Усеченный кубооктаэдр - Truncated cuboctahedron

Усеченный кубооктаэдрический граф
	4-х кратная симметрия
Вершины	48
Края	72
Автоморфизмы	48
Хроматическое число	2
Характеристики	Кубический, Гамильтониан, обычный, нулевой симметричный
	Таблица графиков и параметров

Усеченный кубооктаэдр
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Архимедово твердое тело Равномерный многогранник
Элементы	F = 26, E = 72, V = 48 (χ = 2)
Лица по сторонам	12{4}+8{6}+6{8}
Обозначение Конвея	bC или taC
Символы Шлефли	tr {4,3} или ${ displaystyle t { begin {Bmatrix} 4 3 end {Bmatrix}}}$
Символы Шлефли	т_0,1,2{4,3}
Символ Wythoff	2 3 4 \|
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	О_час, B₃, [4,3], (* 432), порядок 48
Группа вращения	О, [4,3]⁺, (432), заказ 24
Двугранный угол	4-6: arccos (-√6/3) = 144°44′08″ 4-8: arccos (-√2/3) = 135° 6-8: arccos (-√3/3) = 125°15′51″
Рекомендации	U₁₁, C₂₃, W₁₅
Характеристики	Полурегулярный выпуклый зоноэдр
Цветные лица	4.6.8 (Фигура вершины )
Додекаэдр Дисдякиса (двойственный многогранник )	Сеть

В геометрия, то усеченный кубооктаэдр является Архимедово твердое тело, названный Кеплером усечение из кубооктаэдр. Имеет 12 квадрат лиц, 8 обычных шестиугольник лиц, 6 обычных восьмиугольный грани, 48 вершин и 72 ребра. Поскольку каждая его грань имеет точечная симметрия (эквивалентно 180 ° вращающийся симметрии) усеченный кубооктаэдр представляет собой зоноэдр. Усеченный кубооктаэдр может мозаика с восьмиугольная призма.

Имена

Название усеченный кубооктаэдр, первоначально предоставленный Иоганн Кеплер, вводит в заблуждение. Фактический усечение из кубооктаэдр имеет прямоугольники вместо квадраты. Этот неоднородный многогранник топологически эквивалент архимедова твердого тела.

Альтернативные взаимозаменяемые имена:

Усеченный кубооктаэдр (Иоганн Кеплер )
Ромбоусеченный кубооктаэдр (Магнус Веннингер^[1])
Большой ромбокубооктаэдр (Роберт Уильямс^[2])
Большой ромбокубооктаэдр (Питер Кромвель^[3])
Усеченный куб или же усеченный куб (Норман Джонсон )
Скошенный куб (Обозначения многогранника Конвея )

Кубооктаэдр и его усечение

Существует невыпуклый однородный многогранник с похожим названием невыпуклый большой ромбокубооктаэдр.

Декартовы координаты

В Декартовы координаты все вершины усеченного кубооктаэдра с длиной ребра 2 и центром в начале координат равны перестановки из:

(±1, ±(1 + √2), ±(1 + 2√2))

Площадь и объем

Площадь А и объем V усеченного кубооктаэдра длины ребра а находятся:

{ displaystyle { begin {align} A & = 12 left (2 + { sqrt {2}} + { sqrt {3}} right) a ^ {2} && приблизительно 61.755 , 1724a ^ {2 } V & = left (22 + 14 { sqrt {2}} right) a ^ {3} && приблизительно 41.798 , 9899a ^ {3}. End {align}}}

Рассечение

Усеченный кубооктаэдр - это выпуклый корпус из ромбокубооктаэдр с кубиками над его 12 квадратами на 2-кратных осях симметрии. Остальное пространство можно разделить на 6 квадратные купола ниже восьмиугольников и 8 треугольные купола ниже шестиугольников.

Рассеченный усеченный кубооктаэдр может создать род 5, 7 или 11. Тороид Стюарта удалив центральный ромбокубооктаэдр и квадратные, треугольные или 12 кубов соответственно. Многие другие тороиды с более низкой симметрией также могут быть построены путем удаления подмножества этих рассеченных компонентов. Например, удаление половины треугольных куполов создает тор рода 3, который (если они правильно выбраны) имеет тетраэдрическую симметрию.^[4]^[5]

Тороиды Стюарта
Род 3	Род 5	Род 7	Род 11

Равномерная окраска

Здесь только один равномерная окраска граней этого многогранника по одному цвету для каждого типа граней.

2-х однородная окраска, с тетраэдрическая симметрия, существует с попеременно окрашенными шестиугольниками.

Ортогональные проекции

У усеченного кубооктаэдра есть два особых ортогональные проекции в А₂ и B₂ Самолеты Кокстера с проективной симметрией [6] и [8], а многочисленные [2] симметрии могут быть построены из различных спроецированных плоскостей относительно элементов многогранника.

Ортогональные проекции
В центре	Вершина	Край 4-6	Край 4-8	Край 6-8	Лицо нормальное 4-6
Изображение
Проективный симметрия	[2]⁺	[2]	[2]	[2]	[2]
В центре	Лицо нормальное Квадрат	Лицо нормальное Восьмиугольник	Лицо Квадрат	Лицо Шестиугольник	Лицо Восьмиугольник
Изображение
Проективный симметрия	[2]	[2]	[2]	[6]	[4]

Сферическая черепица

Усеченный кубооктаэдр также можно представить в виде сферическая черепица, и проецируется на плоскость через стереографическая проекция. Эта проекция конформный, сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Ортогональная проекция	квадрат -центрированный	шестиугольник -центрированный	восьмиугольник -центрированный

Ортогональная проекция	Стереографические проекции

Полная октаэдрическая группа

Как и многие другие твердые тела, усеченный октаэдр имеет полный октаэдрическая симметрия - но его связь с полной октаэдрической группой более тесная: его 48 вершин соответствуют элементам группы, и каждая грань его двойной это фундаментальная область группы.

На изображении справа показаны 48 перестановок в группе, примененной к объекту-примеру (а именно, к легкому соединению JF слева). 24 светлых элемента - это вращения, а темные - их отражения.

Ребра тела соответствуют 9 отражениям в группе:

Те между восьмиугольниками и квадратами соответствуют трем отражениям между противоположными восьмиугольниками.
Края шестиугольника соответствуют 6 отражениям между противоположными квадратами.
(Между противоположными шестиугольниками нет отражений.)

Подгруппы соответствуют телам, которые разделяют соответствующие вершины усеченного октаэдра.
Например. 3 подгруппы по 24 элемента соответствуют неравномерному курносый куб с киральной октаэдрической симметрией неоднородная усеченный октаэдр с полная тетраэдрическая симметрия и неоднородный ромбокубооктаэдр с пиритоэдрическая симметрия (в кантик курносый октаэдр ).
Единственная подгруппа из 12 элементов - это переменная группа А₄. Это соответствует неравномерному икосаэдр с хиральная тетраэдрическая симметрия.

Подгруппы и соответствующие твердые тела

все 48 вершин	24 вершины			12 вершин

Связанные многогранники


Тетраэдр-бабочка и куб содержат две трапециевидные грани вместо квадрата.^[6]

Усеченный кубооктаэдр является одним из семейства однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	т {4,3}	г {4,3} г {3^1,1}	т {3,4} т {3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	рр {4,3} s₂{3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	ч {4,3} {3,3}	час₂{4,3} т {3,3}	с {3,4} с {3^1,1}

		=	=	=				= или же	= или же	=

Двойники к однородным многогранникам
V4³	V3.8²	V (3,4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

Этот многогранник можно рассматривать как член последовательности однородных узоров с конфигурация вершины (4.6.2п) и Диаграмма Кокстера-Дынкина . За п <6, членами последовательности являются всесторонне усеченный многогранники (зоноэдры ), показанные ниже в виде сферических мозаик. За п <6, это мозаики гиперболической плоскости, начиная с усеченная трехгептагональная черепица.

п32 мутации симметрии полностью усеченных мозаик: 4.6.2n* [ v т е ]
Сим. *п32 [п,3]	Сферический				Евклид.	Компактная гиперболия.		Paraco.	Некомпактный гиперболический
Сим. *п32 [п,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]	[3i, 3]
Цифры
Конфиг.	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Duals
Конфиг.	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

п42 мутации симметрии полностью усеченных мозаик: 4.8.2n* [ v т е ]
Симметрия *п42 [n, 4]	Сферический		Евклидово	Компактный гиперболический				Paracomp.
Симметрия *п42 [n, 4]	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Усеченный фигура	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞
Усеченный двойники	V4.8.4	V4.8.6	V4.8.8	V4.8.10	V4.8.12	V4.8.14	V4.8.16	V4.8.∞

Это первый из ряда усеченных гиперкубов:

Многоугольник Петри прогнозы

Усеченный кубооктаэдр	Усеченный тессеракт	Усеченный 5-куб	Усеченный 6-куб	Cantitruncated 7-куб	Усеченный 8-куб