чисел в 7-пространстве, все в гиперплоскостях с нормальный вектор (1,1,1,1,1,1,1).

#	Кокстер-Дынкин	Джонсон система именования Имя Bowers и (аббревиатура)	Базовая точка	Количество элементов
				5	4	3	2	1	0
1		6-симплекс гептапетон (хмель)	(0,0,0,0,0,0,1)	7	21	35	35	21	7
2		Ректифицированный 6-симплексный ректификованный гептапетон (рил)	(0,0,0,0,0,1,1)	14	63	140	175	105	21
3		Усеченный 6-симплексный усеченный гептапетон (тил)	(0,0,0,0,0,1,2)	14	63	140	175	126	42
4		Биректифицированный 6-симплексный биректифицированный гептапетон (брил)	(0,0,0,0,1,1,1)	14	84	245	350	210	35
5		Сквозной 6-симплексный малый ромбовидный гептапетон (срил)	(0,0,0,0,1,1,2)	35	210	560	805	525	105
6		Bitruncated 6-симплексный усеченный гептапетон (батал)	(0,0,0,0,1,2,2)	14	84	245	385	315	105
7		Cantitruncated 6-симплекс большой ромбовидный гептапетон (гриль)	(0,0,0,0,1,2,3)	35	210	560	805	630	210
8		Ранцинированный 6-симплексный мелкопризматический гептапетон (спил)	(0,0,0,1,1,1,2)	70	455	1330	1610	840	140
9		Бикантеллированный 6-симплексный малый биомбированный гептапетон (сабрил)	(0,0,0,1,1,2,2)	70	455	1295	1610	840	140
10		Runcitruncated 6-симплекс призматический, усеченный гептапетон (патал)	(0,0,0,1,1,2,3)	70	560	1820	2800	1890	420
11		Усеченный 6-симплекс тетрадекапетон (fe)	(0,0,0,1,2,2,2)	14	84	280	490	420	140
12		Runcicantellated 6-симплекс призматический гептапетон (прил)	(0,0,0,1,2,2,3)	70	455	1295	1960	1470	420
13		Бикантитроусеченный 6-симплекс большой биомбированный гептапетон (габрил)	(0,0,0,1,2,3,3)	49	329	980	1540	1260	420
14		Runcicantitruncated 6-симплекс большой призматический гептапетон (гапил)	(0,0,0,1,2,3,4)	70	560	1820	3010	2520	840
15		Стерилизованный 6-симплексный мелкоклеточный гептапетон (скальп)	(0,0,1,1,1,1,2)	105	700	1470	1400	630	105
16		Бирунцинированный 6-симплекс малый бипризмато-тетрадекапетон (сибпоф)	(0,0,1,1,1,2,2)	84	714	2100	2520	1260	210
17		Стеритоусеченный 6-симплекс клетки: усеченный гептапетон (катал)	(0,0,1,1,1,2,3)	105	945	2940	3780	2100	420
18		Стерикантеллированный 6-симплекс Cellirhombated гептапетон (крал)	(0,0,1,1,2,2,3)	105	1050	3465	5040	3150	630
19		Бирунсусеченный 6-симплекс бипризматический гептапетон (баприл)	(0,0,1,1,2,3,3)	84	714	2310	3570	2520	630
20		Стериканитусеченный 6-симплекс клетчатка, хомбированный гептапетон (каграл)	(0,0,1,1,2,3,4)	105	1155	4410	7140	5040	1260
21		Стерирунированный 6-симплекс целлипризматический гептапетон (копал)	(0,0,1,2,2,2,3)	105	700	1995	2660	1680	420
22		Стерино-усеченный 6-симплексный клеткапризматотрезанный гептапетон (каптал)	(0,0,1,2,2,3,4)	105	945	3360	5670	4410	1260
23		Стерируксантеллированный 6-симплексный гуммированный гептапетон (коприл)	(0,0,1,2,3,3,4)	105	1050	3675	5880	4410	1260
24		Biruncicantitruncated 6-симплекс большой бипризмато-тетрадекапетон (гибпоф)	(0,0,1,2,3,4,4)	84	714	2520	4410	3780	1260
25		Стерильный усеченный 6-симплекс большой клеточный гептапетон (гакал)	(0,0,1,2,3,4,5)	105	1155	4620	8610	7560	2520
26		Пятисторонний 6-симплексный малый тери-тетрадекапетон (посох)	(0,1,1,1,1,1,2)	126	434	630	490	210	42
27		Пятиусеченный 6-симплекс терацеллированный гептапетон (токал)	(0,1,1,1,1,2,3)	126	826	1785	1820	945	210
28		Пятисветвленный 6-симплекс терипризматический гептапетон (топал)	(0,1,1,1,2,2,3)	126	1246	3570	4340	2310	420
29		Penticantitruncated 6-симплекс Гептапетон (тограл)	(0,1,1,1,2,3,4)	126	1351	4095	5390	3360	840
30		Пятиусеченное усеченное 6-симплексное терицелл, комбинированный гептапетон (токрал)	(0,1,1,2,2,3,4)	126	1491	5565	8610	5670	1260
31		Пятизубчатые 6-симплексные терипризматор, гомби-тетрадекапетон (тапорф)	(0,1,1,2,3,3,4)	126	1596	5250	7560	5040	1260
32		Пятиусеченный усеченный 6-симплексный теригреатопризматический гептапетон (тагопал)	(0,1,1,2,3,4,5)	126	1701	6825	11550	8820	2520
33		Пентистеритусеченный 6-симплекс терицелллитрунки-тетрадекапетон (тактаф)	(0,1,2,2,2,3,4)	126	1176	3780	5250	3360	840
34		Пентистерикантитусеченный 6-симплексный терицеллигреаторомбированный гептапетон (такограл)	(0,1,2,2,3,4,5)	126	1596	6510	11340	8820	2520
35		Омнитусеченный 6-симплекс великий тери-тетрадекапетон (готаф)	(0,1,2,3,4,5,6)	126	1806	8400	16800	15120	5040

B₆ семья

Всего существует 63 формы, основанные на всех перестановках Диаграммы Кокстера-Дынкина с одним или несколькими кольцами.

B₆ семейство имеет симметрию порядка 46080 (6 факториал х 2⁶).

Они названы Норман Джонсон из операций построения Wythoff над правильным 6-кубом и 6-ортоплексом. Имена Bowers и аббревиатуры даны для перекрестных ссылок.

#	Диаграмма Кокстера-Дынкина	Символ Шлефли	Имена	Количество элементов
				5	4	3	2	1	0
36		т0{3,3,3,3,4}	6-ортоплекс Hexacontatetrapeton (ну и дела)	64	192	240	160	60	12
37		т1{3,3,3,3,4}	Ректифицированный 6-ортоплекс Ректифицированный гексаконатетрапетон (тряпка)	76	576	1200	1120	480	60
38		т2{3,3,3,3,4}	Биректифицированный 6-ортоплекс Биректифицированный гексаконатетрапетон (хвастовство)	76	636	2160	2880	1440	160
39		т2{4,3,3,3,3}	Биректифицированный 6-куб Двунаправленный гексеракт (брокс)	76	636	2080	3200	1920	240
40		т1{4,3,3,3,3}	Ректифицированный 6-куб Исправленный гексеракт (rax)	76	444	1120	1520	960	192
41		т0{4,3,3,3,3}	6-куб Гексеракт (топор)	12	60	160	240	192	64
42		т0,1{3,3,3,3,4}	Усеченный 6-ортоплекс Усеченный гексаконатетрапетон (метка)	76	576	1200	1120	540	120
43		т0,2{3,3,3,3,4}	Сквозной 6-ортоплекс Гексаконатетрапетон малый ромбовидный (srog)	136	1656	5040	6400	3360	480
44		т1,2{3,3,3,3,4}	Усеченный 6-ортоплекс Bitruncated hexacontatetrapeton (ботаг)					1920	480
45		т0,3{3,3,3,3,4}	Ранцинированный 6-ортоплекс Гексаконаттрапетон малый призматический (зубчатый)					7200	960
46		т1,3{3,3,3,3,4}	Бикантеллированный 6-ортоплекс Гексаконатетрапетон малый биомбированный (сиборг)					8640	1440
47		т2,3{4,3,3,3,3}	Треусеченный 6-куб Гексерактигексаконтитетрапетон (xog)					3360	960
48		т0,4{3,3,3,3,4}	Стерилизованный 6-ортоплекс Гексаконтатетрапетон малоклеточный (скэг)					5760	960
49		т1,4{4,3,3,3,3}	Бирунцинированный 6-куб Малый бипризмато-гексерактигексаконтетрапетон (собпоксог)					11520	1920
50		т1,3{4,3,3,3,3}	Двухслойный 6-куб Малый биомбированный гексеракт (саборкс)					9600	1920
51		т1,2{4,3,3,3,3}	Обрезанный битом 6-куб Bitruncated hexeract (ботокс)					2880	960
52		т0,5{4,3,3,3,3}	Пятиугольный 6-куб Малый тери-гексерактигексаконтитетрапетон (стоксог)					1920	384
53		т0,4{4,3,3,3,3}	Стерилизованный 6 кубов Гексеракт малый клетчатый (scox)					5760	960
54		т0,3{4,3,3,3,3}	Бегущий 6-куб Малый призматический шестигранник (спокс)					7680	1280
55		т0,2{4,3,3,3,3}	Скошенный 6-куб Малый ромбовидный гексеракт (srox)					4800	960
56		т0,1{4,3,3,3,3}	Усеченный 6-куб Усеченный гексеракт (tox)	76	444	1120	1520	1152	384
57		т0,1,2{3,3,3,3,4}	Усеченный 6-ортоплекс Гексаконатетрапетон большой ромбовидный (грог)					3840	960
58		т0,1,3{3,3,3,3,4}	Усеченный 6-ортоплекс Призматоусеченный гексаконатетрапетон (потаг)					15840	2880
59		т0,2,3{3,3,3,3,4}	Runcicantellated 6-ортоплекс Гексаконтатрапетон с призматической головкой (прог)					11520	2880
60		т1,2,3{3,3,3,3,4}	Бикантитно усеченный 6-ортоплекс Большой биомбированный гексаконатетрапетон (габорг)					10080	2880
61		т0,1,4{3,3,3,3,4}	Стеритоусеченный 6-ортоплекс Целлитусеченный гексаконатетрапетон (катог)					19200	3840
62		т0,2,4{3,3,3,3,4}	Стерикантеллированный 6-ортоплекс Cellirhombated hexacontatetrapeton (скала)					28800	5760
63		т1,2,4{3,3,3,3,4}	Бирунцитусеченный 6-ортоплекс Бипризматоусеченный гексаконатетрапетон (бопракс)					23040	5760
64		т0,3,4{3,3,3,3,4}	Стерирунцинированный 6-ортоплекс Целлипризматический гексаконатетрапетон (копог)					15360	3840
65		т1,2,4{4,3,3,3,3}	Бирунциркулированный 6-куб Бипризматоусеченный шестигранник (бопраг)					23040	5760
66		т1,2,3{4,3,3,3,3}	Двукратноусеченный 6-куб Большой биомбированный гексеракт (габоркс)					11520	3840
67		т0,1,5{3,3,3,3,4}	Пятиусеченный 6-ортоплекс Теритусеченный гексаконатетрапетон (такокс)					8640	1920
68		т0,2,5{3,3,3,3,4}	Пятисветвленный 6-ортоплекс Terirhombated hexacontatetrapeton (тапокс)					21120	3840
69		т0,3,4{4,3,3,3,3}	Стерирунированный 6-куб Целлипризматический гексеракт (копокс)					15360	3840
70		т0,2,5{4,3,3,3,3}	Пятиугольник 6-куб Гомбированный гексеракт (топаг)					21120	3840
71		т0,2,4{4,3,3,3,3}	Стерикантеллированный 6-куб Cellirhombated hexeract (трещина)					28800	5760
72		т0,2,3{4,3,3,3,3}	Runcicantellated 6-куб Призматический гексеракт (прокс)					13440	3840
73		т0,1,5{4,3,3,3,3}	Пятиусеченный 6-куб Теритусеченный гексеракт (таког)					8640	1920
74		т0,1,4{4,3,3,3,3}	Стеритоусеченный 6-кубик Целочисленный гексеракт (катакс)					19200	3840
75		т0,1,3{4,3,3,3,3}	Беги усеченный 6-куб Призматоусеченный шестигранник (потакс)					17280	3840
76		т0,1,2{4,3,3,3,3}	Усеченный 6-куб Большой ромбовидный гексеракт (грокс)					5760	1920
77		т0,1,2,3{3,3,3,3,4}	Рукоусеченный 6-ортоплекс Большой призматический гексаконатетрапетон (гопог)					20160	5760
78		т0,1,2,4{3,3,3,3,4}	Стериканитусеченный 6-ортоплекс Celligreatorhombated hexacontatetrapeton (кагорг)					46080	11520
79		т0,1,3,4{3,3,3,3,4}	Стериро-усеченный 6-ортоплекс Celliprismatotruncated hexacontatetrapeton (captog)					40320	11520
80		т0,2,3,4{3,3,3,3,4}	Стерируксантеллированный 6-ортоплекс Гексаконтаттрапетон (копраг)					40320	11520
81		т1,2,3,4{4,3,3,3,3}	Усеченный 6-куб Грейт бипризмато-гексерактигексаконтетрапетон (гобпоксог)					34560	11520
82		т0,1,2,5{3,3,3,3,4}	Пентикоусеченный 6-ортоплекс Terigreatorhombated hexacontatetrapeton (тогриг)					30720	7680
83		т0,1,3,5{3,3,3,3,4}	Пятиусеченный 6-ортоплекс Терипризматот усеченный гексаконат трапетон (токракс)					51840	11520
84		т0,2,3,5{4,3,3,3,3}	Пятизубчатый 6-куб Терипризматорhombi-hexeractihexacontitetrapeton (типриксог)					46080	11520
85		т0,2,3,4{4,3,3,3,3}	Стерируксусный 6-куб Гомбинированный гексеракт (коприкс)					40320	11520
86		т0,1,4,5{4,3,3,3,3}	Пентистеритусеченный 6-куб Теричелли-гексерактигексаконтитетрапетон (тактаксог)					30720	7680
87		т0,1,3,5{4,3,3,3,3}	Пятизубчатый усеченный 6-куб Терипризматотрезанный шестигранник (токарк)					51840	11520
88		т0,1,3,4{4,3,3,3,3}	Стерино-усеченный 6-куб Целлипризматотрезанный шестигранник (каптикс)					40320	11520
89		т0,1,2,5{4,3,3,3,3}	Пентикоусеченный 6-куб Теригреат или гомомбированный гексеракт (тогрикс)					30720	7680
90		т0,1,2,4{4,3,3,3,3}	Стерикантитроусеченный 6-куб Celligreatorhombated hexeract (кагоркс)					46080	11520
91		т0,1,2,3{4,3,3,3,3}	Рукоятокусеченный 6-куб Большой призматический шестигранник (гиппокс)					23040	7680
92		т0,1,2,3,4{3,3,3,3,4}	Стерируксусный 6-ортоплекс Большой клетчатый гексаконатетрапетон (гочог)					69120	23040
93		т0,1,2,3,5{3,3,3,3,4}	Пятизубец усеченный 6-ортоплекс Теригреатопризматический гексаконтатрапетон (tagpog)					80640	23040
94		т0,1,2,4,5{3,3,3,3,4}	Пентистерикантитусеченный 6-ортоплекс Теричеллигреат или гексаконат трапетон (текагорг)					80640	23040
95		т0,1,2,4,5{4,3,3,3,3}	Пентистерикантитроусеченный 6-куб Теричеллигреат или гомофобный гексеракт (токагракс)					80640	23040
96		т0,1,2,3,5{4,3,3,3,3}	Пентирунцианитусеченный 6-куб Теригреатопризматический гексеракт (tagpox)					80640	23040
97		т0,1,2,3,4{4,3,3,3,3}	Усеченный 6-куб Большой клеточный гексеракт (gocax)					69120	23040
98		т0,1,2,3,4,5{4,3,3,3,3}	Омниусеченный 6-куб Великий тери-гексерактигексаконтитетрапетон (готаксог)					138240	46080

D₆ семья

D₆ семейство имеет симметрию порядка 23040 (6 факториал х 2⁵).

Это семейство имеет 3 × 16−1 = 47 однородных многогранников Витоффа, созданных пометкой одного или нескольких узлов D₆ Диаграмма Кокстера-Дынкина. Из них 31 (2 × 16−1) повторяются из B₆ семья и 16 уникальны для этой семьи. Ниже перечислены 16 уникальных форм. Аббревиатуры в стиле Bowers даны для перекрестных ссылок.

#	Диаграмма Кокстера	Имена	Базовая точка (Альтернативно подписано)	Количество элементов						Circumrad
				5	4	3	2	1	0
99	=	6-полукуб Хемигексеракт (хакс)	(1,1,1,1,1,1)	44	252	640	640	240	32	0.8660254
100	=	Кантик 6-куб Усеченный полугексеракт (thax)	(1,1,3,3,3,3)	76	636	2080	3200	2160	480	2.1794493
101	=	Рунический 6-куб Малый ромбовидный полугексеракт (сирхакс)	(1,1,1,3,3,3)					3840	640	1.9364916
102	=	Стерический 6-куб Малый призматический полугексеракт (софакс)	(1,1,1,1,3,3)					3360	480	1.6583123
103	=	Пентичный 6-куб Малоклеточный полугексеракт (сошакс)	(1,1,1,1,1,3)					1440	192	1.3228756
104	=	Runcicantic 6-куб Большой ромбовидный гемигексеракт (гирхакс)	(1,1,3,5,5,5)					5760	1920	3.2787192
105	=	Стерикантический 6-куб Призмато-усеченный полугексеракт (питакс)	(1,1,3,3,5,5)					12960	2880	2.95804
106	=	Steriruncic 6-кубик Призматический полугексеракт (прохакс)	(1,1,1,3,5,5)					7680	1920	2.7838821
107	=	Пентикантический 6-куб Целочисленный полугексеракт (катикс)	(1,1,3,3,3,5)					9600	1920	2.5980761
108	=	Пентирункский 6-куб Cellirhombated гемигексеракт (крохакс)	(1,1,1,3,3,5)					10560	1920	2.3979158
109	=	Пентистерический 6-куб Целлипризматический полугексеракт (кофикс)	(1,1,1,1,3,5)					5280	960	2.1794496
110	=	Стерилункикантический 6-куб Большой призматический полугексеракт (гофакс)	(1,1,3,5,7,7)					17280	5760	4.0926762
111	=	Пентируслантический 6-куб Celligreatorhombated гемигексеракт (cagrohax)	(1,1,3,5,5,7)					20160	5760	3.7080991
112	=	Пентистерикантический 6-куб Целлипризматотрезанный полугексеракт (каптикс)	(1,1,3,3,5,7)					23040	5760	3.4278274
113	=	Pentisteriruncic 6-кубик Гомбинированный гемигексеракт (капрогакс)	(1,1,1,3,5,7)					15360	3840	3.2787192
114	=	Pentisteriruncicantic 6-куб Большой клеточный полугексеракт (гочакс)	(1,1,3,5,7,9)					34560	11520	4.5552168

E₆ семья

Существует 39 форм, основанных на всех перестановках Диаграммы Кокстера-Дынкина с одним или несколькими кольцами. Аббревиатуры в стиле Bowers даны для перекрестных ссылок. В E₆ семья имеет симметрию порядка 51 840.

#	Диаграмма Кокстера	Имена	Количество элементов
			5 лиц	4 лица	Клетки	Лица	Края	Вершины
115		221 Икозигептахептаконтидипетон (як)	99	648	1080	720	216	27
116		Ректифицированный 221 Ректифицированный икозигептагептаконтидипетон (роджак)	126	1350	4320	5040	2160	216
117		Усеченный 221 Усеченный икозигептагептаконтидипетон (тояк)	126	1350	4320	5040	2376	432
118		Собор 221 Икозигептахептаконтидипетон малый ромбовидный (сирджак)	342	3942	15120	24480	15120	2160
119		Бегущий 221 Малый демипризматический икосигептагептаконтидипетон (шопжак)	342	4662	16200	19440	8640	1080
120		Демифицированный икосигептагептаконтидипетон (хеджак)	342	2430	7200	7920	3240	432
121		Bitruncated 221 Усеченный икосигептахептаконтидипетон (ботаджик)						2160
122		Демиректифицированный икозигептахептаконтидипетон (харджак)						1080
123		Cantitruncated 221 Икозигептахептаконтидипетон большой ромбовидный (гирджак)						4320
124		Runcitruncated 221 Демипризматотрезанный икосигептагептаконтидипетон (гопитжак)						4320
125		Steritruncated 221 Усеченный икозигептагептаконтидипетон (катжак)						2160
126		Демитусеченный икозигептахептаконтидипетон (хотжак)						2160
127		Runcicantellated 221 Комбинированный икосигептагептаконтидипетон (хапрояк)						6480
128		Малый демиромбированный икосигептахептаконтидипетон (шоржак)						4320
129		Икозигептахептаконтидипетон призматический малый (спояк)						4320
130		Икозигептахептаконтидипетон (титаяк) усеченный						4320
131		Runcicantitruncated 221 Великий демипризматический икосигептахептаконтидипетон (гхопжак)						12960
132		Stericantitruncated 221 Celligreator комбинированный икозигептагептаконтидипетон (cograjik)						12960
133		Большой демиромбированный икосигептахептаконтидипетон (горжак)						8640
134		Призмато-усеченный икозигептагептаконтидипетон (потяк)						12960
135		Демицеллит усеченный икозигептагептаконтидипетон (иктиджик)						8640
136		Икозигептагептаконтидипетон (прояк) с призмой						12960
137		Большой призматический икосигептахептаконтидипетон (гапжак)						25920
138		Демицеллигреат или гомомбированный икосигептагептаконтидипетон (хочгарджик)						25920

#	Диаграмма Кокстера	Имена	Количество элементов
			5 лиц	4 лица	Клетки	Лица	Края	Вершины
139	=	122 Пентаконтатетрапетон (мес.)	54	702	2160	2160	720	72
140	=	Исправленный 122 Ректифицированный пентаконтатетрапетон (баран)	126	1566	6480	10800	6480	720
141	=	Двунаправленный 122 Биректифицированный пентаконтатетрапетон (барм)	126	2286	10800	19440	12960	2160
142	=	Триректифицированный 122 Триректифицированный пентаконтатетрапетон (обрезка)	558	4608	8640	6480	2160	270
143	=	Усеченный 122 Усеченный пентаконтатетрапетон (тим)					13680	1440
144	=	Bitruncated 122 Усеченный пентаконтатетрапетон (битем)						6480
145	=	Tritruncated 122 Tritruncated пентаконтатетрапетон (титам)						8640
146	=	Квантовый 122 Маленький ромбовидный пентаконтатетрапетон (срам)						6480
147	=	Cantitruncated 122 Пентаконтатетрапетон большой ромбовидный (грамм)						12960
148	=	Беглый 122 Малый призматический пентаконтатетрапетон (спам)						2160
149	=	Двусторонний 122 Малый birhombated pentacontatetrapeton (sabrim)						6480
150	=	Двукратно-усеченный 122 Большой birhombated pentacontatetrapeton (gabrim)						12960
151	=	Runcitruncated 122 Призмато-усеченный пентаконтатетрапетон (патом)						12960
152	=	Runcicantellated 122 Призматический пентаконтат трапетон (пром)						25920
153	=	Усеченный 122 Большой призматический пентаконтатетрапетон (гопам)						51840

Невитхоффовы 6-многогранники

В шести измерениях и выше существует бесконечное количество невыпуклых невитхоффовских однородные многогранники как Декартово произведение из Великая антипризма в 4-х измерениях и правильный многоугольник в 2-х измерениях. Еще не доказано, есть ли больше.

Обычные и однородные соты

Соответствия диаграмм Кокстера-Дынкина между семействами и высшая симметрия внутри диаграмм. Узлы одного цвета в каждом ряду представляют собой одинаковые зеркала. Черные узлы в переписке не активны.

Есть четыре основных аффинных Группы Кокстера и 27 призматических групп, которые генерируют регулярные и однородные мозаики в 5-пространственном пространстве:

#	Группа Кокстера		Диаграмма Кокстера	Формы
1	${displaystyle {ilde {A}} _ {5}}$	[3[6]]		12
2	${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{5}}$	[4,33,4]		35
3	${displaystyle {ilde {B}} _ {5}}$	[4,3,31,1] [4,33,4,1+]		47 (16 новых)
4	${displaystyle {ilde {D}} _ {5}}$	[31,1,3,31,1] [1+,4,33,4,1+]		20 (3 новых)

Обычные и однородные соты включают:

• ${displaystyle {ilde {A}} _ {5}}$ Всего существует 12 уникальных однородных сот, в том числе:
  • 5-симплексные соты
  • Усеченные 5-симплексные соты
  • Омнитусеченные 5-симплексные соты
• ${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{5}}$ Есть 35 однородных сот, в том числе:
  • Обычный гиперкубические соты евклидова 5-мерного пространства 5-кубовые соты, с символами {4,3³,4}, =
• ${displaystyle {ilde {B}} _ {5}}$ В наличии 47 однородных сот, 16 новых, в том числе:
  • Униформа чередующиеся гиперкубические соты, 5-полукубические соты, с символами h {4,3³,4}, = =
• ${displaystyle {ilde {D}} _ {5}}$, [3^1,1,3,3^1,1]: Есть 20 уникальных перестановок в кольцах и 3 новых. Коксетер называет первую четверть 5 куб. соты, с символами q {4,3³,4}, = . Два других новых = , = .

Призматические группы

#	Группа Кокстера		Диаграмма Кокстера-Дынкина
1	${displaystyle {ilde {A}} _ {4}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[3[5],2,∞]
2	${displaystyle {ilde {B}} _ {4}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[4,3,31,1,2,∞]
3	${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{4}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[4,3,3,4,2,∞]
4	${displaystyle {ilde {D}} _ {4}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[31,1,1,1,2,∞]
5	${displaystyle {ilde {F}} _ {4}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[3,4,3,3,2,∞]
6	${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{3}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[4,3,4,2,∞,2,∞]
7	${displaystyle {ilde {B}} _ {3}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[4,31,1,2,∞,2,∞]
8	${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[3[4],2,∞,2,∞]
9	${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{2}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[4,4,2,∞,2,∞,2,∞]
10	${displaystyle {ilde {H}} _ {2}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[6,3,2,∞,2,∞,2,∞]
11	${displaystyle {ilde {A}} _ {2}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[3[3],2,∞,2,∞,2,∞]
12	${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[∞,2,∞,2,∞,2,∞,2,∞]
13	${displaystyle {ilde {A}} _ {2}}$Икс${displaystyle {ilde {A}} _ {2}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[3[3],2,3[3],2,∞]
14	${displaystyle {ilde {A}} _ {2}}$Икс${displaystyle {ilde {B}} _ {2}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[3[3],2,4,4,2,∞]
15	${displaystyle {ilde {A}} _ {2}}$Икс${displaystyle {ilde {G}} _ {2}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[3[3],2,6,3,2,∞]
16	${displaystyle {ilde {B}} _ {2}}$Икс${displaystyle {ilde {B}} _ {2}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[4,4,2,4,4,2,∞]
17	${displaystyle {ilde {B}} _ {2}}$Икс${displaystyle {ilde {G}} _ {2}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[4,4,2,6,3,2,∞]
18	${displaystyle {ilde {G}} _ {2}}$Икс${displaystyle {ilde {G}} _ {2}}$Икс${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[6,3,2,6,3,2,∞]
19	${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$Икс${displaystyle {ilde {A}} _ {2}}$	[3[4],2,3[3]]
20	${displaystyle {ilde {B}} _ {3}}$Икс${displaystyle {ilde {A}} _ {2}}$	[4,31,1,2,3[3]]
21	${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{3}}$Икс${displaystyle {ilde {A}} _ {2}}$	[4,3,4,2,3[3]]
22	${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$Икс${displaystyle {ilde {B}} _ {2}}$	[3[4],2,4,4]
23	${displaystyle {ilde {B}} _ {3}}$Икс${displaystyle {ilde {B}} _ {2}}$	[4,31,1,2,4,4]
24	${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{3}}$Икс${displaystyle {ilde {B}} _ {2}}$	[4,3,4,2,4,4]
25	${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$Икс${displaystyle {ilde {G}} _ {2}}$	[3[4],2,6,3]
26	${displaystyle {ilde {B}} _ {3}}$Икс${displaystyle {ilde {G}} _ {2}}$	[4,31,1,2,6,3]
27	${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{3}}$Икс${displaystyle {ilde {G}} _ {2}}$	[4,3,4,2,6,3]

Регулярные и однородные гиперболические соты

Не существует компактных гиперболических групп Кокстера ранга 6, групп, которые могут порождать соты со всеми конечными гранями, и конечных вершина фигуры. Однако есть 12 некомпактных гиперболических групп Кокстера ранга 6, каждая из которых порождает однородные соты в 5-пространстве как перестановки колец диаграмм Кокстера.

Гиперболические некомпактные группы

${displaystyle {ar {P}} _ {5}}$ = [3,3[5]]: ${displaystyle {widehat {AU}} _ {5}}$ = [(3,3,3,3,3,4)]: ${displaystyle {widehat {AR}} _ {5}}$ = [(3,3,4,3,3,4)]:

${displaystyle {ar {S}} _ {5}}$ = [4,3,32,1]: ${displaystyle {ar {O}} _ {5}}$ = [3,4,31,1]: ${displaystyle {ar {N}} _ {5}}$ = [3,(3,4)1,1]:

${displaystyle {ar {U}} _ {5}}$ = [3,3,3,4,3]: ${displaystyle {ar {X}} _ {5}}$ = [3,3,4,3,3]: ${displaystyle {ar {R}} _ {5}}$ = [3,4,3,3,4]:

${displaystyle {ar {Q}} _ {5}}$ = [32,1,1,1]: ${displaystyle {ar {M}} _ {5}}$ = [4,3,31,1,1]: ${displaystyle {ar {L}} _ {5}}$ = [31,1,1,1,1]: